22
D. Sifat Pertukaran Kuat Pemilih
Dalam macam sistem voting yang pertama, dengan mudahnya dinyatakan sebuah sistem voting yang terbobot. Sekarang akan dibuktikan bahwa sebuah
dapat dikatakan sebagai sistem voting tidak terbobot. Tentunya tidak bisa hanya dikatakan bahwa sulit untuk menemukan bobot
dan suara mayoritas yang sesuai karena tak terhingga banyaknya kemungkinan pilihan bobot dan suara mayoritas. Sistem Federal A.S. ternyata bukanlah sistem
voting yang terbobot. Untuk membuktikan bahwa Sistem Federal A.S. tidak terbobot, cukup ditemukan sifat yang dapat dibuktikan:
1. Berlaku untuk setiap sistem voting terbobot, dan
2. tidak berlaku untuk Sistem Federal A.S.
Salah satu sifat seperti diberikan dalam definisi berikut:
Definisi 3.2 Taylor, A. dan Pacelli A: 2008
Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju merupakan pertukaran kuat Swap Robustness
jika diberikan dua koalisi pemenang yang berbeda
X
dan
Y
, pertukaran satu pemilih dalam
X
tetapi tidak dalam
Y
dan satu pemilih dalam
Y
tetapi tidak dalam
X
, maka akan berakibat setidaknya satu koalisi baru yang terbentuk menjadi koalisi pemenang.
Dengan demikian, untuk membuktikan bahwa sistem yang bertukar kuat, harus dimulai dengan dua koalisi pemenang sembarang
X
dan
Y
, dan
x
sembarang pemilih yang ada di
X
tapi tidak dalam
Y
, dan
y
sembarang pemilih dalam
Y
tetapi tidak dalam
X
.
23
Perhatikan jika
x
berada dalam irisan koalisi
X
dan
Y
sedang
y
berada dalam
Y
tetapi tidak di
X
maka
Y
memuat
x
dan
y
. Jika
X
dan
Y
yang merupakan koalisi hasil dari pertukaran
x
dan
y
maka
Y
tetaplah merupakan koalisi pemenang karena bobot koalisi
Y
tidaklah berubah. Bobot koalisi
Y
tidak berubah karena
x
berada dalam irisan koalisi
Y
dan
X
. Koalisi
X
belum dapat ditentukan sebagai koalisi pemenang atau koalisi kalah.
Kasus lain jika
y
berada dalam irisan koalisi
X
dan
Y
sedang
x
dalam
X
tetapi tidak dalam
Y
. Pertukaran
x
dan
y
menghasilkan kolisi
X
dan
Y
. Koalisi
X
merupakan koalisi pemenang karena bobot koalisi tidak berubah karena
x
berada dalam irisan kedua koalisi. Koalisi
Y
belum dapat ditentukan sebagai koalisi pemenang atau koalisi kalah. Jika
x
dan
y
berada dalam irisan kedua koalisi maka pertukaran tidak akan merubah bobot koalisi. Pertukaran
x
dan
y
tidaklah berarti karena keduanya tetap sebagai koalisi pemenang seperti asumsi awal.
Dengan demikian, pemilih yang akan ditukarkan tidak boleh dalam irisan kedua koalisi yang akan bertukar. Langkah selanjutnya untuk membuktikan
pertukaran kuat harus ditunjukkan bahwa
X
atau
Y
sebagai koalisi hasil pertukaran
x
dan
y
adalah koalisi pemenang.
24
Teorema 3.1 Taylor, A. dan Pacelli A: 2008
Jika sistem voting terbobot maka bertukar kuat.
Bukti:
Misalkan untuk sembarang sistem voting terbobot dengan sembarang dua koalisi pemenang
X
dan
Y
, dengan setidaknya satu pemilih
x
di dalam
X
tetapi tidak di dalam Y dan satu pemilih
y
di dalam
Y
tetapi tidak di dalam
X
. Misalkan pemilih
x
dipertukarkan dengan pemilih
y
, sehingga diperoleh koalisi baru
X
dan
Y
. Jika
x
dan
y
memiliki bobot yang sama maka
X
dan
Y
tetap koalisi pemenang. Di sisi lain jika bobot
x
lebih besar dari bobot
y
, maka bobot
Y
lebih besar dari pada bobot
Y
, sehingga koalisi
Y
tetap merupakan koalisi pemenang. Sebaliknya jika
y
lebih bobot daripada
x
, maka secara analog diperoleh bahwa koalisi
X
adalah koalisi pemenang. Jadi terbukti sistem voting tersebut merupakan sistem voting
yang bertukar kuat.
Contoh 3.4
Akan ditunjukkan bahwa sistem voting setuju-tidak setuju khususnya Sistem Federal AS ini tidak bertukar kuat. Misalkan dalam Sistem Federal A.S
Senator dan DPR masing-masing dikelompokan dalam kelompok bawah dan kelompok atas. Jika asumsikan
X
dan
Y
adalah koalisi pemenang dengan anggota seperti dalam tabel 3.2
25
Tabel 3.2 koalisi
X
dan
Y
dalam Sistem Federal A.S.
Koalisi
X
Koalisi
Y
Presiden,
Presiden,
51 senator terbawah 51 senator teratas,
218 anggota terbawah dari DPR
218 anggota teratas dari DPR
Misalkan
x
menjadi senator terbawah dan
y
menjadi anggota teratas dari DPR. Perhatikan bahwa baik
X
dan
Y
koalisi pemenang, dan
x
yang ada di
X
tapi tidak di
Y
dan
y
dalam
Y
tetapi tidak di
X
. Misalkan
X
dan
Y
merupakan hasil dari pertukaran
x
untuk
y
, maka susunan koalisi berbubah seperti dalam tabel 3.3 berikut:
Tabel 3.3 koalisi
X
dan
Y
akibat pertukaran
x
dan
y
Koalisi
X
Koalisi
Y
Presiden Presiden
50 senator 52 senator
219 anggota DPR 217 anggota DPR
Koalisi
X
’ dan
Y
’ adalah koalisi kalah akibat pertukaran karena tidak memenuhi syarat minimal dalam Sistem Federal A.S. Dengan demikian, Sistem Federal AS
tidak bertukar kuat.
26
Perhatikan bahwa pertukaran tidak dapat melibatkan pemilih yang merupakan anggota dari kedua koalisi awal. Hal ini dihindari dalam pembuktian
di atas dengan membuat
X
melibatkan senator terbawah sedangkan
Y
melibatkan 51 senator teratas. Inilah sebabnya mengapa
x
pasti di
X
tapi tidak di
Y
. Sebuah akibat langsung dari Contoh 3.4 di atas adalah Sistem Federal AS
adalah sebuah sistem voting yang tidak terbobot. Dalam Teorema 3.1 dinyatakan Jika Sistem Federal AS terbobot, maka akan bertukar kuat. Tapi ini kemudian
akan bertentangan dengan Teorema 3.2 karena Sistem Federal A.S tidak bertukar kuat sehingga Sistem faderal A.S tidak terbobot.
E. Sifat Perdagangan Kuat Pemilih
Teorema 3.1 menyatakan bahwa jika voting terbobot maka bertukar kuat. Artinya, ada sistem voting setuju-tidak setuju yang tidak terbobot, meskipun
merupakan pertukaran yang kuat. Hal ini menimbulkan pertanyaan bagaimana dapat ditunjukkan bahwa sistem seperti ini tidak terbobot. Menjawab pertanyaan
ini adalah tujuan utama dari bagian ini, tetapi dimulai dengan contoh kasus berikut:
Contoh 3.5 Akan ditunjukan bahwa prosedur Amandemen Konstitusi Kanada adalah
saling bertukar kuat meskipun kemudian akan ditunjukkan bahwa itu tidak terbobot. Misalkan
A
dan
B
koalisi pemenang dalam sistem untuk mengamandemen UUD Kanada, dan
x
yang merupakan provinsi pemilih di
A
Kategori