Definisi 3 Obligasi
Obligasi adalah instrumen hutang yang meminta penerbit membayar kembali pada
investor sejumlah uang yang dipinjam pokok hutang ditambah bunga selama periode
tertentu.
Fabozzi 2003
Definisi 4 Harga Obligasi
Harga obligasi adalah jumlah dari kupon yang didiskon nilai kini dari kupon dan
nilai pari yang didiskon nilai kini dari nilai pari.
Secara matematis
dapat dituliskan
sebagai berikut: kupon
1 nilai pari
1 .
Bodie et al 2006
Definisi 5 Zero-Coupon Bond Obligasi
Tanpa kupon
Zero-coupon bond adalah salah satu jenis
obligasi yang tidak memberikan kupon kepada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini
memberikan satu
kali cash
flow pembayaran pada pemiliknya yaitu pada
saat jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari. Persamaan harga obligasinya akan
menjadi: nilai pari
1 .
Fabozzi 2003
Definisi 6 Short rate
Short rate adalah suku bunga yang
berlaku pada interval waktu tertentu. Bodie et al 2006
Definisi 7 Forward interest rate
Forward interest rate adalah short rate
yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi yaitu
investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada
tahun ke-n akan sama. Jika forward interest rate untuk periode
n
adalah , maka
akan didefinisikan oleh persamaan:
1 1
1 ,
atau dituliskan 1
1 1
, adalah periode waktu,
adalah yield to maturity
dan jatuh tempo setelah -perode. Jadi, total return pada 2 strategi investasi
selama tahun akan sama jika short rate pada tahun ke-
sama dengan . Bodie et al 2006
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu
peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk lebih memahami proses stokastik, diperlukan definisi-definisi berikut.
Definisi 8 Percobaan Acak
Dalam suatu rangkaian percobaan sering kali percobaan dilakukan dalam kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini
disebut percobaan acak.
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 9 Ruang Contoh
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari .
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 10 Medan-
Medan- adalah himpunan yang
anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh yang memenuhi syarat-syarat
berikut:
1. .
2. Jika
maka , dengan
menyatakan komplemen dari himpunan .
3. Jika
, ,
, … . , maka .
Hogg dan Craig 2005
Definisi 11 Ukuran Peluang
Ukuran peluang pada ruang ukuran
, adalah fungsi : , -0,1 yang memenuhi:
0, 1.
Jika ,
, , …. adalah himpunan anggota-
anggota yang saling lepas yaitu
1
, untuk setiap 2, 3 dengan 2 4 3 maka:
56
∞
7
∞
. Pasangan
, , disebut dengan ruang peluang probability space.
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 12 Peubah Acak
Misalkan adalah medan- dari ruang
contoh . Suatu peubah acak 8 adalah suatu
fungsi 8: 9 : dengan sifat ;
: 8 = ? untuk setiap :. Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 13 Peubah Acak Diskret
Peubah acak 8 dikatakan peubah acak
diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari
:. Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan terbilang, jika C terdiri atas bilangan
terhingga atau anggota C dapat dipadankan 1- 1 dengan bilangan bulat positif.
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 14 Peubah Acak Kontinu
Peubah acak X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi
sehingga fungsi sebaran A
8 = yang dapat dinyatakan sebagai:
B
∞
C DC, C : untuk suatu fungsi
: E 9 -0, ∞ yang terintegralkan. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang
bagi 8.
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Jika 8 adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang , maka
nilai harapan dari 8 adalah
F 8 ∑
H
. Asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
Grimmet dan Stirzaker 2001 Definisi 16 Nilai Harapan Peubah Acak
Kontinu Jika
8 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
, maka nilai harapan dari
8 adalah: F 8
I .
Asalkan integral di atas konvergen mutlak. Grimmett dan Stirzaker 2001
Lema 1 Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya:
1. Jika
J adalah suatu konstanta, maka F J
J. 2.
Jika J adalah suatu konstanta dan K
adalah peubah acak, maka F JK
J F K . 3.
Jika J , J
adalah konstanta dan K , K
adalah suatu peubah acak, maka
F J , K J
, K J F K
J F K
. Hogg at al 2005
Definisi 17 Ragam dan Simpangan Baku
Misalkan 8 adalah peubah acak diskret
atau kontinu. Ragam 8 atau KL 8
dinotasikan dengan , didefinisikan
F MN8 O F 8 P Q
F 8 O NF 8 P
. Standar deviasi
8 dinotasikan dengan ,
didefinisikan R
. Ghahramani 2005
Definisi 18 Proses Stokastik Proses
stokastik 8 ;8 C , C ?
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke suatu ruang state
T. 2.3 Gerak Brown
Proses stokastik
8 ;8 C , C ? disebut gerak Brown jika:
1. 8 0
0. 2.
Untuk 0 U C U C
U V U C , peubah acak
8 C O 8 C
, 2 1, 2, … . , saling bebas.
3. Untuk
C X 0, 8 C berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
C. Ross 2007
2.4 Proses Wiener Proses Wiener adalah gerak Brown
dengan rataan 0 dan varian 1. Proses Wiener
umum untuk suatu peubah acak 8 dapat
dinyatakan sebagai berikut: D8 C
LDC YDZ C , 1 dengan
LDC disebut sebagai komponen deterministik dan
YDZ C menyatakan komponen stokastik, serta
Z C adalah proses Wiener, sedangkan
L dan Y masing-
masing menyatakan drift rate dan variance rate
dari 8.
Untuk proses
stokastik yang
didefinisikan pada
ruang probabilitas
Ω, A, berlaku hal berikut: Misalkan
Z C adalah proses Wiener pada Ω, A, . Integral stokastik adalah proses
stokastik 8 C dengan bentuk:
8 C 8 0
B L 8 [ , [ D[
\
B Y 8 [ , [ DZ [
\
. 2 Hull 2003
Definisi 20 Proses Ito
Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan
L dan Y menyatakan suatu fungsi dari peubah acak
8 dan waktu C. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut:
D8 C L 8 C , C DC Y 8 C , C DZ C .
3
Lema 2 Lema Ito
Misalkan proses
8 C memenuhi persamaan 3 dan fungsi
] C 8 C , C
adalah kontinu
serta turunan-turunan
8 C , C , 8 C , C kontinu, maka
] C 8 C , C memenuhi persamaan
berikut: D] C
_ 8 C , C 8 C , C L 8 C , C
1 2
Y 8 C , C ` DC
8 C , C Y 8 C , C DZ C , 4 dimana,
DZ C adalah proses Wiener. Kemudian,
] C juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut:
8 C , C 8 C , C L 8 C , C
1 2
Y 8 C , C .
dan variance rate yaitu, 8 C , C Y
8 C , C . Dimana,
D DC ,
D D8 ,
D D8
. Hull 2003
2.5 Persamaan Riccati
