30
Tabel 3.5 koalisi
X
dan Koalisi Y Koalisi
X
Koalisi Y
Manitoba New Brunswick
Newfoundland and Labrador Nova Scotia
Ontario Prince Edward Island
Quebec Alberta
British Columbia Manitoba
New Brunswick Nova Scotia
Quebec Saskatchewan
7 Provinsi dengan populasi 72.9 7 Provinsi dengan populasi 59.1
Koalisi
X
dan koalisi Y diperoleh dengan perdagangan Prince Edward Island dan Newfoundland dengan Britis Columbia. Adapun anggota dari Koalisi
X
dan koalisi Y tertuang dalam Tabel 3.6 sebagai berikut:
Tabel 3.6 koalisi
X
’ dan koalisi Y’
Koalisi
X
’ Koalisi Y’
Manitoba New Brunswick
British Columbia Nova Scotia
Ontario Quebec
Alberta Manitoba
New Brunswick Nova Scotia
Quebec Saskatchewan
Newfoundland and Labrador Prince Edward Island
6 Provinsi dengan populasi 84.4 Koalisi kalah
8 Provinsi dengan populasi 47.6 Koalisi kalah
31
Kemudian ternyata bahwa
X
adalah koalisi kalah karena memiliki provinsi terlalu sedikit setelah menyerah dua provinsi dalam pertukaran untuk satu,
sedangkan Y adalah koalisi kalah karena delapan provinsi di Y mewakili kurang dari setengah penduduk Kanada. Dengan demikian sistem untuk mengamandemen
Konstitusi Kanada tidak bertukar kuat. Dalam Teorema 3.2 dinyatakan bahwa jika sistem voting terbobot, maka
berdagangan kuat. Tapi Prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada tidak bertukar kuat. Akibatnya prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada tidak
terbobot. Dengan pengamatan bahwa Dewan Keamanan PBB adalah sistem voting
terbobot, dapat diduga setiap sistem voting setuju-tidak setuju merupakan sistem terbobot. Prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada menunjukkan bahwa
dugaan ini adalah salah, karena bertukar kuat tapi tidak terbobot. Tetapi bukti bahwa sistem ini tidak terbobot menunjukkan adanya dugaan tersebut, dengan
kegagalan yang dihasilkan dari jenis keterbatasan perdagangan yang termasuk dalam pengertian pertukaran. Hal ini menyebabkan secara alamiah kepada
pengertian tentang perdagangan kuat, dan dugaan bahwa perdagangan kuat tepatnya mencirikan sistem voting terbobot.
32
BAB IV SISTEM VOTING SETUJU-TIDAK SETUJU TIDAK TERBOBOT
A. Dimensi Voting Setuju-Tidak Setuju Tidak Terbobot
Titik awal dalam bagian ini adalah prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada merupakan sistem voting yang tidak terbobot, yang pada kenyataannya
dibangun oleh menempatkan bersama dua sistem terbobot dalam cara yang sangat alami. Artinya, kumpulan pemilih diperbaiki menjadi sepuluh provinsi
Kanada dan mempertimbangkan dua sistem voting setuju-tidak setuju. Misalkan
W
1
adalah sistem I sebagai koalisi pemenang yang justru terdiri dari tujuh atau lebih pemilih provinsi. Misalkan
W
2
adalah sistem II sebagai koalisi pemenang yang justru meWakili setidaknya setengah dari populasi Kanada. Perhatikan
bahwa, misalnya koalisi terdiri dari tujuh provinsi yang berpenduduk paling sedikit adalah di
W
1
tetapi tidak dalam
W
2
. Sementara koalisi terdiri dari dua provinsi yang paling padat penduduknya adalah di
W
2
tetapi tidak di
W
1
. Sistem I adalah sistem voting terbobot karena berbobot 1 setiap provinsi
dan mengatur suara mayoritas pada 7. Demikian pula, Sistem II adalah sistem voting terbobot karena provinsi berbobot sama dengan persentase penduduk
Kanada yang tinggal di sana dan mengatur suara mayoritas pada 50. Sekarang, prosedur untuk mengubah Konstitusi Kanada dapat dijelaskan
dengan menyatakan koalisi akan menang jika dan hanya jika koalisi berada di Sistem I dan II Sistem. Artinya, jika dimisalkan
W
menunjukkan kumpulan koalisi
33
pemenang dalam sistem Kanada, maka koalisi
X
dalam
W
jika dan hanya jika berada dalam
dan . Terminologi matematika standar akan menggambarkan
ini dengan mengatakan bahwa himpunan
W
adalah irisan dari dan
. Dinotasikan dengan:
.
Dengan demikian, telah ditunjukkan meskipun sistem Kanada bukanlah sistem voting terbobot, tetapi dapat digambarkan sebagai irisan dari dua sistem voting
terbobot.
Definisi 4.1 Taylor, A. dan Pacelli A: 2008
Sistem voting setuju-tidak setuju dikatakan berdimensi n
jika dapat direpresentasikan sebagai irisan k sistem voting terbobot tetapi bukan sebagai
irisan atau kurang dari
n
sistem voting terbobot. Jika dapat direpresentasikan sebagai irisan minimal
n
sistem voting terbobot.
Dalam Sistem federal Amerika Serikat sistem voting yang digunakan adalah sistem voting yang tidak terbobot. Dengan demikian dapat dinyatakan dalam
sistem voting berdimensi
n
.
Contoh 4.1
Akan ditunjukan bahwa Sistem federal Amerika Serikat memiliki dimensi 2. Diketahui dari bahwa Sistem Federal A.S. tidak terbobot. Dengan demikian, itu
34
sudah cukup untuk menghasilkan dua sistem terbobot, dengan himpunan yang sama dari pemilih sebagai Sistem Federal A.S. Berikut ditampilkan bobot dalam
dua sistem di Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Bobot Sistem I dan Sistem II
Pemilih Bobot
Sistem I Sistem II
Setiap anggota DPR 1
Setiap anggota Senat 1
Wakil Presiden
Presiden 16
72
Suara Mayoritas 67
290
Sekarang akan ditunjukkan bahwa koalisi yang menang di Sistem Federal A.S. jika dan hanya jika menang dalam Sistem I dan Sistem II.
Misalkan kemudian bahwa
X
adalah koalisi yang menang dalam Sistem Federal A.S. Tanpa mengurangi perumuman, diasumsikan bahwa
X
adalah koalisi pemenang minimal. Dengan demikian,
X
merupakan salah satu dari tiga jenis berikut koalisi:
1.
X
terdiri dari 218 anggota DPR, 51 Senator, dan Presiden; 2.
X
terdiri dari 218 anggota DPR, 50 Senator, Wakil Presiden, dan Presiden; 3.
X
terdiri dari 290 anggota DPR dan 67 Senator.
35
Untuk sebaliknya akan diberikan cara untuk menemukan koalisi pemenang minimal yang memenuhi kedua sistem tersebut. Menganggap bahwa
X
adalah koalisi menang di kedua Sistem I dan di Sistem II. Dengan dipertimbangkan dua
kasus:
Kasus 1: X Memuat Presiden
Karena
X
yang menang dalam Sistem I, itu pasti Sistem I berbobot setidaknya 67. Karena Sistem I bobot Presiden adalah 16
anggota lain dari
X
harus berkontribusi setidaknya berbobot 50
. Tapi anggota DPR memiliki bobot 0 dalam Sistem I, sehingga
X
harus berisi minimal 51 Senator atau setidaknya 50 Senator dan Wakil Presiden. Sekarang, melihat bobot
X
dalam Sistem II, yang setidaknya 290 termasuk 72 disumbangkan oleh Presiden, terlihat bahwa
X
juga harus berisi minimal 290-72 = 218 anggota DPR. Dengan demikian, dalam kasus 1, terlihat
bahwa
X
adalah koalisi pemenang dalam sistem federal, seperti yang diinginkan.
Kasus 2: X tidak memuat Presiden.
Karena
X
menang dalam Sistem I, itu pasti sistem I berbobot setidaknya 67. Oleh karna tidak memuat Presiden dan bobot Senat adalah 1, jumlah Senat yang berada
dalam sistem I minimal 67 Senat dengan atau tanpa Wakil Presiden. Sehingga setidaknya memenuhi suara mayoritas sistem I.
Karena
X
menang dalam sistem II, pastilah sistem II berbobot setidaknya 290. Oleh karna tanpa Presiden, sehingga seluruh anggota DPR harus berada dalam
sistem II.
36
B. Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju Berbobot-Vektor
Dalam bab sebelumnya, disarankan bahwa pengamatan bahwa Dewan Keamanan PBB pada kenyataannya adalah sistem voting terbobot yang mungkin
secara alami diduga bahwa setiap sistem voting setuju-tidak setuju adalah terbobot. Telah diketahui bahwa hal tersebut tidak akan terjadi, dan banyak hal
yang telah dilakukan pada bagian ini dan sebelumnya telah bertujuan untuk mengeksplorasi sejauh mana sistem tersebut dapat gagal dilakukan pembobotan.
Pada bagian ini, ditunjukkan bahwa intuisi yang diberikan oleh kertebobotan dari Dewan Keamanan PBB jauh lebih alami daripada yang telah dibahas sebelumnya.
Generalisasi selalu memainkan peran penting dalam matematika. Tujuan dalam bagian ini adalah untuk memberikan suatu generalisasi dari gagasan sistem
suara berbobot. Titik awal akan dijadikan pengamatan bahwa seseorang dapat menggantikan gagasan tentang bilangan real oleh salah satu generalisasi:
pasangan terurut dari bilangan real. Pasangan ini dapat dijumlahkan
sebagai berikut:
Selain itu, dapat dibandingkan ukuran dari pasangan terurut parsial sebagai berikut:
≤ Kembali ke sistem Kanada yang diketahui tidak terbobot dan
menunjukkan bahwa itu adalah sebuah generalisasi sistem terbobot. Artinya,
