Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan

59

BAGIAN III BAHAN BACAAN

BAHAN BACAAN I KOMBINATORIK DAN PELUANG PADA PENGUNDIAN

A. Konsep Peluang dan Frekuensi Harapan

Masalah 1 Konsep Peluang Apa yang akan terjadi bila kita undi sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali dan apa yang akan terjadi jika kita undi sebuah paku payung standar warna putih gilap sebanyak 20.000 kali? Catatan Untuk diketahui bahwa dalam praktek “pengundian sekeping mata uang logam sebanyak 20.000 kali” dapat diganti dengan “pengundian 100 keping mata uang logam sekaligus sebanyak 200 kali”. Mengapa? Sebab sejalan dengan mengundi sekeping mata uang logam sebanyak 3 kali bentuk ruang sampelnya relatif sama dengan mengundi 3 keping mata uang sekaligus. Secara diagram pohon Gambar 7 pasangan hasil I, II, III misal s 3 = A , G , A maka titik sampel s 3 dibaca “mata uang logam I muncul angka A , mata uang logam II muncul gambar G , mata uang logam III muncul angka A “. Sementara untuk pengundian satu demi satu 1 – 1 sebanyak 3 kali titik sampel s 3 = A , G , A dibaca titik sampel “ s 3 = obyek I muncul muka angka A , obyek II muncul muka gambar G , dan obyek III muncul muka angka A “. Cermati persamaan dan perbedaan arti sebuah titik sampel s 3 pada gambar 7.1 dan 7.2. 60 Penyelesaian Untuk diketahui bahwa hasil eksperimen yang pernah dilakukan oleh seseorang Anton, 1982:79 dan eksperimen pribadi oleh penulis di tahun 2001 diperoleh hasil-hasil seperti berikut. I Diundi sebanyak 3 kali A G A G A G A G A G A G A G I II III A , A , A = s 1 A , A , G = s 2 A , G , A = s 3 A , G , G = s 4 A , A , A = s 5 A , A , G = s 6 A , G , A = s 7 A , G , G = s 8 I III II Cara Eksp Hasil-hasil yang Mungkin Cara Eksp n S = 8 S Undian ke Gambar 7.2 Gambar 7.1 III II I Diundi sekaligus A G A G A G A G A G A G A G I II III A , A , A = s 1 A , A , G = s 2 A , G , A = s 3 A , G , G = s 4 A , A , A = s 5 A , A , G = s 6 A , G , A = s 7 A , G , G = s 8 I III II Cara Eksp Hasil-hasil yang Mungkin Cara Eksp n S = 8 S Obyek ke n S = 8 = 2  2  2 2 cara 2 cara 2 cara 61 Dari kedua obyek eksperimen percobaan acak seperti yang diperlihatkan pada tabel di atas tampak bahwa semakin banyak eksperimen dilakukan maka frekuensi relatif munculnya muka angka A pada mata uang logam nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,5000 sementara untuk eksperimen yang sama terhadap paku payung fines diperoleh hasil bahwa nilai frekuensi relatifnya akan semakin mendekati nilai 0,3100. Perhatikan bahwa dalam 1 satu tempat desimal maka nilai frekuensi relatif munculnya muka angka A pada sekeping mata uang logam dan munculnya hasil miring m pada paku payung paku pines jika eksperimen dilakukan sampai dengan tak hingga kali masing- masing adalah seperti berikut. f r A = 2 1 = 0,5 dan f r { m } = 10 3 . Peluang munculnya suatu hasil eksperimen yang selanjutnya disebut peluang secara teoritis didefinisikan sebagai nilai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang sampai dengan tak hingga kali. Sementara peluang empiris didefinisikan sebagai frekuensi relatif munculnya hasil itu jika eksperimen yang dilakukannya diulang-ulang hingga banyak kali namun tidak tak hingga kali . Oleh sebab itu maka untuk selanjutnya dikatakan bahwa: Peluang munculnya muka angka A Peluang munculnya hasil miring m pada mata uang logam adalah: pada paku payung adalah: Sumber: Anton : 1982,79 . Applied Finite Mathematics . Banyaknya Eksp. n Frek. Muncul muka A angka m Frek. Rel. hasilnya m fr = n m 10 100 1.000 5.000 10.000 15.000 20.000 8 62 473 2550 5098 7619 10.038 0,8000 0,6200 0,4730 0,5100 0,5098 0,5079 0,5019 Tabel 1 a Sumber: Eksperimen Pribadi , 2001 . Tabel 1 b Banyaknya Eksp. n Frek. Muncul hasil miring m Frek. Rel. hasilnya m fr = n m 1000 5.000 10.000 15.000 20.000 314 1577 3157 4682 6214 0,3140 0,3154 0,3157 0,3121 0,3107 62 P A = 2 1 lim    A f r n dan P { m } = . 10 3 } { lim    m f r n Lebih lanjut karena hasil eksperimen yang mungkin untuk mata uang logam hanyalah muka angka A atau muka gambar G sementara untuk paku payumg hanyalah hasil miring m , atau terlentang t maka Catatan 1. Obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang seimbang homogin sementara obyek-obyek eksperimen yang menghasilkan nilai peluang yang tidak sama jika diundi disebut obyek-obyek eksperimen yang tak seimbang non-homogin . Pada contoh di atas mata uang logam termasuk obyek eksperimen yang seimbang sementara paku payung termasuk obyek eksperimen yang tak seimbang. 2. Untuk selanjutnya peluang yang akan kita gunakan adalah peluang teoritik. 3. Untuk kasus-kasus lain seperti misalnya ”Diketahui peluang pendudukwarga suatu pulau berkata bohong 0,6. Jika kita ambil acak 2 orang penduduk. Tentukan peluang kedua orang yang terambil itu berkata bohong. Maka P bohong = 0,6 diasumsikan sebagai peluang teoritis . Artinya setelah melakukan pengamatan berulang hingga banyak kali maka frekuensi relatif bohong yakni f r bohong cenderung menuju ke nilai 0,6. Maka P bohong = 0,6. Sehingga jika diambil acak sebanyak 2dua orang, maka P kedua orang berkata bohong adalah: P orang I bohong dan orang II bohong = P I bohong  II bohong = 0,60,6 = 0,36. P { m } = 10 3 Peluang Miring P { t } = 1 – 10 3 = 10 7 Peluang Terlentang P A = 2 1 Peluang Muncul Muka Angka A P G = 1 – 2 1 = 2 1 Peluang Muncul Muka Gambar G Untuk Sekeping Mata Uang Logam Untuk Sebuah Paku Payung Gambar 8 63 Tugas Untuk meyakinkan kebenaran bahwa P I bohong  II bohong = 0,36. Selidiki menggunakan diagram pohon bahwa jumlah peluang munculnya ruang sampel S yakni P S = P I jujur  II jujur + P I jujur  II bohong + P I bohong  II jujur + P I bohong  II bohong = 1. Kini misalkan ada pertanyaan berapakah peluang munculnya hasil berdiri { b } jika sebuah paku payung standar diundi dengan cara melambungkannya ke udara dan membiarkannya jatuh di lantai bersemen? Jika pada suatu eksperimen percobaan acak suatu peristiwa A pasti terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kepastian . Sementara itu jika pada suatu eksperimen suatu peristiwa A tak mungkin terjadi maka peristiwa itu disebut sebagai suatu kemustahilan . Sekarang kita sudah dapat mengidentifikasi manakah diantara obyek-obyek eksperimen mana diantara obyek-obyek eksperimen berikut ini yang merupakan obyek eksperimen setimbang dan tak setimbang. Setimbang berarti jika obyek eksperimen itu diundi masing-masing hasil yang mungkin berpeluang sama untuk muncul. Masalah 2 Konsep Frekuensi Harapan Dari nilai-nilai peluang munculnya hasil-hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dan sebuah paku payung pines jika diadakan pengundian kepada masing-masing obyek Gambar 9 Hasil Berdiri Mungkinkah? { b } Gambar 10 a b c terlentang t miring m Obyek Tak Setimbang muka A angka muka G gambar Obyek Setimbang Obyek Setimbang 64 eksperimen itu bagaimana frekuensi harapan munculnya hasil yang mungkin jika pengundian dilakukan hingga 20.000 kali? Penyelesaian Jika pengundian dilakukan hingga 100.000 kali maka frekuensi harapan f h munculnya: Muka Angka Muka Gambar f h A = 100.000  P A f h A = 100.000  P G = 100.000  2 1 = 100.000  2 1 = 50.000 kali. = 50.000 kali. Hasil Miring Hasil Terlentang f r A = 100.000  P { m } f r A = 100.000  P { t } =100.000  10 3 = 100.000  10 7 = 30.000 kali. = 70.000 kali. Jadi jika pengundian atas sekeping mata uang logam dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya muka angka adalah sebanyak50.000 kali dan munculnya muka gambar juga sebanyak50.000 kali. Sementara untuk sebuah paku payung jika pengundian dilakukan sebanyak 100.000 kali maka harapan munculnya hasil miring 30.000 kali dan hasil terlentang 70.000 kali. Catatan Frekuensi harapan f h munculnya banyak kali hasil A yang diharapkan jika eksperimen percobaan acak dilakukan sebanyak n kali didefinisikan sebagai f h A = n  P A . Yakni dengan menganggap bahwa P A adalah peluang munculnya peristiwa A dan n adalah banyaknya kali dilakukannya eksperimen berulang. 65

B. Ruang Sampel, Titik Sampel, Peristiwa, dan Relasi Antar Peristiwa