Penentuan Harga Zero Coupon Bond

selain itu, fungsi Y C memenuhi: Y Š C Y C N† C C i C P, Y 1. 19 Persamaan 19 di atas merupakan turunan dari persamaan Riccati 17. Bukti: dari persamaan 17, karena Y C i Š C maka, Y C † C i C C i C O 1 , sehingga Y• C ‡ i C ‡ ‡ † C i C 1 2 C i C O 1 ‡ † C Y C C i C Y C Y C N† C C i C P. □

3.4 Penentuan Harga Zero Coupon Bond

pada Perluasan Model CIR dengan Struktur Waktu Awal Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga dari zero coupon bond yang diperoleh secara umum. Berikut ini akan ditentukan harga zero coupon bond dengan memberikan informasi awal yaitu C \ dan \ . Menurut lema Ito, diberikan volatilitas dari zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo dan forward interest rate dalam perluasan model CIR pada persamaan 14 berturut-turut adalah i C C R C dan Y C C R C . Untuk lebih jelasnya akan diberikan pada teorema berikut ini: Teorema 1: Untuk C \ = C = , minimal untuk C mendekati C \ yaitu: C O • u • u log Y C \ N ‘ ‘n log Y C \ P O † C O † Š C , 20 i C i C \ O i C \ Y C \ O 12† C \ Ni C \ O i C \ P , 21 Y C Y C \ Y C \ _Y C \ O 12† C \ Ni C \ O i C \ P` , 22 dimana, untuk C = † C ‹ O† O ‡ ‡ log Y C , 23 dengan: = volatilitas dari spot rate C = waktu eksekusi = waktu jatuh tempo C \ = waktu awal C 0. Bukti: Lampiran 4 Dalam hubungannya dengan † C \ , persamaan 20 juga dapat dituliskan menjadi: C •’ n “ • † C \ † C † C \ . 24 Model perlusan CIR termasuk dalam kelas model akar kuadrat sederhana, sehingga model akar kuadrat sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut, untuk semua C C \ ” 1 C \ 5• ‡ \ , C \ ‡ – “ •O \ ‡Y C \ ‡ – “ 7. 25 Dinamika dari discount function atau fungsi diskon dalam model akar kuadrat sederhana dapat diduga dengan mengikuti hasil dari struktur waktu awal. Fungsi diskon adalah nilai 1 yang didiskon sebagai fungsi dari waktu hingga pembayaran. Berikut ini diberikan teorema untuk mencari rumus harga zero coupon bond dengan menggunakan perluasan model CIR, dengan C C \ , Teorema 2: Untuk semua \ , X 0 dan 0 = C \ = C = . Rumus berikut mengikuti model akar kuadrat sederhana yaitu: , C \ , C \ \ , C \ _ Y C Y C \ Y C \ ` — exp •Ni C \ O i C \ P \ O i C Ž, 26 , C ”† C Y C , 27 dengan = harga dari obligasi pada waktu jatuh tempo . = forward interst rate pada waktu jatuh tempo. = suku bunga yang berlaku. Bukti: Lampiran 5 Persamaan 26 di atas merupakan lanjutan dari rumus penetapan harga dari zero coupon bond . Namun, persamaan 26 ini memiliki perbedaaan dengan persamaan 16, karena persamaan 26 hanya menggunakan informasi dari forward interest rate pada waktu awal dan kurva volatilitas pada waktu C \ , sedangkan persamaan 16 menggunakan koefisien … C , † C dan C . Penentuan harga obligasi yang diperoleh di atas adalah dalam bentuk rumus aljabar, oleh karena itu pada bagian selanjutnya akan dicari harga zero coupon bond dengan menggunakan simulasi yang diselesaikan secara komputasi. IV. SIMULASI Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai teori-teori dan rumus aljabar yang berkaitan dengan penentuan harga zero coupon bond . Selanjutnya, pada bagian ini akan diberikan simulasi yang akan menggambarkan harga zero coupon bond pada perluasan model CIR. Simulasi ini terdiri dari tabel dan gambar grafik yang merupakan implementasi dari penetapan harga zero coupon bond. Untuk lebih mempermudah contoh kasus, komponen stokastik dalam persamaan model suku bunga diasumsikan 0. Persamaan C diperoleh dengan menurunkan model suku bunga pada persamaan 14 yaitu: D … C O † C DC C √ De. Asumsikan: 0, didapat D … O † DC , 1 … O † D DC , I 1 … O † D I DC , O 1 † ln … O † C ˜ , f ™š › ’h f ’ œ , C … O f ’ • † . Saat C 0, … O • † , 0 † … O •, • … O 0 † . Jadi, C … O f ’ … O 0 † † , sehingga diperoleh, C † 0 f ’ … 1 O f ’ † . Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan 11 - 26, dan memilih parameter-parameter: Y † 1, L … 0,2 , σcir 0,4 , 0,1 , dan diketahui bahwa • √L 2 . Parameter-parameter tersebut digunakan pada software Mathematica 7, sehingga akan diperoleh harga zero coupon bond dari perluasan model CIR yang digambarkan dalam bentuk tabel dan grafik berikut. Tabel 1. Harga obligasi dari perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo 20 tahun t T 20 0.0177802 1 0.0192656 2 0.0200863 3 0.0209777 4 0.0229956 5 0.0266526 6 0.0322247 7 0.0400265 8 0.0505064 9 0.0642877 10 0.0822084 11 0.105372 12 0.135218 13 0.173607 14 0.222942 15 0.286314 16 0.3677 17 0.472211 18 0.60641 19 0.77873 20 1 Tabel di atas merupakan tabel harga zero coupon bond dari perluasan model CIR dengan periode jatuh tempo 20 tahun. Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa harga zero coupon bond pada perluasan model CIR terus mengalami kenaikan dan akan terus naik mendekati 1 nilai parinya dari jangka waktu nol hingga jangka waktu jatuh tempo. Berikut ini akan diberikan grafik-grafik hubungan antara harga zero coupon bond pada perluasan model CIR dengan waktu jatuh tempo yang bervariasi. Gambar 1. Grafik harga obligasi perluasan model CIR dengan bervariasi 1 2 3 4 5 t 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 p 2 4 6 8 10 t 0.4 0.6 0.8 1.0 p 5 10 15 20 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p 5 10 15 20 25 30 t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 p Gambar 1 di atas menunjukkan bahwa seluruh grafik harga zero coupon bond dengan variasi waktu jatuh tempo yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun, dan 30 tahun. Dari grafik dapat dilihat bahwa harga obligasi cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun hingga waktu jatuh tempo dengan nilai pari sebesar 1. Selanjutnya akan diberikan contoh untuk memperlihatkan perbedaan harga obligasi tiap waktunya. Misalkan, suku bunga 15, dengan mengambil harga zero coupon bond saat C 4 pada masing-masing waktu jatuh tempo yaitu dengan 5 harga obligasinya 0,855341, dengan 10 harga obligasinya 0,278148, dengan 20 harga obligasinya 0,0229956, dengan 30 harga obligasinya 0,00188763. Berikut ini grafik hubungan antara harga obligasi saat C 4 pada waktu jatuh tempo yang berbeda yaitu: Gambar 2. Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo Gambar 2 di atas merupakan grafik hubungan antara harga zero coupon bond saat C 4 dengan waktu jatuh tempo yang berbeda. Periode jatuh tempo yang berbeda yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun dan 30 tahun akan memberikan harga obligasi yang berbeda. Dapat dilihat bahwa saat C 4 harga obligasi yang diberikan berbeda-beda. Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin lama waktu jatuh temponya maka harga obligasi yang diperoleh akan semakin rendah. Selanjutnya diberikan contoh kasus untuk C tertentu. Misalkan, suku bunga yang diberikan bervariasi dan mengambil harga zero coupon bond tabel pada lampiran 8, saat C 5 pada masing-masing waktu jatuh tempo yaitu dengan 1 harga obligasinya 0,177388, dengan 5 harga obligasinya 0,175036, dengan 10 harga obligasinya 0,172095, dengan 20 harga obligasinya 0,166215. Sehingga akan diperoleh grafik hubungan antara harga zero coupon bond dengan suku bunga yang berbeda-beda pada saat jatuh tempo 10 tahun sebagai berikut: 0,2 0,4 0,6 0,8 1 5 10 20 30 P T Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo Gambar 3. Grafik hubungan harga obligasi dengan suku bunga Gambar 3 di atas merupakan grafik hubungan antara harga obligasi dengan suku bunga yang berbeda dan waktu jatuh tempo yang diberikan yaitu 10 tahun. Kesimpulan dari gambar di atas adalah jika suku bunga meningkat maka harga obligasi yang diperoleh akan menurun.

V. SIMPULAN