59
BAGIAN III BAHAN BACAAN
BAHAN BACAAN I KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGUNDIAN
A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan
Masalah 1 Konsep Peluang
Apa yang akan terjadi bila kita undi sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali dan apa yang akan terjadi jika kita undi sebuah paku payung standar warna putih gilap sebanyak
20.000 kali?
Catatan
Untuk diketahui bahwa dalam praktek “pengundian sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali” dapat diganti dengan “pengundian 100 keping mata uang logam sekaligus
sebanyak 200 kali”. Mengapa? Sebab sejalan dengan
mengundi sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali
bentuk ruang sampelnya relatif sama dengan mengundi 3 keping mata
uang sekaligus. Secara diagram pohon Gambar 7 pasangan hasil I, II, III misal
s
3
=
A
,
G
,
A
maka titik sampel
s
3
dibaca “mata uang logam I muncul angka
A
, mata uang logam II muncul gambar
G
, mata uang logam III muncul angka
A
“. Sementara untuk pengundian satu demi satu 1
– 1 sebanyak 3 kali titik sampel
s
3
=
A
,
G
,
A
dibaca titik sampel “
s
3
= obyek I muncul muka angka
A
, obyek II muncul muka gambar
G
, dan obyek III muncul muka angka
A
“. Cermati persamaan dan perbedaan arti sebuah titik sampel
s
3
pada gambar 7.1 dan 7.2.
60
Penyelesaian
Untuk diketahui bahwa hasil eksperimen yang pernah dilakukan oleh seseorang Anton, 1982:79 dan eksperimen pribadi oleh penulis di tahun 2001 diperoleh hasil-hasil seperti
berikut.
I Diundi
sebanyak 3 kali
A
G A
G A
G A
G A
G A
G A
G
I II
III
A
,
A
,
A
=
s
1
A
,
A
,
G
=
s
2
A
,
G
,
A
=
s
3
A
,
G
,
G
=
s
4
A
,
A
,
A
=
s
5
A
,
A
,
G
=
s
6
A
,
G
,
A
=
s
7
A
,
G
,
G
=
s
8
I III
II
Cara Eksp Hasil-hasil yang Mungkin
Cara Eksp
n S
= 8
S
Undian ke
Gambar 7.2 Gambar 7.1
III II
I Diundi
sekaligus
A
G A
G A
G A
G A
G A
G A
G
I II
III
A
,
A
,
A
=
s
1
A
,
A
,
G
=
s
2
A
,
G
,
A
=
s
3
A
,
G
,
G
=
s
4
A
,
A
,
A
=
s
5
A
,
A
,
G
=
s
6
A
,
G
,
A
=
s
7
A
,
G
,
G
=
s
8
I III
II
Cara Eksp Hasil-hasil yang Mungkin
Cara Eksp
n S
= 8
S
Obyek ke
n S
= 8 = 2
2
2 2
cara 2
cara 2
cara
61 Dari kedua obyek eksperimen percobaan acak seperti yang diperlihatkan pada tabel di atas
tampak bahwa semakin banyak eksperimen dilakukan maka frekuensi relatif munculnya muka angka
A
pada mata uang logam nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,5000 sementara untuk eksperimen yang sama terhadap paku payung fines diperoleh hasil
bahwa nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,3100. Perhatikan bahwa dalam 1 satu tempat desimal maka nilai frekuensi relatif munculnya muka
angka
A
pada sekeping mata uang logam
dan munculnya hasil miring
m
pada paku
payung paku pines jika eksperimen dilakukan sampai dengan tak hingga kali masing-
masing adalah seperti berikut.
f
r
A
= 2
1 = 0,5
dan
f
r
{
m
} = 10
3 .
Peluang munculnya suatu hasil eksperimen yang selanjutnya disebut
peluang secara teoritis didefinisikan
sebagai nilai
frekuensi relatif
munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya
diulang-ulang sampai dengan tak hingga kali. Sementara
peluang empiris
didefinisikan sebagai
frekuensi relatif
munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya
diulang-ulang hingga
banyak kali namun tidak
tak hingga kali . Oleh sebab itu maka untuk
selanjutnya dikatakan bahwa: Peluang munculnya muka angka
A
Peluang munculnya hasil miring
m
pada mata uang logam adalah: pada paku payung adalah:
Sumber: Anton :
1982,79
. Applied Finite Mathematics .
Banyaknya Eksp.
n
Frek. Muncul muka A
angka
m
Frek. Rel. hasilnya m
fr =
n m
10 100
1.000 5.000
10.000 15.000
20.000 8
62 473
2550 5098
7619
10.038 0,8000
0,6200 0,4730
0,5100 0,5098
0,5079 0,5019
Tabel 1 a
Sumber: Eksperimen Pribadi
, 2001
.
Tabel 1 b
Banyaknya Eksp.
n Frek. Muncul
hasil miring m
Frek. Rel. hasilnya m
fr =
n m
1000 5.000
10.000 15.000
20.000 314
1577 3157
4682 6214
0,3140 0,3154
0,3157 0,3121
0,3107
62
P A
= 2
1
lim
A f
r n
dan
P
{
m
} = .
10 3
} {
lim
m f
r n
Lebih lanjut karena hasil eksperimen yang mungkin untuk mata uang logam hanyalah muka angka
A
atau muka gambar
G
sementara untuk paku payumg hanyalah hasil miring
m
, atau terlentang
t
maka
Catatan
1. Obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang sama jika diundi disebut
obyek-obyek eksperimen yang seimbang
homogin
sementara obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang tidak sama jika diundi disebut obyek-obyek
eksperimen yang tak seimbang
non-homogin
. Pada contoh di atas mata uang logam termasuk obyek eksperimen yang seimbang sementara paku payung termasuk obyek
eksperimen yang tak seimbang.
2. Untuk selanjutnya peluang yang akan kita gunakan adalah peluang teoritik.
3. Untuk
kasus-kasus lain
seperti misalnya ”Diketahui
peluang pendudukwarga suatu
pulau berkata bohong 0,6. Jika kita ambil acak 2 orang penduduk. Tentukan peluang kedua orang yang terambil itu berkata bohong. Maka
P
bohong = 0,6 diasumsikan
sebagai peluang teoritis
. Artinya setelah melakukan pengamatan berulang hingga banyak kali maka
frekuensi relatif bohong
yakni
f
r
bohong cenderung menuju ke nilai 0,6. Maka
P
bohong = 0,6. Sehingga jika diambil acak sebanyak 2dua orang, maka
P
kedua orang berkata bohong adalah:
P
orang I bohong dan orang II bohong =
P
I bohong II bohong = 0,60,6 = 0,36.
P
{
m
} = 10
3 Peluang Miring
P
{
t
} = 1 –
10 3
= 10
7 Peluang Terlentang
P A
= 2
1 Peluang Muncul
Muka Angka
A P
G
= 1 –
2 1
= 2
1 Peluang Muncul
Muka Gambar
G
Untuk Sekeping Mata Uang Logam Untuk Sebuah Paku Payung
Gambar 8
63
Tugas
Untuk meyakinkan kebenaran bahwa
P
I bohong II bohong = 0,36. Selidiki
menggunakan diagram pohon
bahwa
jumlah peluang
munculnya ruang sampel
S
yakni
P S
=
P
I jujur II jujur +
P
I jujur II bohong +
P
I bohong II jujur
+
P
I bohong II bohong = 1.
Kini misalkan ada pertanyaan berapakah peluang munculnya hasil berdiri {
b
} jika sebuah paku payung standar diundi dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya
jatuh di lantai bersemen? Jika pada suatu eksperimen percobaan acak suatu peristiwa
A
pasti terjadi
maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kepastian
. Sementara itu jika pada suatu eksperimen suatu peristiwa
A
tak mungkin terjadi
maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kemustahilan
.
Sekarang kita sudah dapat mengidentifikasi manakah diantara obyek-obyek eksperimen mana diantara obyek-obyek eksperimen berikut ini yang merupakan obyek eksperimen setimbang
dan tak setimbang. Setimbang berarti jika obyek eksperimen itu diundi masing-masing hasil yang mungkin berpeluang sama untuk muncul.
Masalah 2 Konsep Frekuensi Harapan
Dari nilai-nilai peluang munculnya hasil-hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dan sebuah paku payung pines jika diadakan pengundian kepada masing-masing obyek
Gambar 9 Hasil Berdiri
Mungkinkah?
{
b
}
Gambar 10 a
b c
terlentang t miring m
Obyek Tak Setimbang
muka A angka
muka G gambar
Obyek Setimbang Obyek Setimbang
64 eksperimen itu bagaimana frekuensi harapan munculnya hasil yang mungkin jika pengundian
dilakukan hingga 20.000 kali?
Penyelesaian Jika pengundian dilakukan hingga 100.000 kali maka frekuensi harapan
f
h
munculnya:
Muka Angka Muka Gambar
f
h
A
= 100.000
P A
f
h
A
= 100.000
P G
= 100.000
2 1
= 100.000
2 1
= 50.000 kali. = 50.000 kali.
Hasil Miring Hasil Terlentang
f
r
A
= 100.000
P
{
m
}
f
r
A
= 100.000
P
{
t
} =100.000
10
3 = 100.000
10
7 = 30.000 kali.
= 70.000 kali. Jadi jika pengundian atas sekeping mata uang logam dilakukan sebanyak 100.000 kali maka
harapan munculnya muka angka adalah sebanyak50.000 kali dan munculnya muka gambar juga sebanyak50.000 kali. Sementara untuk sebuah paku payung jika pengundian dilakukan
sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya hasil miring 30.000 kali dan hasil terlentang 70.000 kali.
Catatan Frekuensi harapan
f
h
munculnya banyak kali hasil
A
yang diharapkan jika eksperimen percobaan acak dilakukan sebanyak
n
kali didefinisikan sebagai
f
h
A
=
n
P A
.
Yakni dengan menganggap bahwa
P A
adalah peluang munculnya peristiwa
A
dan
n
adalah banyaknya kali dilakukannya eksperimen berulang.
65
B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa