49
BAGIAN II AKTIFITAS 1
1. Memahami Makna Kombinatorik
Untuk materi peluang ini aktifitas para peserta diklat dibagi dalam 3tiga tahap, yakni: tahap Inservice I, tahap Onservice, dan tahap Inservice II. Untuk memudahkan dalam
mengingat-ingat selanjutnya dipersingkat menjadi kegiatan ” In - On - In”. Aktifitas pada
tahap Inservice I In I adalah tatap muka antara peserta diklat dengan fasilitator. Peserta mendapatkan materi pembelajaran yang diperlukan untuk kelancaran memandu kegiatan
onservicenya di tempat kerja sekolah serta tugas menyelesaikan masalah sesuai dengan hasil undian. Tugas kelompok menyelesaikan masalah merupakan tugas proyek yang hasilnya
dikumpulkan pada fasilitator diklat untuk dipresentasikan pada kegiatan tatap muka In II bersamaan dengan presentasi penyelesaian tugas yang dibebankan secara kelompok dalam
bentuk LK Lembar Kerja. Aktifitas pada tahap Onservice praktek di sekolah atau diskusi di MGMP selama kurun
waktu sekitar 2 bulan ditambah dengan tugas kelompok penyelesaian masalah dalam bentuk LK Lembar Kerja yang nantinya akan dipresentasikan pada kegiatan In II, diharapkan dapat
meningkatkan kompetensi pengetahuan dan ketrampilan peserta dalam melaksanakan tugas mengajarnya di sekolah masing-masing. Selanjutnya dalam rangka mencapai efektifitas dan
efisiensi tujuan pembelajaran, tugas-tugas penyelesaian masalah berikut ini meskipun fokus utamanya permasalahannya terletak pada masalah sesuai hasil undian namun akan lebih baik
jika tiap kelompok mengusahakan untuk dapat mengerjakan semuanya. Tujuannya agar tiap peser
ta diklat ” In - On - In” lebih dapat menghayati tingkat kesulitan masalah yang diberikan sebelum dan sesudah presentasi serta klarifikasi hasil kerja kelompok saat kegiatan In II.
Dengan alur kegiatan In - On - In seperti di atas diharapkan peserta diklat pasca UKG akan meningkat kompetensi profesionalnya secara signifikan di bidang pembelajaran
matematika khususnya materi kombinatorik dan peluang yang selama ini dirasakan belum mantap dan belum meyakinkan. Selamat bekerja
Catatan:
50 Kerjakan berkelompok masing-masing nomor soal dari 8 masalah yang diberikan
dalam bentuk format Lembar Kerja LK seperti berikut. LK-1
Pengerjaan
1. Masalah 1 ………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..
Uraian Jawaban ………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..
Kelompok: …. Anggota: 1. …………….
2. …………….
dst.
LK-2 Pengerjaan
2. Masalah 2 ………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..
Uraian Jawaban ………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..
Kelompok: …. Anggota: 1. …………….
2. …………….
dst.
51 LK-3, LK-4, . . . dan seterusnya hingga LK-8 memiliki bentuk dan pola serupasejenis.
Masalah 1 Pengundian
Tiga keping mata uang logam diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam
bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang BapakIbu ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel
yang mungkin dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.
Pertanyaannya adalah: a.
Misalkan
S
adalah ruang sampel yang dihasilkan pada eksperimen ini,
A
adalah peristiwa munculnya muka angka minimal 1 kali dan
B
adalah peristiwa munculnya muka gambar minimal 1 kali. Tuliskan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. b.
Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan
P S
,
P A
,
P B
, dan
P A
B
yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel
S
, peristiwa
A
, peristiwa
B
, dan peristiwa
A
B
. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn. d.
Selidiki relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
pilih salah satu: lepas, komplemen, bebas, atau tak bebas berikan alasannya.
Masalah 2 Pengundian
Tiga buah paku payung diundi sekaligus. Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon. Dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik
sampel yang mungkin terjadi dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir. Pertanyaannya adalah:
a. Misalkan
S
adalah ruang sampel dari eksperimen ini,
A
adalah peristiwa munculnya hasil maksimal 2 paku payung diantaranya miring, dan
B
adalah peristiwa munculnya hasil minimal 1 paku payung diantaranya terlentang. Tuliskan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan dari titik-titik sampel
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya.
diundi sekaligus
Obyek Ekp. Cara Ekp.
I II
III
Gambar 2
52 b.
Tuliskan nilai-nilai peluang di masing-masing cabang yang ada kemudian tentukan
P S
,
P A
,
P B
, dan
P A
B
yakni nilai peluang munculnya masing-masing dari ruang sampel
S
, peristiwa
A
, peristiwa
B
, dan peristiwa
A
B
. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn berikut nilai-nilai peluangnya.
d. Selidiki relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
pilih salah satu: lepas, komplemen, bebas, atau tak bebas berikan alasannya.
Masalah 3 Pengambilan Sampel
Sebuah kotak berisi 4empat bola homogin sama bentuk dan sama ukuran bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak
2dua bola sekaligus. Misalkan
S
adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut,
A
adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap,
B
adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah: a.
Gambarkan semua hasil yang mungkin dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin
dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.. b.
Nyatakan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan elemen-elemen
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn. d.
Tentukan peluang terjadinya ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
yakni nilai masing-masing dari
P S
,
P A
, dan
P B
. e.
Tentukan relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
.
Masalah 4 Pengambilan Sampel
Sebuah kotak berisi 4empat bola homogin sama bentuk dan sama ukuran bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak
3dua bola sekaligus. Misalkan
S
adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut,
A
adalah peristiwa terambilnya 2dua bola diantranya bernomor genap,
B
adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah:
53 a.
Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang
mungkin dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir..
b. Nyatakan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan elemen-elemen
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn. d.
Tentukan peluang terjadinya ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
yakni nilai masing-masing dari
P S
,
P A
, dan
P B
. e.
Tentukan relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
.
Masalah 5 Pengambilan Sampel
Sebuah kotak berisi 4empat bola homogin bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak 2dua bola satu demi satu
tanpa pengembalian. Misalkan
S
adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut,
A
adalah peristiwa terambilnya kedua bola bernomor genap,
B
adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2.
Perintahnya adalah: a.
Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang
mungkin dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir..
b. Nyatakan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan elemen-elemen
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn. d.
Tentukan peluang terjadinya ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
yakni nilai masing-masing dari
P S
,
P A
, dan
P B
. e.
Tentukan relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
.
Masalah 6 Pengambilan Sampel
Sebuah kotak berisi 4empat bola homogin sama bentuk dan sama ukuran bernomor 1, 2, 3, dan 4. Misalkan dari dalam kotak kita adakan eksperimen berupa pengambilan acak sebanyak
54 3dua bola satu demi satu tanpa pengembalian. Misalkan
S
adalah ruang sampel dari eksperimen tersebut,
A
adalah peristiwa terambilnya 2dua bola diantranya bernomor genap,
B
adalah peristiwa terambilnya salah satu bola bernomor 2. Perintahnya adalah:
a. Gambarkan semua hasil yang mungkin terjadi dalam bentuk diagram pohon dan dari
gambar diagram pohon yang saudara ciptakan itu tuliskan titik-titik sampel yang mungkin dalam bentuk lambang
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya hingga titik sampel yang terakhir.
b. Nyatakan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam bentuk himpunan elemen-elemen
s
1,
s
2,
s
3,
... dan seterusnya. c.
Gambarkan ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
dalam sebuah diagram Venn. d.
Tentukan peluang terjadinya ruang sampel
S
, peristiwa
A
, dan peristiwa
B
yakni nilai masing-masing dari
P S
,
P A
, dan
P B
. e.
Tentukan relasi antara peristiwa
A
dan peristiwa
B
.
Masalah 7 Pengambilan Acak
Gambarkan bentuk diagram pohon dari ruang sampel
S
dan diagram pohon dari peristiwa
A
S
yakni = peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dari eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola satu demi satu tanpa pengembalian dari obyek eksperimen 5 bola
terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih seperti yang digambarkan berikut ini.
Gambar 3
S
= Ruang sampel terambilnya 3 bola dari 5 bola.
5 bola
1 2
1 3
2
2
m
dan 3
p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola 1
– 1 tanpa pengemb
Cara Eksp
III II
I m
p p
p m
p p
p m
5 2
5 3
5 3
4 3
3 2
4 2
4 2
3 2
3 2
60 12
60 12
60 12
Total = PA =
60 36
=
5 3
P A
A
= peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih = {1
m
dan 2
p
}
P A
= 60
36 artinya
n A
= 36 dan
n S
= 60.
55 Untuk diketahui bahwa
A
peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih adalah salah
satu peristiwa partisi dari
S
.
Peristiwa partisi
adalah
peristiwa saling lepas
tetapi
gabungannya sama dengan S
. Peristiwa partisi selengkapnya adalah
A
,
B
dan
C
seperti yang
digambarkan dalam bentuk diagram pohon berikut ini.
Keterangan Gambar 4
1.
A
,
B
, dan
C
adalah peristiwa-peristiwa partisi dalam ruang sampel
S
. Yakni peristiwa saling lepas yang gabungannya =
S
. 2.
B
1
,
B
2
, dan
B
3
adalah peristiwa-peristiwa subpartisi dari peristiwa partisi
B
. 3. Selidiki bahwa salah satu peristiwa subpartisi yakni
B
1
= {
m
,
m
,
p
} sebenarnya adalah
B
1
= {
m
1
,
m
2
,
p
2
,
m
1
,
m
2
,
p
3
,
m
2
,
m
1
,
p
1
,
m
2
,
m
1
,
p
2
,
m
2
,
m
1
,
p
3
}. Sehingga banyak anggota peristiwa subpar-tisi
B
1
adalah
n B
1
= 6. Cermati pula bahwa elemen
m
1
,
m
2
,
p
1
m
2
,
m
1
,
p
1
. Sebab pada pengambil-an acak 1
– 1 tanpa pengem-balian urutan bola yang terambil memiliki makna yang berbeda. Artinya urutan unsur-unsurnya memiliki makna yakni urutan
unsur-unsurnya diperha-tikan. Mengapa? Cermati pula bahwa untuk eksperimen berupa pengambilan acak 1
– 1 tanpa pe-ngembalian tak mungkin ada pengulangan obyekbola yang terambil. Misal tak mungkin diperoleh hasil berupa
m
1
,
m
1
,
p
2
. Sebab akan berarti bahwa setelah terambil bola merah nomor 1 akan terambil lagi merah nomor 1
baru kemudian terambil bola putih nomor 2 padahal pegambilannya 1 – 1 tanpa pe-
ngembalian.
Gambar 4
5 bola
1 2
1 3
2
2
m
dan 3
p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola 1
– 1 tanpa pengembalian
Cara Eksp
S
III II
I m
p p
p m
p p
p m
5 2
5 3
5 3
4 3
3 2
4 2
4 2
3 2
3 2
60 12
60 12
60 12
Total PA =
60 36
=
5 3
m p
m m
m p
p m
m
p p
p
B
C A
B
1
B
2
B
3
56 Sementara ruang sampel
S
adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu eksperimen berupa pengambilan acak 3 bola dari 5 bola terdiri dari 2 bola merah dan 3 bola putih satu
demi satu tanpa pengembalian. Gambarannya seperti berikut.
Tugas saudara sebagai peserta diklat adalah menggambar peristiwa
A
S
yakni peristiwa terambilnya 1 bola merah dan 2 bola putih dalam bentuk diagram pohon boleh menggunakan
diagram pohon tak lengkap seperti gambar 4 di atas namun tetap dapat memperlihatkan bahwa
n A
= 36 seperti halnya gambar ruang sampel
S
yang tetap dapat memperlihatkan bahwa
n S
= 60 meski diagram pohonnya digambar dalam bentuk tak lengkap.
Masalah 8 Prinsip Perkalian
Misalkan dalam suatu ulangan harian disediakan 10 soal seperti yang digambarkan berikut ini.
Gambar 6
4 5 6 7
1 2 3
II I
8 9
10 III
Pilih bebas 2 nomor soal
diantaranya Pilih bebas
3 nomor soal diantaranya
Pilih bebas 1 nomor soal
diantaranya
Gambar 5
n =
5 43 = 5 turun 1-1 sebanyak 3 faktor
=
5 3
P
= 60
s
n
=
s
60
. Sehingga
n S
= 60.
5 bola
1 2
1 3
2
2
m
dan 3
p
Obyek Eksp
Ambil acak 3 bola 1
– 1 tanpa pengemb
Cara Eksp
m
1
m
2
p
1
p
2
p
1
p
2
p
3
m
1
m
2
p
1
p
2
p
3
m
2
p
1
p
2
p
3
m
1
, m
2
, p
1
= s
1
m
1
, m
2
, p
2
= s
2
m
1
, m
2
, p
3
= s
3
p
3
, p
2
, p
1
= s
n
m
1
m
2
p
1
S
5 cara
4 cara
3 cara
Hasil-hasil yang Mungkin III
I II
57 Dari kesepuluh nomor soal tersebut siswa diminta memilih secara bebas sebanyak 6 nomor
soal dengan ketentuan sebagai berikut. Sebanyak 2 nomor soal diantaranya diminta untuk memilih dari soal nomor 1 s.d 3, sebanyak 3 nomor soal diantaranya diminta untuk memilih
dari soal nomor 4 s.d 7, dan sebanyak 1 nomor soal diantaranya diminta memilih dari nomor- nomor soal sisanya. Ada berapa cara banyaknya semua pilihan soal yang mungkin rangkaian
nomor-nomor soal yang mungkin yakni
n S
untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu?
Perintahnya adalah: a.
Gambarkan kerangka berpikir penyelesaiannya dalam bentuk diagram pohon b.
Tentukan banyak anggota ruang sampel
S
yakni banyaknya semua pilihan rangkaian nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa pada ulangan itu.
c. Misalkan
n S
= banyaknya cara pemilihan nomor-nomor soal yang mungkin untuk dikerjakan oleh seorang siswa. Nyatakan
n S
yakni banyaknya semua rangkaian pilihan nomor soal yang mungkin untuk dapat dikerjakan oleh seorang siswa itu dalam
bentuk permutasi atau kombinasi.
Catatan:
1. Gambarkan ruang sampel
S
berikut elemen-elemen anggotanya yakni
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... dan seterusnya hingga titik sampel
s
yang terakhir. Jadi nyatakan
S
= {
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... dan seterusnya hingga titik sampel
s
yang terakhir yakni
s
n
} pada nomor soal ini dalam bentuk diagram pohon tak lengkap seperti gambar 5. Tujuannya agar teman-teman
guru yang tergabung di MGMP Matematika betul-betul menguasai secara mendalam tercapai kompetensinya sebagai bekal fasilitasi kepada para siswa dalam mengajar
untuk materi kombinatorik dan peluang yang selama ini masih dianggap sebagai masalah karena mungkin pendekatan pembelajarannya tidak diawali dengan sajian
dalam bentuk gambar. 2.
Materi peluang yang sudah dimatematikakan memiliki asumsi bahwa obyek-obyek eksperimennya setimbang dan seukuran sehingga kalau ingin memilih orang secara
acak 3 dari 40 orang. Maka agar nama-nama orangnya misalnya diambil secara acak 3 orang. Maka agar ada jaminan bahwa pemilihannya acak yakni sipelaku eksperimen
tak dapat mengatur hasil eksperimennya, ke-40 orang harus di ditulis pada lintingan-
58 lintingan kertas seukuran. Dengan begitu maka dijamin pemilihannya bersifat acak.
3. Untuk dapat mengerjakannya dengan baik silahkan BapakIbu pelajari terlebih dahulu
dengan cermat materi ”Kombinatorik dan Peluang” yang ada pada bahan bacaan di
Bagian III berikut ini.
59
BAGIAN III BAHAN BACAAN
Kategori