= −
x I
J
λ 10
Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan 10 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
det =
− =
− =
I J
I J
p λ
λ λ
11 Persamaan 11 disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi.
5. Model Dinamik Lotka-Volterra Untuk Interaksi Dua Spesies
Model mangsa-pemangsa klasik yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra untuk dua spesies, yaitu:
dxy cy
dt dy
bxy ax
dt dx
+ −
= −
= 12
Keterangan: a :
menunjukkan kelahiran rata-rata dari mangsa tanpa adanya pemangsa. b :
merupakan jumlah mangsa yang dimangsa oleh pemangsa. c:
menunjukkan angka kematian pemangsa secara alami tanpa pengaruh ada atau tidak adanya mangsa.
d : menunjukkan jumlah kelahiran dari pemangsa yang dipengaruhi oleh adanya mangsa.
Pada model mangsa-pemangsa dua spesies di atas, misalkan x menyatakan banyaknya spesies sebagai mangsa di level pertama pada waktu t, y menyatakan banyaknya spesies sebagai pemangsa
di level dua pada waktu t. Dari persamaan tersebut perubahan laju populasi spesies x dipengaruhi oleh tingkat reproduksi yaitu laju pertumbuhan alami spesies tersebut. Kemudian terjadi proses
pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, sehingga efek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut akan mempengaruhi laju populasi spesies x. Perubahan laju populasi spesies y dipengaruhi
oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies x sebagai mangsanya. Laju pemangsaan spesies x juga bergantung pada kontak atau bertemunya mangsa dan pemangsa.
Ada lima tahap yang dilakukan untuk menganalisis kondisi kastabilan pada model tersebut antara lain:
1. menentukan titk kritis
2. mengkontruksi matrik komunitas Jacobian dan mengevaluasinya di titik kritis yang
telah diperoleh. matrik komunitas menyatakan efek dari spesies ke-j terhadap spesies ke-i di sekitar titik kritisnya
3. Menentukan nilai eigen dan menganalisis kondisi kestabilan
4. Menentukan orbit kestabilan
5. Menafsirkan secara ekologis.
6. Analisis Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Penentuan titik kritis
Sesuai persamaan 4 maka untuk interaksi dua spesies diperoleh:
= +
− =
− dx
c y
by a
x 13
Dari persamaan tersebut diperoleh dua titik kritis sebagai berikut:
, ,
2 1
b a
d c
T T
= =
14
Kontruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan 1 maka diperoleh matriks Jacobi: ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
− −
− =
dx c
dy bx
by a
J
i
15 Matriks komunitas diperoleh dengan mensubstitusikan titik kritis T
1
dan T
2
yang telah diperoleh ke dalam matriks J
i
15 yaitu:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− =
c a
J
1
16
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− =
2
b da
d bc
J
17
Analisis Kestabilan Titik kritis Kondisi kestabilan dari setiap titik kritis dapat dianalisis dan dapat dilihat dari nilai eigennya.
Berikut beberapa persamaan karakteristik untuk tiap titik kritis:
[ ][
]
det
1 1
= −
− −
= −
= λ
λ λ
λ c
a I
J P
18 det
2 2
2
= +
= −
= ac
I J
P
λ λ
λ
19
Titik kritis T
1
Nilai eigen yang diperoleh dari persamaan 18 yaitu, a
=
1
λ dan
c −
=
2
λ
. Agar sistem di titik T
1
stabil maka harus dipenuhi syarat
. ,
2 1
λ λ
diketahui bahwa a dan c positif sehingga mengakibatkan
. ,
2 1
λ λ
dua bilangan real dengan tanda berbeda. Sehingga dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa tipe titik kritis T
1
adalah titik sadel.
Titik kritis T
2
Nilai eigen yang diperoleh dari persamaan 19 yaitu, aci
± =
2 ,
1
λ
. Jadi pada titik kritis T
2
nilai eigen merupakan konjugat kompleks, karena bagian realnya sama dengan nol maka dapat disimpulkan bahwa tipe titik kritis T
2
adalah titik fokus center point.
Orbit dan Kestabilan Sistem
Bentuk kestabilan orbit dan laju perubahan populasi dua spesies hasil simulasi model diperoleh:
Gambar 1. Dinamika populasi dua spesies
Gambar 2. Orbit kestabilan mangsa pemangsa dua spesies
Kesesuaian Model Dengan Hasil Pengamatan Lapangan
Model mangsa Pemangsa Lotka- Volterra memprediksi suatu siklus periodik dengan perbedaan fase kecil antara populasi mangsa dengan pemangsa. Perilaku ini dapat dilihat dari
pengamatan terkenal di Hudson bay Company yang mencatat jumlah mangsa kelinci hare dan pemangsa lynx dari tahun 1845-1935 berikut:
Gambar 3 .Dinamika Populasi Hare dan Lynx oleh Hudson Bay Company
Gambar 4 .Orbit kestabilan populasi Hare’s dan Lynx Oleh Hudson Bay Company
Secara kasar terlihat adanya kemiripan antara grafik model dinamika dua spesies dengan grafik dinamika populasi hasil observasi di alam.
METODOLOGI PENELITIAN Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian telah selesai dilaksanakan di laboratorium Fisika Teori, Departemen Fisika, Institut Pertanian Bogor dimulai dari bulan September 2006 sampai dengan bulan Februari 2007.
kegiatannya meliputi penelitian pendahuluan, pembuatan program, analisis output, pengolahan data, dan penyusunan laporan.
Peralatan
Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini berupa komputer intelRPentiumR 4 CPU 3.00 GHz,512 MB of RAM. Software yang digunakan untuk proses komputasi adalah bahasa
pemrograman Matlab 7.01 dari Mathwork, Inc.dan bahasa pemrograman Maple 9.5. Untuk mendukung penelitian ini sumber referensi yang digunakan selain buku literature juga informasi
yang diperoleh dari internet yang dapat diakses dari Laboratorium. Studi Pustaka
Studi pustaka diperlukan untuk mengetahui sejauh mana perkembangan yang telah dicapai dalam bidang yang diteliti.
Pembuatan Program
Pembuatan program dengan bahasa pemrograman Maple 9.5 dan Matlab 7.01 diperlukan untuk memudahkan perhitungan secara numerik maupun eksak juga memudahkan dalam
pembuatan grafik solusi persamaan baik ruang fasenya maupun laju perubahan populasi pada model ekologi yang dibuat.
Analisis Output
Analisis output diperlukan untuk menguji apakah output yang didapat sesuai dengan teori yang ada dalam literatur. Sistematika penelitian yang lebih lengkap dapat dilihat pada lampiran 4.
HASIL DAN PEMBAHASAN PEMODELAN
1.
Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik
Model ini mengasumsikan bahwa interaksi setiap spesies mendapat keuntungan karena berinteraksi dengan spesies yang lain. Tetapi kelangsungan hidup suatu populasi tidak bergantung
pada interaksi itu mutualisme facultatif. Sedangkan interaksi antar spesies yang sama dapat menurunkan laju pertumbuhan kedua populasi spesies, karena kedua spesies yang sama di dalam
populasi berkompetisi untuk mendapatkan keuntungan dari spesies lain yang berbeda. Model tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan logistik berikut:
, ,
, ,.
1 ,
≥ −
+ =
+ −
=
c b
d a
k j
dy cx
k y
dt dy
by ax
j x
dt dx
20 Dengan,
a : besarnya laju penurunan pertumbuhan spesies x akibat bertambahnya satu individu
spesies x di dalam populasi. b :
besarnya laju peningkatan pertumbuhan spesies x akibat bertambahnya satu individu spesies y di dalam populasi.
c : besarnya laju peningkatan pertumbuhan spesies y akibat bertambahnya satu individu
spesies x di dalam populasi d :
besarnya laju penurunan pertumbuhan spesies y akibat bertambahnya satu individu spesies y di dalam populasi
j : laju pertumbuhan intrinsik spesies x.
k : laju pertumbuhan intrinsik spesies y.
2. Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Mutualistik dengan kehadiran Pemangsa.
