26
Perhatikan bahwa pertukaran tidak dapat melibatkan pemilih yang merupakan anggota dari kedua koalisi awal. Hal ini dihindari dalam pembuktian
di atas dengan membuat
X
melibatkan senator terbawah sedangkan
Y
melibatkan 51 senator teratas. Inilah sebabnya mengapa
x
pasti di
X
tapi tidak di
Y
. Sebuah akibat langsung dari Contoh 3.4 di atas adalah Sistem Federal AS
adalah sebuah sistem voting yang tidak terbobot. Dalam Teorema 3.1 dinyatakan Jika Sistem Federal AS terbobot, maka akan bertukar kuat. Tapi ini kemudian
akan bertentangan dengan Teorema 3.2 karena Sistem Federal A.S tidak bertukar kuat sehingga Sistem faderal A.S tidak terbobot.
E. Sifat Perdagangan Kuat Pemilih
Teorema 3.1 menyatakan bahwa jika voting terbobot maka bertukar kuat. Artinya, ada sistem voting setuju-tidak setuju yang tidak terbobot, meskipun
merupakan pertukaran yang kuat. Hal ini menimbulkan pertanyaan bagaimana dapat ditunjukkan bahwa sistem seperti ini tidak terbobot. Menjawab pertanyaan
ini adalah tujuan utama dari bagian ini, tetapi dimulai dengan contoh kasus berikut:
Contoh 3.5 Akan ditunjukan bahwa prosedur Amandemen Konstitusi Kanada adalah
saling bertukar kuat meskipun kemudian akan ditunjukkan bahwa itu tidak terbobot. Misalkan
A
dan
B
koalisi pemenang dalam sistem untuk mengamandemen UUD Kanada, dan
x
yang merupakan provinsi pemilih di
A
27
tapi tidak di
B
dan
y
yang merupakan provinsi di
B
tetapi tidak di
A.
Koalisi
A
dan
B
sebagai kolaisi pemenang memenuhi kedua kondisi berikut: 1. Ini berisi setidaknya tujuh provinsi.
2. Provinsi mengandung mewakili setidaknya setengah dari populasi Kanada. Berikut ditampilkan dalam tabel 3.4 koalisi
A
dan
B
beserta data statistik jumlah penduduk untuk mendukung penjelasan dari pernyataan 3.4
Tabel 3.4 Koalisi
A
dan
B
dengan jumlah Penduduk Kanada Tahun 2007 berdasarkan Lembaga Staistik Kanada
Koalisi
A
Koalisi
B
Negara Bagian Presentase
Populasi Negara Bagian
Presentase Populasi
Prince Edward Island 0,4
Nova Scotia 2,8
Newfoundland And Labrador
1,5 Ontario
38,9 Manitoba
3,6 New Brunswick
2,3 Alberta
10,6 Saskatchewan
3 Saskatchewan
3 British Columbia
13 Quebec
23,4 Manitoba
3,6 British Columbia
13 Nova Scotia
2,8
Misalkan
A
dan
B
merupakan hasil dari pertukaran
x
untuk
y
. Harus ditunjukkan bahwa setidaknya salah satu dari
A
dan
B
masih koalisi pemenang. Catatan, bagaimanapun, bahwa baik
A
atau
B
tentu memenuhi kondisi 1, karena masing-masing dari dua koalisi dimulai dengan setidaknya tujuh provinsi, dan
hanya dilakukan pertukaran satu-untuk-satu provinsi untuk mendapatkan
A
dan
B
. Argumen kedua mengingatkan pada bukti bahwa sebuah sistem terbobot
28
adalah bertukar kuat. Artinya, jika
x
memiliki populasi lebih dari
y
, maka B’
adalah koalisi menang karena memiliki populasi lebih dari
B
, dan sehingga B’
memenuhi kondisi 2 karena
B
memenuhi kondisi 2 akibat pertukaran satu-untuk- satu. Di sisi lain, jika y memiliki populasi lebih dari
x
, maka
A
adalah koalisi pemenang oleh argumentasi yang serupa.
Komentar kurung dalam pernyataan di atas menjanjikan bukti bahwa prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada tersebut tidak terbobot. Kunci dalam
membukikan Konstitusi Kanada tidak terbobot terletak dalam mencari sifat yang lebih kuat dari pertukaran kuat, yang berlaku untuk setiap sistem suara terbobot
tapi itu tidak berlaku untuk prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada. Salah satu sifat tersebut menunjukkan bahwa memperkuat sifat pertukaran kuat berikut:
Definisi 3.4 Taylor, A. dan Pacelli A: 2008
Sebuah Sistem Voting disebut Perdagangan Kuat Trade Robust
jika ada pertukaran pemilih di antara koalisi pemenang beberapa menciptakan kumpulan
baru koalisi setidaknya salah satunya adalah masih koalisi pemenang. Perdagangan kuat bersifat lebih umum dari pertukaran kuat. Dengan demikian,
perdagangan kuat berbeda dengan pertukaran kuat di dua cara penting: 1. Dalam perdagangan kuat, pertukaran pemain belum tentu satu-untuk-satu.
2. Dalam perdagangan kuat, pertukaran bisa melibatkan lebih dari dua koalisi.
29
Berikut ini adalah penguatan yang diharapkan dari Teorema 3.1:
Teorema 3.2 Taylor, A. dan Pacelli A: 2008
Jika sistem voting terbobot maka berdagang kuat.
Bukti:
Perhatikan bahwa serangkaian perdagangan dari pemilih dibuat di antara sekelompok koalisi pemenang. Perdagangan ini tidak merubah bobot total dan
jumlah pemilih. Ini berarti bahwa bobot rata-rata koalisi tidak berubah oleh berbagai perdagangan. Karena semua koalisi adalah koalisi pemenang sebelum
perdagangan dibuat, rataan bobot dari koalisi harus lebih besar dari suara mayoritas. Oleh karena itu, setelah perdagangan dibuat, setidaknya satu dari
koalisi akan memiliki bobot setidaknya sebesar rataan bobot, koalisi ini kemudian akan melebihi suara mayoritas dan dengan demikian menjadi koalisi pemenang.
Contoh 3.6
Untuk menyimpulkan bahwa sistem untuk mengamandemen Konstitusi Kanada tidak terbobot, dimulai dengan menunjukan bahwa prosedur untuk
mengamandemen Konstitusi Kanada tidak perdagangan kuat. Misalkan
X
dan Y menjadi koalisi pemenang seperti dalam Tabel 3.4 berikut : dengan persentase penduduk yang berada di provinsi juga diberikan
30
Tabel 3.5 koalisi
X
dan Koalisi Y Koalisi
X
Koalisi Y
Manitoba New Brunswick
Newfoundland and Labrador Nova Scotia
Ontario Prince Edward Island
Quebec Alberta
British Columbia Manitoba
New Brunswick Nova Scotia
Quebec Saskatchewan
7 Provinsi dengan populasi 72.9 7 Provinsi dengan populasi 59.1
Koalisi
X
dan koalisi Y diperoleh dengan perdagangan Prince Edward Island dan Newfoundland dengan Britis Columbia. Adapun anggota dari Koalisi
X
dan koalisi Y tertuang dalam Tabel 3.6 sebagai berikut:
Tabel 3.6 koalisi
X
’ dan koalisi Y’
Koalisi
X
’ Koalisi Y’
Manitoba New Brunswick
British Columbia Nova Scotia
Ontario Quebec
Alberta Manitoba
New Brunswick Nova Scotia
Quebec Saskatchewan
Newfoundland and Labrador Prince Edward Island
6 Provinsi dengan populasi 84.4 Koalisi kalah
8 Provinsi dengan populasi 47.6 Koalisi kalah
