selain itu, fungsi Y C memenuhi:
Y
Š
C Y C N† C
C i C P, Y
1. 19
Persamaan 19 di atas merupakan turunan dari persamaan Riccati 17.
Bukti: dari persamaan 17, karena
Y C i
Š
C maka,
Y C † C i C
C i C O 1 ,
sehingga Y• C
‡ i C
‡ ‡ † C i C
1 2
C i C O 1
‡ † C Y C
C i C Y C Y C N† C
C i C P. □
3.4 Penentuan Harga Zero Coupon Bond
pada Perluasan Model CIR dengan Struktur Waktu Awal
Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga dari zero coupon bond yang diperoleh
secara umum. Berikut ini akan ditentukan harga zero coupon bond dengan memberikan
informasi awal yaitu C
\
dan
\
. Menurut lema Ito, diberikan volatilitas dari zero coupon
bond dengan waktu jatuh tempo
dan forward interest rate
dalam perluasan model CIR pada persamaan 14 berturut-turut
adalah i C
C R C dan
Y C C R C . Untuk lebih jelasnya akan
diberikan pada teorema berikut ini: Teorema 1:
Untuk C
\
= C = , minimal untuk C mendekati
C
\
yaitu: C
O
•
u
•
u
log Y C
\
N
‘ ‘n
log Y C
\
P O
† C O †
Š
C , 20 i C
i C
\
O i C
\
Y C
\
O 12† C
\
Ni C
\
O i C
\
P , 21
Y C Y C
\
Y C
\
_Y C
\
O 12† C
\
Ni C
\
O i C
\
P` ,
22 dimana, untuk
C = † C ‹ O†
O ‡
‡ log Y C , 23 dengan:
= volatilitas dari spot rate C
= waktu eksekusi = waktu jatuh tempo
C
\
= waktu awal C 0.
Bukti: Lampiran 4 Dalam hubungannya dengan
† C
\
, persamaan 20 juga dapat dituliskan
menjadi: C
•’
n “
•
† C
\
† C † C
\
. 24
Model perlusan CIR termasuk dalam kelas model akar kuadrat sederhana, sehingga
model akar
kuadrat sederhana
dapat dinyatakan sebagai berikut, untuk semua
C C
\
” 1
C
\
5• ‡
\
, C
\
‡ –
“
•O
\
‡Y C
\
‡ –
“
7. 25
Dinamika dari discount function atau fungsi diskon dalam model akar kuadrat
sederhana dapat diduga dengan mengikuti hasil dari struktur waktu awal. Fungsi diskon
adalah nilai 1 yang didiskon sebagai fungsi dari waktu hingga pembayaran. Berikut ini
diberikan teorema untuk mencari rumus harga
zero coupon
bond dengan
menggunakan perluasan model CIR, dengan C C
\
, Teorema 2:
Untuk semua
\
, X 0 dan 0 = C
\
= C = .
Rumus berikut mengikuti model akar kuadrat sederhana yaitu:
, C
\
, C
\ \
, C
\
_ Y C Y C
\
Y C
\
`
—
exp •Ni C
\
O i C
\
P
\
O i C Ž, 26 , C
Ӡ C Y C , 27
dengan = harga dari obligasi pada waktu
jatuh tempo . = forward interst rate pada waktu
jatuh tempo. = suku bunga yang berlaku.
Bukti: Lampiran 5 Persamaan 26 di atas merupakan
lanjutan dari rumus penetapan harga dari zero coupon bond
. Namun, persamaan 26 ini memiliki perbedaaan dengan persamaan 16,
karena persamaan 26 hanya menggunakan informasi dari forward interest rate pada
waktu awal dan kurva volatilitas pada waktu
C
\
, sedangkan persamaan 16 menggunakan koefisien
… C , † C dan C . Penentuan harga obligasi yang diperoleh
di atas adalah dalam bentuk rumus aljabar, oleh karena itu pada bagian selanjutnya akan
dicari harga zero coupon bond dengan menggunakan simulasi yang diselesaikan
secara komputasi.
IV. SIMULASI
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai teori-teori dan rumus aljabar yang
berkaitan dengan penentuan harga zero coupon bond
. Selanjutnya, pada bagian ini akan
diberikan simulasi
yang akan
menggambarkan harga zero coupon bond pada perluasan model CIR.
Simulasi ini terdiri dari tabel dan gambar grafik yang merupakan implementasi
dari penetapan harga zero coupon bond. Untuk lebih mempermudah contoh kasus,
komponen stokastik dalam persamaan model suku bunga diasumsikan
0. Persamaan
C diperoleh dengan menurunkan model suku bunga pada
persamaan 14 yaitu: D
… C O † C DC C √ De.
Asumsikan: 0, didapat
D … O † DC ,
1 … O † D
DC , I
1 … O † D
I DC , O
1 † ln … O †
C ˜ , f
™š › ’h
f
’ œ
, C
… O f
’
• †
. Saat
C 0, … O •
† , 0 † … O •,
• … O 0 † . Jadi,
C … O f
’
… O 0 † †
, sehingga diperoleh,
C † 0 f
’
… 1 O f
’
† .
Selanjutnya, dengan
menggunakan persamaan 11 - 26, dan memilih
parameter-parameter: Y † 1,
L … 0,2 , σcir 0,4 ,
0,1 , dan diketahui bahwa
• √L 2
. Parameter-parameter tersebut digunakan
pada software Mathematica 7, sehingga akan diperoleh harga zero coupon bond dari
perluasan model CIR yang digambarkan dalam bentuk tabel dan grafik berikut.
Tabel 1. Harga obligasi dari perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo 20 tahun t
T 20
0.0177802 1
0.0192656 2
0.0200863 3
0.0209777 4
0.0229956 5
0.0266526 6
0.0322247 7
0.0400265 8
0.0505064 9
0.0642877 10
0.0822084 11
0.105372 12
0.135218 13
0.173607 14
0.222942 15
0.286314 16
0.3677 17
0.472211 18
0.60641 19
0.77873 20
1 Tabel di atas merupakan tabel harga
zero coupon bond dari perluasan model CIR
dengan periode jatuh tempo 20 tahun.
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa harga zero coupon bond pada perluasan
model CIR terus mengalami kenaikan dan akan terus naik mendekati 1 nilai parinya
dari jangka waktu nol hingga jangka waktu jatuh tempo.
Berikut ini akan diberikan grafik-grafik hubungan antara harga zero coupon bond
pada perluasan model CIR dengan waktu jatuh tempo yang bervariasi.
Gambar 1. Grafik harga obligasi perluasan model CIR dengan bervariasi
1 2
3 4
5 t
0.75 0.80
0.85 0.90
0.95 1.00
p
2 4
6 8
10 t
0.4 0.6
0.8 1.0
p
5 10
15 20
t 0.2
0.4 0.6
0.8 1.0
p
5 10 15 20 25 30
t 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
p
Gambar 1 di atas menunjukkan bahwa seluruh grafik harga zero coupon bond
dengan variasi waktu jatuh tempo yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun, dan 30 tahun. Dari
grafik dapat dilihat bahwa harga obligasi cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke
tahun hingga waktu jatuh tempo dengan nilai pari sebesar 1.
Selanjutnya akan diberikan contoh untuk memperlihatkan perbedaan harga obligasi
tiap waktunya. Misalkan, suku bunga 15, dengan mengambil harga zero
coupon bond saat
C 4 pada masing-masing waktu jatuh tempo yaitu dengan
5 harga obligasinya 0,855341, dengan
10 harga obligasinya 0,278148, dengan
20 harga obligasinya 0,0229956, dengan
30 harga obligasinya 0,00188763. Berikut ini grafik
hubungan antara harga obligasi saat C 4
pada waktu jatuh tempo yang berbeda yaitu:
Gambar 2. Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo Gambar 2 di atas merupakan grafik
hubungan antara harga zero coupon bond saat C 4 dengan waktu jatuh tempo yang
berbeda. Periode jatuh tempo yang berbeda yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun dan 30
tahun akan memberikan harga obligasi yang berbeda. Dapat dilihat bahwa saat
C 4 harga obligasi yang diberikan berbeda-beda.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin lama waktu jatuh temponya maka harga
obligasi yang diperoleh akan semakin rendah.
Selanjutnya diberikan contoh kasus untuk
C tertentu. Misalkan, suku bunga yang diberikan bervariasi dan mengambil harga
zero coupon bond tabel pada lampiran 8,
saat C 5 pada masing-masing waktu jatuh
tempo yaitu
dengan 1 harga
obligasinya 0,177388, dengan 5 harga
obligasinya 0,175036, dengan 10
harga obligasinya 0,172095, dengan 20
harga obligasinya 0,166215. Sehingga akan diperoleh grafik hubungan antara harga zero
coupon bond dengan suku bunga yang
berbeda-beda pada saat jatuh tempo 10 tahun sebagai berikut:
0,2 0,4
0,6 0,8
1
5 10
20 30
P
T
Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh tempo
Gambar 3. Grafik hubungan harga obligasi dengan suku bunga Gambar 3 di atas merupakan grafik
hubungan antara harga obligasi dengan suku bunga yang berbeda dan waktu jatuh tempo
yang diberikan yaitu 10 tahun. Kesimpulan dari gambar di atas adalah jika suku bunga
meningkat maka harga obligasi yang diperoleh akan menurun.
V. SIMPULAN