Model Prediksi ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average

Kondisi minimum akan tercapai apabila syarat berikut terpenuhi; ∇ , = 0 atau = 0, = 0 …. ….24 atau min JKG = min ∑ ….25 = min ∑ − Ŷ ….26 = min ∑ [ − + ] ….27 Bentuk persamaan regresi yang digunakan ditentukan dengan melihat pola series data hujan observasi dan data TRMM di seluruh lokasi studi, dan nilai determinasi R 2 tertinggi yang dihasilkan pada masing-masing persamaan. Bentuk persamaan regresi yang dapat digunakan antara lain: ✄ Model regresi linier ; = + + …28 ✄ Model geometrik; = + …29 ✄ Model logaritmik; = + + …30 ✄ Model eksponensial; = + …31 dimana Y i = Data hujan observasi mm X i = Data hujan satelit TRMM mm a = Intersepperpotongan dengan sumbu tegak b = Kemiringan gradien. Selanjutnya dihitung nilai korelasi atau koefisien determinasi, RMSE, MAE dan realtif bias antara data hujan observasi, data hujan TRMM sebelum koreksi dan data hujan TRMM setelah koreksi. Hal tersebut untuk mengetahui tingkat keakuratan hasil sebelum dan sesudah dilakukan koreksi terhadap data hujan TRMM. 3.3.6. Pendugaan Curah Hujan Bulanan Menggunakan Metode ARIMA Pembangunan model penduga curah hujan bulanan dilakukan setelah diperoleh faktor koreksi dan TRMM terkoreksi untuk wilayah dengan pola hujan muson, equatorial dan lokal. Metode yang digunakan adalah menggunakan metode prediksi untuk data deret berkala time series, yaitu ARIMA Autoregressive Integrated Moving Average. Penyusunan pemodelan ARIMA adalah sebagai berikut: 1. Fungsi Autokorelasi Autocorelation FunctionACF, Fungsi ACF menyatakan korelasi antara deret berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisi waktu 0,1,2 periode atau lebih yang digambarkan dengan alat correlogram. Koefisien autokorelasi dihitung menggunakan persamaan:           n t t k n t k t t k Y Y Y Y Y Y r 1 2 1 ... 32 Dimana : k r = koefisien autokorelasi pada lag k Y = rata–rata mean observasi Data t Y diasumsikan mempunyai rata–rata mean dan ragam yang stasioner. Time lag menunjukkan jarak diantara dua observasi. Jika n adalah banyaknya observasi pada suatu deret, maka banyaknya lag pada correlogram ditentukan: ☎ Terdapat n4 lag untuk series = 240 observasi ☎ Terdapat 45  n untuk series 240 observasi. Koefisien Autokorelasi untuk suatu deret bilangan acak harus nol. Hal ini dapat dicapai dengan asumsi bahwa ukuran contoh tidak terbatas. Koefisien autokorelasi dari data acak mempunyai sebaran penarikan contoh yang mendekati kurva normal dengan rata–rata nol dan galat standar n 1 . Suatu deret data dapat disimpulkan bersifat acak apabila koefisien korelasi yang dihitung berada di dalam batas tersebut Makridakis, S., et.al., 1999 dalam Soetamto, 2007. Jika suatu Autokorelasi pada lag k terletak diluar interval tersebut, maka dikatakan nilai Autokorelasi pada lag tersebut signifikan tidak sama dengan nol nilai k r berasal dari populasi yang mempunyai nilai Autokorelasi signifikan tidak sama dengan nol. 2. Fungsi Autokorelasi Parsial Parsial Autocorelation FunctionPACF Pada series t Y yang berkorelasi dengan 1  t Y dinotasikan dengan  , maka t Y akan berkorelasi dengan 2  t Y dinotasikan dengan 2  . Derajat korelasi antara t Y dan 2  t Y dapat ditentukan setelah penentuan korelasi orde pertama. Hal ini akan menghasilkan Fungsi Autokorelasi Parsial Partial Autocorrelation Function, PACF yang dapat ditentukan dengan menggunakan dua metode dasar, yaitu meregresikan t Y dengan k t t t Y Y Y    , , , 2 1  sedemikian hingga koefisien PACF kk  untuk lag k merupakan koefisien dari k t Y  dan yang kedua, menghitung koefisien–koefisien secara rekursif. 3. Pemeriksaan Stasioner Data Data yang layak digunakan dalam pemodelan ARIMA adalah data yang memenuhi asumsi stasioneritas baik rata–rata mean maupun ragamnya. Data yang tidak stasioner masih mengandung trend, pola musiman atau pola sistematis lainnya yang harus dihilangkan terlebih dahulu. Trend dan pola musiman akan mengakibatkan nilai time series yang berbeda. Data stasioner diperoleh apabila tidak terbukti adanya perubahan rata-rata dari waktu ke waktu, dan tidak memperlihatkan adanya perubahan variansi yang jelas dari waktu ke waktu. Data yang tidak stasioner dapat diatasi dengan melakukan proses pembedaan differencing terhadap series data yang rata–ratanya belum stasioner dengan cara mengurangkan setiap data, t Y , dengan data pada periode sebelumnya, 1  t Y . 4. Proses Autoregresif Autoregressive, AR Jika data merupakan fungsi dari p observasi masa lalu yang dinyatakan dengan persamaan Montgomery et al. 2008: t p t p t t t e Y Y Y Y          . . . 2 2 1 1      ... 33 dimana :  = suatu konstanta p    , , , 2 1  = koefisien autoregresif ke-1, ke-2 hingga ke- p t e = nilai galat kesalahan pada saat t berdistribusi normal independen dengan rata–rata nol dan variansi konstan atau   , ~ 2  N e t , maka   t Y merupakan suatu proses Autoregresif Autoregressive, AR orde p atau disebut juga model p AR atau , , p ARIMA . 5. Proses Rata-Rata Bergerak Moving Average, MA Jika data merupakan fungsi dari q galat kesalahan masa lalu yang dinyatakan dengan persamaan Montgomery et al. 2008: q t q t t t t e e e e Y          . . . 2 2 1 1    ð  ... 34 dimana : ✆ = suatu konstanta p    , , , 2 1  = koefisien rata-rata bergerak ke-1, ke-2 hingga ke- q t e = nilai galat kesalahan pada saat t berdistribusi normal independen dengan rata–rata nol dan variansi konstan atau   , ~ 2  N e t , maka   t Y merupakan suatu proses rata– rata bergerak Moving Average, MA orde q atau disebut juga model q MA atau , , q ARIMA . Pada model ini terdapat kombinasi linier antara nilai yang lalu dan nilai mendatang. 6. Model ARIMA Model , q p ARMA atau , , q p ARIMA dari suatu time series   t Y adalah model yang terbentuk dari proses p AR dan q MA sedemikian hingga untuk setiap t berlaku: q t q t t t p t p t t t e e e e Y Y Y Y                . . . . . . 2 2 1 1 2 2 1 1         ... 35 dengan , ~ 2  N e t . Series data pada model ini tidak mengalami pembedaan sudah mencapai kondisi stasioner tanpa melalui pembedaan. Model ini ditandai dengan ACF dan PACF yang bergerak perlahan–lahan menuju nol. Notasi umum yang digunakan untuk model musiman adalah sebagai berikut:         musiman orde s musiman non orde Q D P q d p ARIMA , , , , Dimana : p = orde proses autoregresif non musiman d = tingkat pembedaan differencing q = orde proses rata-rata bergerak non musiman P = orde proses autoregresif musiman D = tingkat pembedaan musiman