Gambar 3. Grafik hubungan harga obligasi dengan suku bunga Gambar 3 di atas merupakan grafik
hubungan antara harga obligasi dengan suku bunga yang berbeda dan waktu jatuh tempo
yang diberikan yaitu 10 tahun. Kesimpulan dari gambar di atas adalah jika suku bunga
meningkat maka harga obligasi yang diperoleh akan menurun.
V. SIMPULAN
Model Cox-Ingersoll-Ross CIR dapat menghilangkan kemungkinan suku bunga
bernilai negatif, sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan negatif. Perluasan
dari model CIR dapat digunakan untuk menentukan harga zero coupon bond
obligasi tanpa kupon.
Rumus penetapan harga zero coupon bond
pada perluasan model CIR diperoleh dalam bentuk aljabar pada struktur waktu
awal, dengan
menyelesaikan solusi
persamaan diferensial yang diberikan sesuai dengan kondisi batas yang telah ditentukan.
Harga obligasi pada perluasan model CIR cenderung mengalami kenaikan dari
tahun ke tahun sampai waktu jatuh tempo. Harga obligasi berbanding terbalik dengan
waktu jatuh tempo dan suku bunga. Semakin lama waktu jatuh temponya maka semakin
kecil pula harga obligasinya. Selain itu, jika suku bunga meningkat maka harga obligasi
yang diperoleh akan menurun. 0,164
0,166 0,168
0,17 0,172
0,174 0,176
0,178
0,05 0,1
0,15 0,2
0,25
P
r
Grafik harga obligasi dengan T=10
DAFTAR PUSTAKA
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investments.
6
¡
Ed. New Jersey: Mc Graw-Hill Companies,Inc.
Cox JC, Ingersoll JE, and Ross SA. 1985. A Theory of The Term Structure of Interest
Rates, Econometrica, 53, 385-407. Fabozzi FJ, Modigliani F. 2003. Capital
Markets Institusions and Instrumens . Ed
ke -3. New Jersey: Prentice Hall. Ghahramani S. 2005. Fundamental of
Probability . Ed ke-2. New Jersey: Prentice
Hall, inc. Grimmet G, Stirzaker DR. 2001. Probability
and Random Processes . New York:
Clarendo Press Oxford. Harvey CR, Gretchen M. 2002. The New York
Times Dictionary of Money and Investing. New York: Henry Holt dcompany.
Hille E.
1997. Ordinary
Differential Equations in the Complex Domain
. New York: Domain Publications.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematicals Statistic
. 6
¡
Ed. New Jersey: Prentice Hall, inc. Hull JC. 2003. Options, Futures and Other
Derivatives. Ed ke-5. New Jersey: Pearson
Education, Inc. Jamshidian F. 1995. A Simple Class of
Square-root Interest-rate Models. Applied Mathematical Finance
2, 61-72. Karl EC, Ray CF. 2008. Principles of
Economics .
8
¡
Ed. New Jersey: Prentice Hall, Inc.
Rolski T, Schimidli H, Schmidt V, Teugels J. 1999. Stochastic Processes for Insurance
and Finance . Chicester: John Wiley
Sons. Ross SM. 2007. Introduction to Probability
Model .
9
¡
Ed. San Diego: Academic Press.
Suryaningtyastuti E.
2006. Model
Kesetimbanan Vasicek untuk Struktur Waktu Suku Bunga [Skripsi]. Bogor:
Jurusan Matematika FMIPA, Institut Pertanian Bogor.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Bukti persamaan 10
Diberikan model Vasicek: D
L Y O DC De
1a Dengan menggunakan persamaan 1b akan dicari persamaan
C D f
o
f
o
D Lf
o
DC 1b Substitusikan persamaan 1a ke dalam persamaan 1b, maka akan diperoleh:
D f
o
f
o
D Lf
o
DC LYf
o
DC O Lf
o
DC Lf
o
DC f
o
De LYf
o
DC f
o
De Kemudian integralkan kedua ruas akan diperoleh:
I D f
o \
I LYf
o|
D[
\
I f
o|
De
\
[ f
o
C O 0 LY I f
o|
D[
\
I f
o|
De [
\
f
o
C LY I f
o|
D[
\
I f
o|
De [
\
f
o
C Y f
o
O 1 I f
o|
De [
\
C 0 f
o
Y 1 O f
o
I f
o |
De [
\
Lampiran 2: Bukti persamaan 15
Diberikan persamaan suku bunga pada perluasan model CIR yaitu:
D … C O † C DC
C √ De 2a
dengan sumber ketidakpastian e C adalah proses Wiener dan variasi kenaikan DC.
Diasumsikan, zero coupon bond dan nilai pari 1 satuan moneter, maka harga obligasi 1
1 Karena fungsi dari waktu dan fungsi dari dan
C, maka fungsi dari , C dan ditulis: C,
, C,
dengan menggunakan Lema Ito akan diperoleh: D
‡ ‡C DC
‡ ‡ D
1 2
‡ ‡
D ‡
‡C DC ‡
‡ … C O † C DC
C √ De 1
2 ‡
‡ … C O † C DC
C √ De ‡
‡C DC … C O † C
‡ ‡ DC
C √ ‡
‡ De 1
2 ‡
‡ - … C O † C
DC 2 … C O † C
C √ DCDe 1
2 C √ De
Sesuai Lema Ito, diketahui bahwa: DC
DCDe De
Sehingga akan diperoleh: _
‡ ‡C
… C O † C ‡
‡C 1
2 C
‡ ‡
` DC C √
‡ ‡ De
Diasumsikan bahwa model dari harga obligasi dapat dinyatakan sebagai berikut: D
¤ C, [ DC O C, [ De
2b dengan parameter:
¤ C, ¤ , C,
C, , C,
Sehingga akan diperoleh: ¤ , C,
¥ h, ,
•
•¥ •
… C O † C
•¥ •
C
•
u
¥ •h
u
Ž , C,
2c , C,
O
¥ h, ,
C √
•¥ •h
, C, 2d
Fungsi ¤ , C, dan
, C, berturut-turut adalah nilai rataan dan variasi dari instantaneous rate of return
pada waktu C untuk obligasi dengan waktu jatuh tempo .
Misalkan seorang investor pada waktu C menerbitkan obligasi sejumlah Z dengan waktu jatuh
tempo dan membeli sejumlah
Z dengan waktu jatuh tempo
. Maka, total kekayaan dari portofolionya adalah
Z Z O Z
2e Kemudian, kostruksikan perubahan kekayaan terhadap waktu sebagai berikut:
DZ Z ¤ C,
DC O Z C, De
2f DZ
Z ¤ C,
DC O Z C,
De 2g
Perubahan total kekayaan portofolio Z terhadap waktu diperoleh dengan menggunakan Lema Ito
dan persamaan 2f sebagai berikut: DZ
‡Z ‡C DC
‡Z ‡Z DZ
‡Z ‡Z
DZ 1
2 ‡Z
‡Z ‡Z
1
DZ DZ
1 ,1
ODZ DZ
O Z ¤ C, DC O Z C,
De Z
¤ C, DC O Z
C, De
Z ¤ C,
DC O Z C,
De O Z ¤ C, DC O Z C,
De 2h Nilai
Z dan Z dapat diperoleh dengan menggunakan teori portofolio sebagai berikut:
Jika 2 aset dengan variasi masing-masing ,
maka variasi atau risiko portofolio adalah
¥
¦ ¦
2¦ ¦ ˜§¨
dengan ˜§¨
© dan
© ˜§
. ˜§
adalah korelasi antara return aset 1 dan return aset 2, dengan nilai O1 = ©
= 1. ©
O1 : kedua aset mempunyai korelasi negatif sempurna ©
1 : kedua aset mempunyai korelasi positif sempurna Pada kasus ini total kekayaan investor adalah
Z Z O Z
Suatu investasi nilainya akan terus meningkat sebesar: DZ Z C DC
2i Investor melakukan hedging yaitu berinvestasi pada aset yang payoff menyeimbangkan resiko dan
bertujuan untuk melindungi portofolio. Aset hedging mempunyai korelasi negatif dengan aset lain, sehingga korelasi 2 aset beresiko mempunyai korelasi negatif sempurna
© O1.
Sehingga diperoleh:
¥
Z C,
Z Z C,
2Z Z Z C,
C, 2j
Untuk memaksimalkan keuntungan, maka minimalkan variasi atau resiko portofolio terhadap proporsi aset yang membentuk portofolio. Proporsi
Z yang optimal diperoleh dari turunan fungsi 2j terhadap
Z sama dengan nol, sebagai berikut: D
¥
DZ 2Z C,
2 Z Z C,
O 2Z C, C,
O 4Z C, C,
Z N C, C,
O 2 C, C,
P Z C,
C, O C,
Z Z C,
C, O C,
C, O C,
menghasilkan: Z
ªy ,
u
y ,
«
y ,
u
2k dengan menyubstitusi persamaan 2k pada persamaan 2e, diperoleh:
Z Z Z
Z Z C,
C, O C,
ZN C, O C,
P Z C, C,
O C,
menghasilkan: Z
Z C, C,
O C, 2l
Substitusikan persamaan 2k ke dalam persamaan 2l ke dalam persamaan 2h, maka diperoleh: DZ _
Z C, ¤ C,
C, O C,
O Z C,
¤ C, C,
O C, ` DC
O _ Z C,
C, C,
O C, O
Z C, C,
C, O C,
` De DZ Z _
¤ C, C,
O ¤ C, C,
C, O C,
` DC
2m Portofolio yang terdiri dari 2 obligasi beresiko membuat elemen stokastik
De tidak terdapat pada persamaan 2m, sehingga memberikan return yang sama seperti pinjaman pada spot rate yang
dinyatakan persamaan 2i. Bandingkan persamaan 2i dengan persamaan 2m, sehingga diperoleh:
_ ¤ C,
C, O ¤ C,
C, C,
O C, `
C ¤ C,
C, O ¤ C,
C, C N C,
O C, P
N¤ C, O C P C,
N¤ C, O C P C,
¤ C, O C
C, ¤ C,
O C C,
2n
Persamaan 2n berlaku untuk waktu jatuh tempo dan
, sehingga untuk waktu jatuh tempo dan
C , kemudian notasikan
¬ C, sebagai: ¬ C,
¤ , C, O , C,
2o Kuantitas
¬ C, disebut market price of risk, menyatakan kenaikan nilai harapan instantaneous rate of return
pada suatu obligasi per unit tambahan resiko. Persamaan 2o diatas dapat dituliskan menjadi:
¤ , C, O ¬ C,
, C, 2p
Kemudian substitusikan ¤, dari persamaan 2d dan 2e ke dalam persamaan 2p:
¥ h, ,
•
•¥ •
… C O † C
•¥ •
C
•
u
¥ •h
u
Ž , C, O
¬ C, •O
¥ h, ,
C √
•¥ •h
, C, Ž ‡
‡C … C O † C
‡ ‡C
1 2
C ‡
‡ O
O¬ C √ ‡
‡
Pada kasus nilai harapan instantaneous rate of return pada obligasi saat sama dengan tingkat suku bunga yang berlaku, artinya
¬ C, ¤ , C, O
, C, ¬ C,
O , C,
maka, ‡
‡C … C O † C
‡ ‡C
1 2
C ‡
‡ O
□ Lampiran 3
Bukti Persamaan 16:
Akan dibuktikan bahwa persamaan harga zero coupon bond 16 merupakan solusi dari persamaan diferensial 15 berikut:
1 2
C
hh
… C O † C
h
O 3a
Diketahui persamaan harga zero coupon bond: , C
exp _O I i [ … [ d[ O i C ` ; C = Misalkan:
Y C, exp •O B i [ … [ d[Ž, maka persamaan di atas akan menjadi:
, C Y C, e
g , h
3b Dengan kondisi batas
, 1. Turunkan persamaan 3b terhadap ,
h
, dan
hh
: Y e
gh
O Yi e
gh h
OYie
gh hh
Yi e
gh
Diketahui bahwa: Y ,
1dani , Substitusikan persamaan 3b dan turunan-turunannya ke dalam persamaan 3a:
1 2
C
hh
… C O † C
h
O Y e
gh
O Yi e
gh
t 1
2 C x Yi
e
gh
… C O † C OYie
gh
O Ye
gh
Y e
gh
O Yi e
gh
1 2
C Yi e
gh
O … C Yie
gh
† C Yie
gh
O Ye
gh
Y e
gh
tOi 1
2 C i
† C i O 1x e
gh
Y O … C i Dimana,
Oi C i
† C i O 1 0 dengan i , Y O … C i 0
dengan Y ,
1
Lampiran 4 Bukti Teorema 1:
Dari jurnal diperoleh persamaan berikut, untuk C = [ = :
‡ ‡C log
Y
|
C Ni C O i
|
C P O
‡ ‡C log Y C
Kemudian integralkan dari C ke [ akan diperoleh:
I ‡
‡C
|
log Y
|
C Ni C O i
|
C P O I
‡ ‡C
|
log Y C
•log Y
|
C Ni C O i
|
C P ®
|
O•log Y C |
|
log Y
|
[ Ni [ O i
|
[ P O log
Y
|
C Ni C O i
|
C P O log Y [
log Y C
log Y
|
[ Ni [ O i
|
[ P Y
|
C Ni C O i
|
C P log
Y C Y [
f
™°± v
²
| Ng
m
| g
²
| P
u
v
²
Ng
m
g
²
P
u
f
™°±v
m
v
m
|
Y
|
[ Ni C O i
|
C P Y
|
C Ni [ O i
|
[ P Y C
Y [ Y
|
[ Y [ Ni C O i
|
C P Y
|
C Y C Ni [ O i
|
[ P Y
|
C Y C Ni [ O i
|
[ P Y
|
[ Y [ Ni C O i
|
C P 4a
diketahui untuk C = maka i
0 dan Y 1
Maka i
|
[ 0 dan Y
|
[ 1
Sehingga persamaan di atas menjadi: Y
|
C Y C i [ O 0 1 Y [ Ni C O i
|
C P Y
|
C Y C i [ Y [ Ni C O i
|
C P untuk
C , maka Y C
Y 1, sehingga
Y
|
C Ni C O i
|
C P Y [
i [ ‡
‡[ log Y
|
C Ni C O i
|
C P ‡
‡[ log Y [
i [ ‡
‡[ log Y [
i [ ‡
‡[ log Y [ O log i [ 2
i [ O † [ Sehingga
‡ ‡[ log
Y
|
C Ni C O i
|
C P ‡
‡[ log Y [
i [ 2
i [ O † [ . Kemudian dievaluasi:
‡ ‡[ log
Y
|
C Ni C O i
|
C P 2
i [ O † [ 2
i [ ‡
‡[ log Y
|
C Ni C O i
|
C P † [
i [ 2
‡ ‡[ log
Y
|
C Ni C O i
|
C P † [
i [
2
‡ ‡[ log Y
|
C O ‡ ‡[ logNi C O i
|
C P † [
i [
2
‡ ‡[ log Y
|
C O 2 ‡ ‡[ logNi C O i
|
C P † [ i [
2
‡ ‡[ log Y
|
C O 2. 1
Ni C O i
|
C P O Y
|
C † [
i [
2
‡ ‡[ log Y
|
C 2.
Y
|
C Ni C O i
|
C P † [
i [
2
‡ ‡[ log Y
|
C Ni C O i
|
C P 2Y
|
C † [ Ni C O i
|
C P Ni C O i
|
C P i [
2Ni C O i
|
C P 2Y
|
C Ni C O i
|
C P _ ‡ ‡[ log Y
|
C † [ `
i [ i C O i
|
C Y
|
C 1
2 Ni C O i
|
C P † [ ‡
‡[ log Y
|
C i C O i
|
C Y
|
C 1
2 Ni C O i
|
C PNO†
³
C P untuk
C
\
U C U , maka akan diperoleh persamaan 21 i [
i C
\
O i C
\
Y C
\
1 2 Ni C
\
O i C
\
PNO† C
\
P i C
\
O i C
\
Y C
\
1 2 † C
\
Ni C
\
O i C
\
P Untuk mencari persamaan 22 maka diferensialkan persamaan 21 di atas, sehingga diperoleh:
‡i C ‡
‡ ‡
i C
\
O i C
\
Y C
\
1 2 † C
\
Ni C
\
O i C
\
P ‡i C
\
‡ Y C
\
1 2 † C
\
Ni C
\
O i C
\
P O Ni C
\
O i C
\
P _O 12† C
\
Y C
\
` Y C
\
1 2 •† C
\
Ni C
\
O i C
\
PŽ Y C
\
M Y C
\
1 2 † C
\
Ni C
\
O i C
\
P O 12† C
\
Ni C
\
O i C
\
PQ Y C
\
1 2 •† C
\
Ni C
\
O i C
\
PŽ Y C
\
Y C
\
Y C
\
1 2 •† C
\
Ni C
\
O i C
\
PŽ Dari jurnal diperoleh persamaan:
‡ log
Y C ‡C‡
Y C _O ‡
‡C log Y C
\
1 2 t
‡ ‡C log Y C
\
x O
1 2 †
C O †
Š
C ` 4b
Dari persamaan 23 diperoleh: † C
O† O
‡ ‡ log Y C
O† C †
‡ ‡ log Y C
O ‡† C
‡C ‡
‡ t† ‡
‡ log Y C x O
‡† C ‡C
‡ ‡C‡ log Y C
O ‡† C
‡C ‡
‡C‡ log Y C Diketahui:
‡ ‡C‡ log Y C
‡ ‡ N† C
C i C P maka
O ‡† C
‡C ‡
‡C‡ log Y C ‡
‡ N† C C i C P
C Y C 4c dari persamaan 4b dan 4c untuk
Y C pada saat C , diperoleh:
‡ ‡C‡ log Y C
C Y C Y
_O ‡
‡C log Y C
\
1 2 t
‡ ‡C log Y C
\
x O
1 2 †
C O †
Š
C ` C Y
C _O
‡ ‡C
log Y C
\
1 2 t
‡ ‡C log Y C
\
x O
1 2 †
C O †
Š
C ` Persamaan 20
Lampiran 5 Bukti Teorema 2:
Diketahui: Persamaan 4c di atas yaitu:
O ‡† C
‡C ‡
‡C‡ log Y C ‡
‡ N† C C i C P
C i C , ” … C
C . Sehingga :
… C ”
C Persamaan 18:
, C B Y [ … [ D[ Y C dimana
, Menentukan persamaan 28:
Dari Persamaan 18: , C
B Y [ … [ D[ Y C Akan diperiksa ruas pertama di sisi kanan yaitu:
I Y [ … [ D[ I Y [ ” [ D[
” I Y [ [ D[
O” I ‡† [
‡[ D[ O”•N† [ P´
O”N† O † C P
OӠ Ӡ C
O” t ‡
‡C log Y x ”† C
O” 0 ”† C
Ӡ C , karena :
B Y [ … [ D[ ”† C , sehingga akan didapat:
, C I Y [ … [ D[ Y C
Ӡ C Y C .
persamaan 28 Menentukan Persamaan 27
Gunakan persamaan 28 dua kali, akan menjadi
|
, C O
| \
, C
\
Ӡ
|
C Y
|
C O Ӡ
|
C
\
Y
|
C
\
”N†
|
C O †
|
C
\
P Y
|
C O Y
|
C
\
Diketahui bahwa: † C
O
• •
log Y C , maka
|
, C O
| \
, C
\
O” ‡
‡[ log Y
|
C O log Y
|
C
\
Y
|
C O Y
|
C
\
O” ‡
‡[ _log Y
|
C Y
|
C
\
` Y
|
C O Y
|
C
\ \
karena , C
O‡ log , C ‡
maka , C
exp O B , C ‡
Sehingga untuk , C
exp O I
|
, C O
| \
, C
\
‡[ exp _O I
‡ ‡[ O ” _log
Y
|
C Y
|
C
\
` Y
|
C O Y
|
C
\ \
`
exp 5” •_log Y
|
C Y
|
C
\
`– O • i
|
C O i
|
C
\ \
| 7
exp 5” _log Y C
Y C
\
O log Y C
Y C
\
` O i C O i C i C
\ \
O i C
\ \
7
exp µ” µlog Y C
Y C
\
Y C Y C
\
¶ Ni C
\
O i C
\
P
\
O Ni C O i C P ¶
_ Y C Y C
\
Y C
\
Y C `
—
exp •Ni C
\
O i C
\
P
\
O Ni C O i C P Ž Untuk
C = Y
1 , maka Y C 1
i 0 , maka i C
Sehingga persamaan sebelumnya akan menjadi _
Y C Y C
\
Y C
\
Y C `
—
exp •Ni C
\
O i C
\
P
\
O i C O 0 Ž _
Y C Y C
\
Y C
\
Y C `
—
exp •Ni C
\
O i C
\
P
\
O i C Ž Kemudian kalikan dengan
¥
m
h
“
,
“
¥
m
h
“
,
“
, maka akan diperoleh persamaan 27 yaitu:
\
, C
\ \
, C
\
_ Y C Y C
\
Y C
\
Y C `
—
exp •Ni C
\
O i C
\
P
\
O i C Ž
□
Lampiran 6: Program untuk mencari harga obligasi menggunakan Mathematica 7.0
Lampiran 7: Tabel harga obligasi perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo yang berbeda
t
T 5
10 20
30
0.676571 0.21537
0.0177802 0.00145951
1 0.72961
0.233307 0.0192656
0.00158144 2
0.751188 0.243081
0.0200863 0.00164881
3 0.778763
0.253747 0.0209777
0.00172198 4
0.855341 0.278148
0.0229956 0.00188763
5 1.
0.322487 0.0266526
0.00218782 6
0.390132 0.0322247
0.00264521 7
0.484974 0.0400265
0.00328562 8
0.612584 0.0505064
0.00414587 9
0.78075 0.0642877
0.0052771 10
1. 0.0822084
0.0067481 11
0.105372 0.00864948
12 0.135218
0.0110993 13
0.173607 0.0142503
14 0.222942
0.0182997 15
0.286314 0.0235013
16 0.3677
0.0301812 17
0.472211 0.0387589
18 0.60641
0.0497729 19
0.77873 0.063915
20 1.
0.0820735 21
0.105389 22
0.135326 23
0.173766 24
0.223123 25
0.286499 26
0.367875 27
0.472363 28
0.606528 29
0.778799 30
1.
Lampiran 8: Tabel Harga obligasi perluasan model CIR dengan waktu jatuh tempo
· ¸¹
t
R 0,01
0,05 0,1
0,2 0,00737633
0,00736409 0,00734878
0,00731816 1
0,015734 0,0156795
0,0156114 0,0154751
2 0,0317688
0,0315777 0,0313388
0,0308611 3
0,0602008 0,0596631
0,0589911 0,057647
4 0,10676
0,105524 0,10398
0,100892 5
0,177388 0,175036
0,172095 0,166215
6 0,27719
0,273446 0,268767
0,259407 7
0,409484 0,404524
0,398324 0,385924
8 0,575259
0,569979 0,563378
0,550176 9
0,773172 0,769298
0,764457 0,754774
10 1
1 1
1
PENENTUAN H PERLU
FAKULTAS MA HARGA
ZERO COUPON BOND MENGG LUASAN MODEL COX-INGERSOLL-ROS
RESTY NURHAYATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA ATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHU
INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR
2011 GUNAKAN
OSS
UAN ALAM
ABSTRAK
RESTY NURHAYATI
. Penentuan Harga Zero Coupon Bond Menggunakan Perluasan Model
Cox-Ingersoll-Ross. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI MAS’OED
. Suku bunga merupakan faktor penting untuk mengambil keputusan investasi. Salah satu jenis
investasi adalah obligasi. Kenyataannya, suku bunga tidak boleh bernilai negatif. Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini diperkenalkan sebuah model suku bunga yang merupakan perluasan dari
model Vasicek yaitu model Cox-Ingersoll-Ross CIR. Dalam model CIR, drift dan volatilitas diasumsikan konstan. Untuk mendekati realitas maka
drift dan volatilitas pada perluasan model CIR merupakan fungsi dari waktu. Perluasan dari model
CIR dapat digunakan untuk menentukan harga obligasi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk menentukan dan menganalisis harga zero coupon bond menggunakan perluasan model CIR.
Simulasi yang diberikan menggambarkan hubungan antara harga zero coupon bond dengan periode jatuh tempo dan suku bunga. Harga obligasi berbanding terbalik dengan suku bunga dan
waktu jatuh tempo. Jika suku bunga meningkat, maka harga obligasinya menurun. Semakin lama periode jatuh tempo maka harga obligasi akan semakin kecil.
ABSTRACT
RESTY NURHAYATI
Pricing of Zero-Coupon Bond Using Extended Cox-Ingersoll-Ross
Model. Under supervision of RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Interest rate is one of important factors that used to adopt investment decisions. One of investment types is the bond. In reality, the interest rate must not negative. This research,
introduces an interest rate model which is an extended of the Vasicek model, that is the Cox- Ingersoll-Ross CIR model.
In CIR model, the drift and volatility are constant. To approach the reality, in the Extended CIR model, drift and volatility become a function of time. The extended of the CIR model can be
used to determine bond prices. The aim of this research is to determine and analyze the zero- coupon bond prices using the extended CIR model.
Simulations that are given will illustrate the zero-coupon bond prices in some variation of maturity dates and interest rates. Bond prices is inversely related to interest rates and maturity
dates period. If interest rates rise, the bond prices will decline. Moreover, if the maturity dates period become longer, the bond prices will be smaller.
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Investasi
merupakan komitmen
menanamkan sejumlah dana pada satu atau lebih aset selama beberapa periode pada masa
mendatang. Jenis-jenis aset yang merupakan investasi diantaranya tabungan, saham, dan
obligasi. Obligasi bond adalah surat hutang yang diterbitkan oleh pemerintah atau
perusahaan
dalam rangka
memenuhi kebutuhan dana. Obligasi memiliki tiga
karakteristik yaitu, nilai pari par value, kupon coupon dan waktu jatuh tempo
maturity date.
Obligasi merupakan
contoh dari
investasi bebas risiko karena memiliki kepastian keuntungan yang diperoleh dari
pendapatan tetap yang akan diterima pemegang
obligasi selama
waktu kepemilikan. Pendapatan tetap tersebut
berupa nilai pari dan kupon. Kupon adalah bunga dari investasi yang diterima pemegang
obligasi setiap tahun atau setengah tahun selama kepemilikan obligasi.
Jenis obligasi yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah zero coupon bond
atau obligasi tanpa kupon. Zero coupon bond dijual lebih kecil dari nilai pari didiskon.
Harga zero coupon bond merupakan present value
nilai kini dari nilai parinya. Selisih antara nilai pari dengan harga zero coupon
bond merupakan keuntungan bagi pemegang
obligasi, dengan kata lain dapat dikatakan bahwa keuntungannya bagi pemegang zero
coupon bond itu dinyatakan oleh suku bunga
yang berlaku pada masa kepemilikan obligasi.
Oleh karena itu, dalam dunia investasi suku bunga merupakan salah satu hal penting
dalam pengambilan keputusan investasi. Keputusan
investasi tersebut
sangat tergantung pada pengetahuan tentang suku
bunga. Jika prediksi suku bunga turun, maka investor akan memilih investasi jangka
panjang, sedangkan jika prediksi suku bunga naik maka investor akan lebih memilih untuk
menunda investasi jangka panjang. Fluktuasi suku bunga ini secara tidak langsung akan
mempengaruhi keseimbangan pasar.
Selanjutnya, akan diperkenalkan sebuah model suku bunga namun memiliki suku
bunga yang tidak negatif. Model tersebut merupakan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
Model ini diperkenalkan pada tahun 1985 oleh John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll dan
Stephen A. Ross sebagai perluasan dari model Vasicek.
Pada karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah mengenai penentuan
dari harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menentukan dan menganalisis
harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
1.3 Metode dan Sistematika Penulisan
Metode penulisan karya ilmiah ini adalah sebuah studi pustaka yang materinya diambil
dari jurnal yang berjudul “ A Simple Class of Square-root Interest-rate Models
” oleh F. Jamshidian pada tahun 1995.
Karya ilmiah ini terdiri atas lima bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang
terdiri atas latar belakang, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah
landasan teori yang menjadi dasar dari penulisan karya ilmiah ini. Bagian ketiga
adalah pembahasan yang merupakan analisis terhadap karya ilmiah ini. Bagian keempat
adalah simulasi, bagian kelima adalah simpulan, dan bagian keenam adalah daftar
pustaka.
II. LANDASAN TEORI
2.1 Istilah-istilah Keuangan Definisi 1 Volatilitas
Volatility
Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan
harga. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harganya.
Semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga tersebut.
Harvey dan Gretchen 2002 Definisi 2 Suku Bunga
Interest Rate
Suku bunga interest rate adalah pembayaran bunga tahunan dari suatu
pinjaman dalam bentuk persentase dari pinjaman yang diperoleh dari jumlah bunga
yang diterima tiap tahun dibagi dengan jumlah pinjaman.
Karl dan Fair 2008
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Investasi
merupakan komitmen
menanamkan sejumlah dana pada satu atau lebih aset selama beberapa periode pada masa
mendatang. Jenis-jenis aset yang merupakan investasi diantaranya tabungan, saham, dan
obligasi. Obligasi bond adalah surat hutang yang diterbitkan oleh pemerintah atau
perusahaan
dalam rangka
memenuhi kebutuhan dana. Obligasi memiliki tiga
karakteristik yaitu, nilai pari par value, kupon coupon dan waktu jatuh tempo
maturity date.
Obligasi merupakan
contoh dari
investasi bebas risiko karena memiliki kepastian keuntungan yang diperoleh dari
pendapatan tetap yang akan diterima pemegang
obligasi selama
waktu kepemilikan. Pendapatan tetap tersebut
berupa nilai pari dan kupon. Kupon adalah bunga dari investasi yang diterima pemegang
obligasi setiap tahun atau setengah tahun selama kepemilikan obligasi.
Jenis obligasi yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah zero coupon bond
atau obligasi tanpa kupon. Zero coupon bond dijual lebih kecil dari nilai pari didiskon.
Harga zero coupon bond merupakan present value
nilai kini dari nilai parinya. Selisih antara nilai pari dengan harga zero coupon
bond merupakan keuntungan bagi pemegang
obligasi, dengan kata lain dapat dikatakan bahwa keuntungannya bagi pemegang zero
coupon bond itu dinyatakan oleh suku bunga
yang berlaku pada masa kepemilikan obligasi.
Oleh karena itu, dalam dunia investasi suku bunga merupakan salah satu hal penting
dalam pengambilan keputusan investasi. Keputusan
investasi tersebut
sangat tergantung pada pengetahuan tentang suku
bunga. Jika prediksi suku bunga turun, maka investor akan memilih investasi jangka
panjang, sedangkan jika prediksi suku bunga naik maka investor akan lebih memilih untuk
menunda investasi jangka panjang. Fluktuasi suku bunga ini secara tidak langsung akan
mempengaruhi keseimbangan pasar.
Selanjutnya, akan diperkenalkan sebuah model suku bunga namun memiliki suku
bunga yang tidak negatif. Model tersebut merupakan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
Model ini diperkenalkan pada tahun 1985 oleh John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll dan
Stephen A. Ross sebagai perluasan dari model Vasicek.
Pada karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah mengenai penentuan
dari harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menentukan dan menganalisis
harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross CIR.
1.3 Metode dan Sistematika Penulisan
Metode penulisan karya ilmiah ini adalah sebuah studi pustaka yang materinya diambil
dari jurnal yang berjudul “ A Simple Class of Square-root Interest-rate Models
” oleh F. Jamshidian pada tahun 1995.
Karya ilmiah ini terdiri atas lima bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang
terdiri atas latar belakang, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah
landasan teori yang menjadi dasar dari penulisan karya ilmiah ini. Bagian ketiga
adalah pembahasan yang merupakan analisis terhadap karya ilmiah ini. Bagian keempat
adalah simulasi, bagian kelima adalah simpulan, dan bagian keenam adalah daftar
pustaka.
II. LANDASAN TEORI
2.1 Istilah-istilah Keuangan Definisi 1 Volatilitas
Volatility
Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan
harga. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harganya.
Semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga tersebut.
Harvey dan Gretchen 2002 Definisi 2 Suku Bunga
Interest Rate
Suku bunga interest rate adalah pembayaran bunga tahunan dari suatu
pinjaman dalam bentuk persentase dari pinjaman yang diperoleh dari jumlah bunga
yang diterima tiap tahun dibagi dengan jumlah pinjaman.
Karl dan Fair 2008
Definisi 3 Obligasi
Obligasi adalah instrumen hutang yang meminta penerbit membayar kembali pada
investor sejumlah uang yang dipinjam pokok hutang ditambah bunga selama periode
tertentu.
Fabozzi 2003
Definisi 4 Harga Obligasi
Harga obligasi adalah jumlah dari kupon yang didiskon nilai kini dari kupon dan
nilai pari yang didiskon nilai kini dari nilai pari.
Secara matematis
dapat dituliskan
sebagai berikut: kupon
1 nilai pari
1 .
Bodie et al 2006
Definisi 5 Zero-Coupon Bond Obligasi
Tanpa kupon
Zero-coupon bond adalah salah satu jenis
obligasi yang tidak memberikan kupon kepada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini
memberikan satu
kali cash
flow pembayaran pada pemiliknya yaitu pada
saat jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari. Persamaan harga obligasinya akan
menjadi: nilai pari
1 .
Fabozzi 2003
Definisi 6 Short rate
Short rate adalah suku bunga yang
berlaku pada interval waktu tertentu. Bodie et al 2006
Definisi 7 Forward interest rate
Forward interest rate adalah short rate
yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi yaitu
investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada
tahun ke-n akan sama. Jika forward interest rate untuk periode
n
adalah , maka
akan didefinisikan oleh persamaan:
1 1
1 ,
atau dituliskan 1
1 1
, adalah periode waktu,
adalah yield to maturity
dan jatuh tempo setelah -perode. Jadi, total return pada 2 strategi investasi
selama tahun akan sama jika short rate pada tahun ke-
sama dengan . Bodie et al 2006
2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu
peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk lebih memahami proses stokastik, diperlukan definisi-definisi berikut.
Definisi 8 Percobaan Acak
Dalam suatu rangkaian percobaan sering kali percobaan dilakukan dalam kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini
disebut percobaan acak.
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 9 Ruang Contoh
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari .
Grimmett dan Stirzaker 2001
Definisi 10 Medan-
Medan- adalah himpunan yang
anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh yang memenuhi syarat-syarat
berikut:
1. .
2. Jika
maka , dengan
menyatakan komplemen dari himpunan .
3. Jika
, ,
, … . , maka .
Hogg dan Craig 2005
Definisi 11 Ukuran Peluang
Ukuran peluang pada ruang ukuran
, adalah fungsi : , -0,1 yang memenuhi:
0, 1.
Jika ,
, , …. adalah himpunan anggota-
anggota yang saling lepas yaitu
1
, untuk setiap 2, 3 dengan 2 4 3 maka: