Relasi Antar Peristiwa BAHAN BACAAN

71 = 100 21 + 100 21 + 100 49 = 100 91 = 0,91. Jadi peluang munculnya peristiwa B  S adalah P B = 100 91 = 0,91. Selidiki bahwa P A = 100 58 , P B = 100 91 , dan B A P  = . 100 49 Karena B A P  = 100 49  100 58  . 100 91 Maka berarti B A P   P A  P B . Sehingga peristiwa A dan B adalah dua peristiwa tak bebas. Untuk lebih jelasnya lihat relasi antar peristiwa yang digambarkan dalam bentuk diagram Venn berikut ini.

E. Relasi Antar Peristiwa

Misalkan ruang sampel S berdistribusi seragam S homogin yakni masing-masing titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul. A , B  S. Relasi antara peristiwa A dan B dalam ruang ruang sampel S digambarkan seperti berikut. a. Dalam ruang sampel S S homogin A dan B adalah dua peristiwa lepas . b. A dan B adalah dua peristiwa komplemen . A = bukan B atau B = bukan A , ditulis B = A c  P A c = 1 – P A atau A P = 1 – P A untuk A = A c . c. P A = 10 7 , P B = 10 5 , P A  B = 10 2 . Ternyata P A  B  P A  P B , maka A dan B adalah dua peristiwa tak bebas . d. P A = 10 4 , P B = 10 5 , P A  B = 10 2 . Ternyata P A  B = P A  P B , maka A dan B adalah dua peristiwa bebas . A B S Gambar 17.a S A B Gambar 17.b S A B Gambar 17.d Gambar 17.c S A B 72 Latihan 1 1. Sekeping mata uang logam dan 2dua buah paku payung diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu. Pertanyaannya adalah: a Gambarkan diagram pohon ruang sampel S , titik sampel s 1 , s 2 , s 3 , ... dan seterusnya dalam S , serta peristiwa-peristiwa A , B dan A  B dalam S jika A adalah peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang logam dan munculnya hasil kembar pada paku payung. Sementara B adalah peristiwa munculnya hasil miring m pada paku payung sebanyak 2 kali. Tentukan peristiwa A , B , dan A  B dalam bentuk himpunan. b Gambarkan ruang sampel S , titik-titik sampel s 1 , s 2 , s 3 , ... dan seterusnya, serta peristiwa-pristiwa A dan B dalam sebuah diagram Venn. c Apakah A dan B merupakan 2 peristiwa lepas, bebas, tak bebas, atau komplemen? 2. Ada berapa cara hasil yang mungkin terjadi jika 4 keping mata uang logam, 1 buah dadu, dan 2 buah paku payung diundi sekaligus. Kemukakan alasan dan penalarannya 3. Tiga buah dadu diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu. Gambar 18 S ? diundi sekaligus II I III Obyek Eksp Cara Eksp Gambar 19 ? diundi sekaligus II I III Obyek Eksp Cara Eksp 73 Pertanyaannya adalah: a Tentukan n S yakni banyak anggota ruang sampel S . Jelaskan. b Apakah ruang sampel S berdistribusi seragam? Yakni masing-masing titik sampelnya berpeluang sama untuk muncul. Kemukakan alasannya. c Jika A , B , C , dan D masing-masing adalah peristiwa munculnya muka 1 sebanyak 0 kali, 1 kali, 2 kali, dan 3 kali, tentukan n A , n B , n C , dan n D yakni banyak anggota titik sampel dari masing-masing peristiwa itu. d Kemukakan relasi diantara peristiwa A , B , C , dan D apakah saling lepas atau saling partisi dalam ruang sampel S . Kemukakan alasannya. 4. Tiga keping mata uang logam I, II, dan III diundi sekaligus. Misalkan S adalah ruang sampel pada eksperimen itu. A , B , dan C adalah peristiwa-peristiwa dalam S dengan: A = peristiwa munculnya muka gambar G pada mata uang ke II atau ke III B = peristiwa munculnya muka angka A pada mata uang ke I atau ke II Tentukan relasi antara peristiwa A dan B . 5. Sekeping mata uang logam diundi sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya: a. Muka angka dalam pengundian itu. b. Muka gambar dalam pengundian itu. 6. Sebuah paku payung diundi sebanyak 1000 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya: a. Hasil miring dalam pengundian itu. b. Hasil terlentang dalam pengundian itu. 7. Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 1200 kali. Tentukam frekuensi harapan munculnya: a. Mata dadu genap dalam pengundian itu. b. Mata dadu prima dalam pengundian itu. c. Mata dadu genap dan mata dadu prima dalam pengundian itu. 8. Tiga lembar kartu bergambar diundi sekaligus dengan cara melemparkannya ke udara dan membiarkannya jatuh di tanah. Pertanyaannya adalah: a. Jika S adalah ruang sampel dari eksperimen itu, tentukan n S = ... yakni banyak anggota S dalam eksperimen itu. 74 b. Jika A  S adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 2 kali, tentukan peluang munculnya peristiwa A . c. Jika B  S adalah peristiwa munculnya muka gambar sebanyak 1 kali, tentukan peluang munculnya peristiwa B . d. Jika C  S adalah peristiwa tak satupun kartu gambar muncul dalam eksperimen itu, tentukan peluang munculnya peristiwa B . e. Tentukan relasi antara peristiwa A , B , C , dan D . 75 BAHAN BACAAN II KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGAMBILAN SAMPEL A. Notasi Faktorial Masalah Misalkan pada sebuah lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu yakni regu A , regu B , dan regu C . Misalkan pada lomba ini disediakan 3 hadiah hadiah I, II, dan III. Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan pada para pemenang? Penyelesaian Misalkan obyek eksperimen O = { A , B , C } adalah himpunan regu peserta tebak tepat. Karena pada eksperimen ini pada umumnya diberikan hadiah I, II, dan III yang tidak sama nilai rupiahnya maka berarti urutan pemenang memiliki makna yakni hadiah I lebih besar dari hadiah II, hadiah II lebih besar dari hadiah III, dan seterusnya bila regu dan hadiahnya lebih banyak. Sehingga gambaran penyelesaiannya adalah seperti berikut. Perhatikan bahwa berdasarkan peragaan gambar di atas maka hasil-hasil yang mungkin adalah A , B , C , A , C , B , B , A , C , … , C , B , A atau s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 , dan s 6 . Maka ruang sampelnya adalah S dengan banyak anggotanya n S = 6. Perhatikan pula bahwa n S = 6 berasal dari Gambar 20 Maka Ruang sampelnya S = { s 1 , s 2 , …, s 6 }. Banyaknya cara n S = 6. n S = 6 = 3 21 = 3 Urutan S I … A,B,C = s 1 C A B C B C B A C A B C A B A II III … A , C , B = s 2 … B , A , C = s 3 … B , C , A = s 4 … C , A , B = s 5 … C , B , A = s 6 3 cara 2 cara 1 cara Hasil-hasil yang mungkin O = { A , B , C } Bertanding untuk memperebutkan hadiah I, II, dan III Obyek Eksp Cara Eksp 76 hasil kali 3 21. Bentuk perkalian 321 itu selanjutnya didefinisikan sebagai 3 baca”3 faktorial. Yakni: 3 = 3 21. Dengan melihat penalaran seperti yang dikemukakan di atas maka untuk setiap bilangan cacah n maka n = n n – 1 n – 1 n – 1 … 2 1. Lebih lanjut didefinisikan disepakati bahwa 0 = 1. B. Permutasi Masalah Misalkan pada suatu lomba tebak tepat yang diikuti oleh 3 regu regu A , regu B , dan regu C hanya menyediakan 2 macam hadiah saja yakni hadiah I dan hadiah II. Pertanyaannya adalah ada berapa cara hadiah-hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang? Penyelesaian Misalkan obyek eksperimen O = { A , B , C } adalah himpunan regu peserta tebak tepat. Karena pada eksperimen ini hanya menyediakan 2 hadiah maka gambaran penyelesaiannya adalah seperti berikut. Gambar 21 Maka Ruang sampelnya S = { s 1 , s 2 , …, s 6 }. Banyaknya cara n S = 6 = 3 2. O = { A , B , C } Bertanding untuk memperebutkan hadiah I dan II Obyek Eksp Cara Eksp I A B C B A C C A B II S ….. A,B = s 1 ….. A , C = s 2 ….. B , A = s 3 ….. B , C = s 4 ….. C , A = s 5 ….. C , B = s 6 2 cara 3 cara Hasil-hasil yang mungkin Urutan pemenang yang mungkin 77 Dari gambaran kerangka berpikir di atas maka ada 6 cara hadiah I dan II dapat diberikan kepada para pemenang. Sehingga banyak anggota ruang sampelnya adalah n S = 6. Ruang sampel S yang dimaksud adalah S = { A , B , A , C , B , A , B , C , C , A , C , B } = { s 1 , s 2 , s 3 , …, s 6 }. Perhatikan bahwa n S = 6 tidak lain berasal dari 3 cara dan 2 cara. Yakni: n S = 6 = 3 2 = 1 1 2 3   = 1 3 = 2 3 3  . Amati bahwa susunan elemen hasil pemenang lomba seperti A , B  B , A sebab A , B artinya juara I adalah regu A dan juara keduanya adalah regu B . Sementara susunan elemen hasil seperti B , A artinya B juara I dan A juara II. Karena A , B  B , A maka berarti susunan urutan mempunyai makna. Jika susunan urutan eleman-elemennya mempunyai makna maka susunan eleman-elemen itu selanjutnya disebut sebagai eleman-elemen permutasi. Sehingga n S = 6 artinya banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta regu adalah S dengan n S = pea er ta da r i ha dia h P 3 2 = 3 2 da r i P = 3 2 P = 2 3 3  . Yakni n S = 3 2 P = 2 3 3  . Selidiki jika banyaknya peserta n dan banyaknya hadiah yang disediakan r tentu r  n maka akan selalu benar bahwa banyak anggota ruang sampel S adalah n S dengan n S = n r P . n r P = r n n  . Catatan n r P artinya banyaknya permutasi susunan urutan punya maknadiperhatikan dari pasangan berurutan r obyek yang berasal dari obyek eksperimen sebanyak n adalah r n n  .

C. Kombinasi