65
B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa
Masalah 1 Konsep Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Peristiwa
Misalkan 2 dua keping mata uang logam diundi sekaligus. Masalah yang ditanyakan adalah: a Hasil-hasil apa saja yang
mungkin terjadi pada eksperimen tersebut? b Tentukan ruang sampel, titik-titik sampel, dan peristiwa
A
yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar
G
tepat sebanyak 1 kali, serta peristiwa
B
yang didefinisikan sebagai peristiwa munculnya muka gambar
G
tepat sebanyak 2 kali. Gambarkan kesemuanya itu dalam bentuk diagram pohon dan
kemudian dalam bentuk diagram Venn.
Penyelesaian a.
Penyelidikan Dalam Bentuk Diagram Pohon
Dalam bentuk diagram pohon gambaran selengkapnya dari eksperimen percobaan acak tersebut adalah seperti berikut.
Gambar 12a
diundi sekaligus
Obyek Ekp. Cara Ekp.
Hasil-hasil Yang Mungkin
A
G A
G A
G A
,
A
=
s
1
B A
S A
,
G
=
s
2
G
,
A
=
s
3
G
,
G
=
s
4
Kemungkinan
I II
I II
Gambar 11
diundi sekaligus
?
Obyek Ekp.
I II
Cara Ekp.
66 Berdasarkan peragaan gambar 11b di atas maka:
Ruang sampel nya adalah
S
= {
s
1
,
s
2
,
s
3
,
s
4
} = {
A
,
A
,
A
,
G
,
G
,
A
,
G
,
G
} Hasil-hasil yang mungkin seperti
s
1
,
s
2
,
s
3
,
s
4
masing-masing disebut titik sampel
,
A
= peristiwa munculnya muka gambar
G
tepat sebanyak 1 kali = {
s
2
,
s
3
}, dan
B
= peristiwa munculnya muka gambar
G
tepat sebanyak 2 kali = {
s
4
} masing-masing disebut
peristiwakejadian dalam ruang sampel
S
. Peristiwa
B
dalam
S
yang tepat memiliki 1 titik sampel disebut sebagai
peristiwa elementer atau
peristiwa sederhana .
Sementara peristiwa
A
yang memiliki lebih dari 1 titik sampel
disebut sebagai peristiwa
majemuk .
b. Penyelidikan Dalam Bentuk Diagram Venn
S
= Ruang sampel hasil eksperimen.
s
1
,
s
2
,
s
3
, dan
s
4
adalah titik-titik sampel dalam ruang sampel
S
.
A
,
B
S
masing-masing disebut peristiwa
dalam ruang sampel
S
. Peristiwa
A
yang memiliki lebih dari 1 titik sampel
disebut peristiwa majemuk
dan peristiwa
B
yang memiliki
tepat 1 titik sampel disebut
peristiwa sederhana
peristiwa
elementer elementary event
. C.
Prinsip Perkalian Masalah
Misalkan kita adakan eksperimen percobaan acak berupa pengundian sekaligus sebuah paku payung standar warna putih gilap dan sebuah dadu. Pertanyaannya adalah ada
berapa macam ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen tersebut?
Penyelesaian
Amati bahwa dari masalah yang dikemukakan di atas, obyek eksperimen, cara eksperimen, dan hasil-hasil yang mungkin masing-masing adalah seperti yang digambarkan berikut.
s
1
s
2
s
3
s
4
A B
S
Gambar 12b
67 Berdasarkan kerangka penyelesaian yang digambarkan di atas dapat kita lihat bahwa obyek
eksperimen I adalah sebuah paku paying sementara obyek eksperimen II adalah sebuah dadu. Cara eksperimennya adalah diundi sekaligus. Sedangkan hasil-hasil yang mungkin
berupa pasangan berurutan
m
, 1,
m
, 2,
m
, 3, … dan seterusnya hingga
t
, 6. Atau jika ditulis dalam bentuk lambang titik-titik sampel semuanya ada 12. Keduabelas titik sampel
yang dimaksud adalah
s
1
,
s
2
,
s
3
, ... dan seterusnya hingga
s
12
. Sehingga ruang sampel
S
dari eksperimen di atas adalah:
S
= {
m
, 1,
m
, 2,
m
, 3, … ,
t
, 6} atau
S
= {
s
1
,
s
2
,
s
3
, …. ,
s
12
}. Maka
n S
= 12. Kini pertanyaan selanjutnya adalah apa kira-kira hubungan antara
n S
= 12 dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen I yakni
n
I = 2 dan banyaknya hasil yang mungkin untuk obyek eksperimen II yakni
n
II = 6? Amati bahwa setelah dicermati secara seksama ternyata
n S
= 12 = 2 6 =
n
I
n
II. Yakni
n S
merupakan hasil perkalian antara banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin pada obyek eksperimen I dengan banyaknya cara munculnya hasil yang mungkin
pada obyek eksperimen II. Yakni
Gambar 13
diundi sekaligus
Obyek Ekp. Cara Ekp.
I II m
t
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
t
, 6 =
s
12
t
, 5 =
s
11
t
, 4 =
s
10
t
, 3 =
s
9
t
, 2 =
s
8
t
, 1 =
s
7
m
, 6=
s
6
m
, 5 =
s
5
m
, 4 =
s
4
m
, 3 =
s
3
m
, 2 =
s
2
m
, 1 =
s
1
6 cara
2 cara
I II
S
n S
= 12 Hasil-hasil
yang mungkin
Keterangan
Hasil miring
m
= Hasil terlentang
t
= Kemungkinan
68
n S
= 2 6 =
n
1
n
2
. Kini bagaimana jika obyek eksperimennya sebanyak
k
. Yakni obyek eksperimen I, II, III, … dan seterusnya hingga
K
. Misalkan masing-masing obyek dapat terjadi dalam
n
1
cara,
n
2
cara,
n
3
cara, dan seterusnya hingga
n
k
cara. Berapakah banyak anggota ruang sampel
S
jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus? Apakah saudara sepakat jika kesemua obyek eksperimen itu diundi sekaligus maka ruang sampel
S
akan memuat titik sampel sebanyak
n S
=
n
1
n
2
n
3
…
n
k
? Jika kita sepakat dengan dugaan di atas dari mana kita dapat menyimpulkannya? Apakah
kita menyimpulkannya berdasarkan pola atau dari kerangka berpikir lain yang mungkin dalam bentuk gambar atau bentuk apa yang mungkin.
Perlu diingat jika kita dapat menyampaikannya dalam bentuk gambar, menurut Bruner Jerome Bruner, 1896
– 1980 peserta didik akan dapat menangkapnya secara jelas dan akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh melebihi dari apa yang pernah mereka
terima dari gurunya. Banyak anggota
S
seperti yang ditunjukkan pada petak di atas selanjutnya dikenal sebagai “
prinsip perkalian
”. Gambaran selengkapnya seperti berikut.
Gambar 14
O
I
O
k
O
II
O
III
…
Diundi sekaligus
n
1
cara
n
2
cara
n
3
cara
n
k
cara
Obyek Eksperimen Cara Eksp
Ruang sampel
S
dengan banyak titik sampel:
n S
=
n
1
n
2
n
3
…
n
k
. O
2
n
k
cara
… …
… …
…
… …
s
1
s
2
s
3
s
n
=
s
n
1 x
n
2 x
…
x nk
S
n
1
cara
n
2
cara
O
k
O
1
Hasil
2
yg mungkin
Kemungkinan
69 Dari kerangka berpikir yang digambarkan di atas kemungkinan terjadinya obyek eksp
O
1
,
O
2
,
O
3
, ... dan seterusnya hingga obyek eksperimen
O
k
masing-masing dapat terjadi dalam
n
1
cara,
n
2
cara, ... , dan seterusnya hingga
n
k
cara. Maka secara nalar hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi adalah sebanyak
n
1
n
2
n
3
…
n
k
cara. Yakni
n S
=
n
1
n
2
n
3
…
n
k
. D.
Peluang Pada Pengundian Masalah
Dua buah paku payung standar warna putih gilap diundi sekaligus. Jika
A
adalah peristiwa munculnya hasil kembar dan
B
adalah peristiwa munculnya hasil terlentang minimal sebanyak 1 kali. Pertanyaannya adalah:
a. Gambarkan hasil-hasil eksperimen yang mungkin
terjadi dalam bentuk diagram pohon termasuk ruang sampel
S
dan peristiwa
A
dalam
S
yakni
A
S
b. Gambarkan hasil-hasil eksperimenya dalam bentuk
diagram Venn. c.
Tentukan
P A
yakni peluang munculnya peristiwa
A
. d.
Tentukan
P B
yakni peluang munculnya peristiwa
B
. e.
Tentukan relasi antara peristiwa
A
dan
B
.
Penyelesaian a.
Dengan Penalaran Lengkap
Pertama kita gambar kerangka pemikiran berkenaan dengan hasil-hasil yang mungkin: ruang sampel
S
, peristiwa
A
dan
B
, serta teknik perhitungan nilai-nilai peluangnya. Gambaran selengkapnya seperti berikut.
diundi sekaligus
Obyek Ekp. Cara Ekp.
I II
Gambar 15
Gambar 16.a Keterangan
Hasil miring
m
= Hasil terlentang
t
= diundi
sekaligus Obyek Ekp.
Cara Ekp.
I II
10 7
10 3
I A
S
100 100
Total =
P
{
m
,
m
} =
100 9
10 3
10 3
P
{
m
,
t
} =
100 21
10 7
10 3
P
{
t
,
m
} =
100 21
10 3
10 7
P
{
t
,
t
} =
100 49
10 7
10 7
= 1 +
m t
m t
m
,
m m
,
t t
,
m t
,
t
10 3
10 7
10 3
10 7
II
=
s
1
=
s
2
=
s
3
=
s
4
m
t
10 7
P
{
t
} =
P
{
m
} =
10 3
,
B
Hasil-hasil yang mungkin
70 Dari peragaan gambar di atas akan tampak dengan jelas ruang sampel
S
pada eksperimen itu, peristiwa
A
, peristiwa
B
, dan perhitungan nilai peluang masing-masing. Jika
A
adalah peristiwa munculnya hasil kembar maka
A
= {
m
,
m
,
t
,
t
} = {
s
1
,
s
4
} sehingga
P A
= {
s
1
,
s
4
} =
P
{
s
1
} +
P
{
s
4
} =
100 9
+
100 49
=
100 58
= 0,58. Jika ruang sampel dan peristiwa
A
,
B
S
di atas kita gambarkan dalam bentuk diagram Venn maka gambaran kerangka pemikiran selengkapnya adalah seperti berikut.
P A
=
P
{
s
1
} +
P
{
s
4
}
=
100 9
+
100 49
=
100 58
= 0,58.
P B
=
P
{
s
4
} +
P
{
s
2
} +
P
{
s
3
}
=
100 49
+
100 21
+
100 21
=
100 91
= 0,91. Jadi peluang munculnya peristiwakejadian
A
dan
B
dalam ruang sampel
S
yakni
A
,
B
S
masing- masing adalah
P A
= 0,58 dan
P B
= 0,91.
b. Dengan Cara Singkat
Jika
A
adalah peristiwakejadian munculnya hasil kembar pada kedua paku payung, maka
A
= {
m
,
m
,
t
,
t
}. Sehingga
P A
=
P
{
m
,
m
} +
P
{
t
,
t
} =
P
{
m
}
P
{
m
} +
P
{
m
}
P
{
m
} =
10 3
10 3
+
10 7
10 7
=
100 9
+
100 49
=
100 58
= 0,58. Jika
B
adalah peristiwakejadian munculnya hasil terlentang minimal 1 kali
maka berarti peristiwa
B
= {muncul
t
satu kali atau muncul
t
dua kali} = {
m
,
t
,
t
,
m
,
t
,
t
} = {
s
2
,
s
3
,
s
4
}. Maka
P B
=
P
{
m
,
t
} +
P
{
t
,
m
} +
P
{
t
,
t
} =
P
{
m
}
P
{
t
} +
P
{
t
}
P
{
m
+
P
{
t
}
P
{
t
} =
10 7
10 3
+
10 3
10 7
+
10 7
10 7
S A
100 21
s
2
s
3
100 21
100 9
s
1 100
49
s
4
B
Gambar 16.b
71 =
100 21
+
100 21
+
100 49
=
100 91
= 0,91. Jadi peluang munculnya peristiwa
B
S
adalah
P B
=
100 91
= 0,91. Selidiki bahwa
P A
=
100 58
,
P B
=
100 91
, dan
B A
P
=
.
100 49
Karena
B A
P
=
100 49
100 58
.
100 91
Maka berarti
B A
P
P A
P B
. Sehingga peristiwa
A
dan
B
adalah dua peristiwa tak bebas.
Untuk lebih jelasnya lihat relasi antar peristiwa yang digambarkan dalam bentuk diagram Venn berikut ini.
E. Relasi Antar Peristiwa
Kategori