d. Pilih
= +
− by
ax j
dan k + cx - dy = 0 maka akan diperoleh titik kritis T
4
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
− +
bc ad
ak cj
bc ad
bk dj
,
1.2 Kontruksi Matrik Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada sistem persamaan 20 maka diperoleh matrik komunitas
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− +
+ −
= dy
cx k
cy bx
by ax
j J
i
2 2
12
Matrik komunitas diperoleh dengan mensubstitusikan titik kritis T
1
,T
2
,T
3
dan T
4
yang telah diperoleh ke dalam matrik J
i
11 yaitu: ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
k j
J
1
13
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ −
= j
a c
k j
a b
j J
2
14
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− +
= k
k d
c k
d b
j J
3
15
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
=
22 21
12 11
4
A A
A A
J 16
Dengan, A
11
=
bc ad
bk dj
a −
+ −
A
12
=
bc ad
bk dj
b −
+
A
21
=
bc ad
ak cj
c −
+
A
22
=
bc ad
ak cj
d −
+ −
1.3 Analisis kestabilan titik kritis
Melalui persamaan 11 dapat diperoleh persamaan karakteristik pada titik kritis masing- masing, yaitu:
[ ][
]
λ λ
λ λ
− −
= −
= k
j I
J P
det
1 1
=0 17
] [
det
2 2
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ −
+ −
− =
− =
λ λ
λ λ
a c
k j
I J
P
18
[ ]
det
3 3
= −
− ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ −
+ =
− =
λ λ
λ λ
k k
d b
j I
J P
19
det
2 4
4
= +
− =
− =
δ τλ
λ λ
λ
I J
P
20 Dengan,
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
− +
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
− =
+ =
= bc
ad ak
cj d
bc ad
bk dj
a A
A J
tr
22 11
4
τ τ
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− +
− ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ −
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
− =
− =
=
bc ad
ack j
c bc
ad k
b bdj
bc ad
ak cj
d bc
ad bk
dj a
A A
A A
J
2 2
21 12
22 11
4
det δ
δ
Titik Kritis T
1
Nilai eigen dari persamaan 17 yaitu, j
=
1
λ dan
k =
2
λ Diketahui j dan k positif 0j1,0k1 , a, d 0 dan b,c
≥ sehingga ,
2 1
λ λ
dan bilangan real dengan tanda sama. Dari hasil tersebut tipe titik kritis T
1
merupakan simpul yang tidak stabil.
Titik Kritis T
2
Nilai eigen persamaan 18 yaitu: j
a c
k dan
j +
= −
=
2 1
, λ
λ Karena 0j1,0k1 dan a, d 0, b , c 0
≥ mengakibatkan ,
2 1
λ λ
dan real berbeda
dengan tanda berlawanan maka titik kritis T
2
adalah titik sadel yang tak stabil.
Titik Kritis T
3
Nilai eigen persamaan 19 yaitu: k
dan k
d b
j −
= +
=
2 1
, λ
λ Karena 0 j 1, 0 k 1 dan a, d 0, b , c
≥
mengakibatkan ,
2 1
λ λ
dan maka
titik kritis T
3
merupakan sadel tak stabil. Titik Kritis
T
4
Agar titik kritis T
4
stabil maka harus memenuhi kriteria kestabilan berikut: ,
δ τ
dan diketahui 0j1,0k1 , a, d 0 dan b,c
≥ sehingga kondisi
τ
terpenuhi jika ad – bc 0 dan
δ
sudah terpenuhi.
1.4
Orbit dan kestabilan sistem
Orbit dan model dapat diperoleh dari dua tipe dinamik, yaitu:
kasus ad bc
Dengan parameter a = 1, d = 1 , b = 0.5, c = 0.5, j = k = 0.8 dan kondisi awal bervariasi, maka diperoleh grafik ruang fase dan grafik laju populasinya sebagai berikut:
a b
Gambar 5. a Grafik ruang fase bidang xy dengan kondisi awal x = 1, y = 1 dan t = 100 b Grafik
laju populasi dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1 Gambar 5 memperlihatkan bahwa titik
kritis T
1
merupakan titik simpul tak stabil, dari Gambar 5 terlihat orbit bergerak menjauhi
T
1
0,0 dan bergerak menuju titik kritis T
4
1.6,1.6, sehingga titik kritis tersebut merupakan titik simpul yang stabil. Kondisi ini
diperoleh karena pada saat ad bc maka akan diperoleh nilai eigen untuk T
1
merupakan dua buah nilai real positif
,
2 1
λ λ
dan
sedangkan untuk titik kritis T
4
saat ad bc akan diperoleh nilai eigen berupa dua buah real
negatif ,
2 1
λ λ
dan .
Gambar 6 memperlihatkan ruang fase bidang xy untuk berbagai variasi, dari gambar
terlihat bahwa orbit bergerak dari kondisi awal menuju titik kritis T
4
. Dari gambar 6 a terlihat lintasan orbit membelok, hal ini terjadi karena
adanya titik kritis T
2
dan T
3
yang merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil. Saat kondisi
parameter berapapun pada titik kritis T
2
dan T
3
akan tetap diperoleh dua buah nilai eigen real berlawananan tanda.
Gambar 6 memperlihatkan pada kondisi parameter ad bc semua sistem bergerak
menuju kestabilan asimtotik. Pada kondisi ini kedua spesies dapat hidup bersama dan
bertahan hidup untuk jangka waktu tertentu dengan syarat interaksi intraspesifiknya
interaksi antaspesies itu sendiri harus lebih besar dibandingkan dengan interaksi
interspesifiknya interaksi dengan spesies yang berbeda.
a b
c d
Gambar 6 . Grafik kestabilan titik kritis T
4
saat ad bc a ruang fase bidang xy dengan memvariasikan kondisi awal dan t = 100 a laju populasi kondisi awal x = 2 dan y = 2 b laju
populasi kondisi awal x = 1 dan y = 2 dan c laju populasi kondisi awal x = 2 dan y = 1. kasus
ad bc
Dengan parameter a = d = 0.5 , b = c = 1, j = k = 0.8 dan kondisi awal bervariasi, maka
diperoleh grafik ruang fase dan grafik laju populasinya sebagaimana diperlihatkan pada
gambar berikut.
Gambar 7 memperlihatkan bahwa pada saat parameter ad bc interaksi
interspesifiknya lebih dominan dari interaksi intraspesifik maka ruang fase tersebut
memperlihatkan perilaku dinamik yang tidak stabil, karena orbit bergerak menjauhi titik
kritis T
4
. Pada kondisi tersebut kedua populasi spesies memperoleh keuntungan yang
berlebihan sehingga laju pertumbuhan kedua spesies mengalami peningkatan tanpa batas dan
terjadi peledakan populasi. a
b
Gambar 7 .a grafik ruang fase bidang xy
dengan kondisi awal x = 1, y = 1 dan t = 1 b grafik laju perubahan populasi dengan
kondisi awal x = 1 dan y = 1 2.
Analisis Model Dinamik Interaksi Dua Spesies Mutualistik dengan kehadiran
Pemangsa 2.1
Penentuan titik kritis
Melalui persamaan 5 diperoleh titik kritis sebagai berikut:
T
1
0,0,0. 21 T
2
ja,0,0, 22 T
3
0,kd,0, 23
T
4
, , 0
dj bk
cj ak
ad bc ad
bc +
+ ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
, 24 T
5
0, ,
l fk
dl f
fe ⎛
⎞ − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
25 T
6
, ,
fj bl l afk
adl cfj
cbl fa
f afe
⎛ ⎞
+ −
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
26
2.2 Kontruksi Matriks Jacobi
