4. Analisis Model Dinamik Dua Mangsa Satu Pemangsa dengan Kompetisi
Intraspesifik 4.1 Penentuan titik kritis
Melalui persamaan 5 diperoleh titik kritis sebagai berikut:
{ }
1 2
3 4
0, 0,
, 0,
0, ,
0, ,
T x
y z
j T
x y
z a
k T
x y
z d
l dl
kh T
x y
z h
hf =
= =
= ⎧
⎫ =
= =
= ⎨
⎬ ⎩
⎭ ⎧
⎫ =
= =
= ⎨
⎬ ⎩
⎭ ⎧
⎫ −
= =
= =
⎨ ⎬
⎩ ⎭
47
5 6
7
, 0,
, ,
l al
gj T
x y
z g
gc bk
jd ak
je T
x y
z ad
be ad
be lcd
lfb hck
hfj x
cgd ceh
fgb fah
cgk cel
fal fgj
T y
cgd ceh
fgb fah
gbk bel
kha gjd
jeh ald
z cgd
ceh fgb
fah ⎧
⎫ −
= =
= =
⎨ ⎬
⎩ ⎭
− −
⎧ ⎫
= = −
= =
⎨ ⎬
− −
⎩ ⎭
⎧ ⎫
− +
+ −
= ⎪
⎪ −
− +
⎪ ⎪
⎪ ⎪
− +
− =
= ⎨
⎬ −
− +
⎪ ⎪
⎪ ⎪
− −
− +
+ = −
⎪ ⎪
− −
+ ⎩
⎭ 48
4.2 Kontruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan 23 maka diperoleh matriks
komunitas 2
2
i
j ax by cz bx
cx J
ey k dy ex fz
fy gz
hz l gx hy
− − − −
− ⎡
⎤ ⎢
⎥ =
− − − −
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ − + +
⎣ ⎦
49 4.3 Analisis kestabilan titik kritis
Untuk melihat terjadinya bifurkasi, maka dibuat beberapa parameter yang dianggap
tetap yaitu a = 0.001, b = 0.001, d = 0.001, e = 0.0015, f = 0.001, g = 0.005, h = 0.0005,
j = 1, k = 1, l = 1 dan memvariasikan variabel c.
Titik Kritis T
1
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
1
yaitu:
1 2
3
j k
l
λ λ
λ
= =
= − 50
Jika parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh nilai eigen :
1 2
3
1 1
1 λ
λ λ
= =
= −
Karena terdapat dua buah nilai eigen bernilai real positif maka titik kritis T
1
bersesuaian dengan bidang tak stabil dan juga terdapat satu nilai eigen bernilai real negatif
yang bersesuaian dengan sebuah garis bersifat stabil. Jadi pada titik kritis T
1
merupakan titik Sadel. Titik Kritis
T
2
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
2
yaitu:
a gj
la a
ej ka
j
3 2
1
+ −
= +
− −
= −
=
λ λ
λ 51
Jika parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh nilai eigen :
a g
a a
e a
1
3 2
1
+ −
= +
− −
= −
=
λ λ
λ
Terdapat tiga kondisi kestabilan pada titik kritis ini, yaitu bisa bersifat titik stabil
jika semua parameter menghasilkan nilai eigen real negatif, bersifat titik tak stabil jika
semua parameter menghasilkan nilai eigen real positif dan bersifat sadel jika semua
parameter menghasilkan real positif dan negatif.
Titik Kritis T
3
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
3
yaitu:
d hk
ld d
bk jd
k
3 2
1
− −
= −
= −
=
λ λ
λ
52
Jika parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh nilai eigen :
d h
d d
b d
1
3 2
1
− −
= −
= −
=
λ λ
λ
Terdapat tiga kondisi kestabilan pada titik kritis ini, yaitu bisa bersifat titik stabil
jika semua parameter menghasilkan nilai eigen real negatif, bersifat titik tak stabil jika
semua parameter menghasilkan nilai eigen real positif dan bersifat sadel jika semua
parameter menghasilkan real positif dan negatif.
Titik Kritis
T
4
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
4
yaitu:
h lk
h d
hl d
l ld
h lk
h d
hl d
l ld
hf chk
cld blf
jhf
2 4
4 2
4 4
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2
1
− +
+ −
= −
+ −
− =
− +
− =
λ λ
λ 53
Jika parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh nilai eigen :
h h
hd d
d h
l h
hd d
d hf
ch cd
bf hf
2 4
4 2
4 4
2 2
3 2
2 2
1
− +
+ −
= −
+ −
− =
− +
− =
λ λ
λ
Terdapat tiga kondisi kestabilan pada titik kritis ini, yaitu bisa bersifat spiral stabil
jika parameter menghasilkan sebuah nilai eigen real negatif dan terdapat dua buah nilai
eigen kompleks, bersifat spiral tak stabil jika parameter menghasilkan sebuah nilai eigen
real positif dan terdapat dua buah nilai eigen kompleks, sedangkan jika parameter
menghasilkan nilai eigen real sama dengan nol dan dua buah nilai eigen bersifat imajiner
murni maka pada titik kritis tersebut bersifat titik fokus Center Point.
Titik Kritis
T
5
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
5
yaitu:
g lj
g a
gl a
l la
g lj
g a
gl a
l la
gc fgj
fla elc
kgc
2 4
4 2
4 4
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2
1
− +
+ −
= −
+ −
− =
− +
− =
λ λ
λ 54
Jika parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh nilai eigen :
g g
ga a
a g
g ga
a a
gc fg
fa ec
gc
2 4
4 2
4 4
2 2
3 2
2 2
1
− +
+ −
= −
+ −
− =
− +
− =
λ λ
λ
Terdapat tiga kondisi kestabilan pada titik kritis ini, yaitu bisa bersifat spiral stabil
jika parameter menghasilkan sebuah nilai eigen real negatif dan terdapat dua buah nilai
eigen kompleks, bersifat spiral tak stabil jika parameter menghasilkan sebuah nilai eigen
real positif dan terdapat dua buah nilai eigen kompleks, sedangkan jika parameter
menghasilkan nilai eigen real sama dengan nol dan dua buah nilai eigen bersifat imajiner
murni maka pada titik kritis tersebut bersifat titik fokus Center Point.
Titik Kritis
T
6
Dari persamaan karakteristik dan parameter j = k = l = 1 maka akan diperoleh
nilai eigen:
1
3 2
1
ad be
be de
ab ad
ad be
he ha
gb gd
be ad
− +
− −
= −
= −
+ −
+ −
− =
λ λ
λ
55
Terdapat tiga kondisi kestabilan pada titik kritis ini, yaitu bisa bersifat titik stabil
jika semua parameter menghasilkan nilai eigen real negatif, bersifat titik tak stabil jika
semua parameter menghasilkan nilai eigen real positif dan bersifat sadel jika semua
parameter menghasilkan real positif dan negatif.
Titik Kritis
T
7
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T
7
maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai
berikut: Parameter 1
Jika parameter yang dipakai adalah c = 0.003 maka secara numerik diperoleh
nilai eigen sebagai berikut:
i i
161 .
003 .
161 .
003 .
, 916
.
3 2
1
− =
+ =
− =
λ λ
λ
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks sehingga orbit yang dihasilkan
membentuk sebuah bidang bersifat spiral stabil. Dan sebuah garis stabil yang
bersesuaian dengan nilai eigen real negatifnya.
Parameter 2
Jika parameter yang dipakai adalah c = 0.005 maka secara numerik diperoleh
nilai eigen sebagai berikut:
i i
158 .
012 .
158 .
012 .
, 949
.
3 2
1
− =
+ =
− =
λ λ
λ
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks sehingga orbit yang dihasilkan
membentuk sebuah bidang bersifat spiral stabil. Dan sebuah garis stabil yang
bersesuaian dengan nilai eigen real negatifnya.
Parameter 3
Jika parameter yang dipakai adalah c = 0.008 maka secara numerik diperoleh
nilai eigen sebagai berikut:
i i
157 .
015 .
157 .
015 .
, 962
.
3 2
1
− =
+ =
− =
λ λ
λ Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen
kompleks sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral
stabil. Dan sebuah garis stabil yang bersesuaian dengan nilai eigen real
negatifnya.
a b
c d
e f
Gambar 18
. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T
7
dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, a bersifat periodik dengan c = 0.003 b bersifat periodik dengan
c = 0.004 c bersifat periodik dengan c = 0.005 d bersifat periodik dengan c = 0.006 e bersifat periodik dengan c = 0.007 serta f bersifat chaotik dengan c = 0.008.
a b
c d
e f
Gambar 19 . Laju Perubahan populasi yang terjadi pada titik kritis T
7
dengan memvariasikan parameter yang digunakan, a Laju Populasi tiga spesies dengan c = 0.003 b Populasi tiga
spesies dengan c = 0.005 c Populasi tiga spesies dengan c = 0.008 d Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.003 bersifat peridik e Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.005 bersifat
periodik f Plot x dan z terhadap waktu t dengan c = 0.008 bersifat chaotik.
a b
c d
Gambar 20. Attractor model dinamik dua mangsa satu pemangsa dengan kondisi awal populasi
pemangsa divariasikan z0 = 2, z0 = 2.1dan z0 = 2.2 sedangkan parameter c = 0.01 a ruang fase tiga spesies t = 3000, b laju populasi mangsa x, c laju populasi mangsa y dan d laju populasi
pemangsa z. Attractor Model Dua Mangsa Satu
Pemangsa
Dalam model sistem dua mangsa satu pemangsa ternyata memiliki kondisi chaotik
pada parameter tertentu. Beberapa parameter yang dibuat tetap yaitu a = 0.001, b = 0.001,
d = 0.001, e = 0.0015, f = 0.001, g = 0.005, h = 0.0005, j = 1, k = 1, l = 1 dan
memvariasikan variabel c. Pada gambar 19d memperlihatkan gejala chaotik saat
parameter c
yang digunakan
adalah c = 0.008.
Salah satu sifat gejala chaotik memiliki sifat yang sangat sensitif terhadap perubahan
kondisi awal initial condition sebagaimana di perlihatkan dalam gambar 20. Dalam hal
ini kondisi awal sistem dibuat secara bervariasi terhadap kondisi awal dari
populasi pemangsa z
predator dan membuat parameter c = 0.01.
a b
c c
Gambar 21. Attractor model dinamik dua mangsa satu pemangsa saat kondisi awal populasi
pemangsa divariasikan z0 = 2, z0 = 2.1dan z0 = 2.2 sedangkan parameter c = 0.01 a ruang fase tiga spesies, t = 3000 b ruang fase bidang xy, c ruang fase bidang yz dan d ruang fase bidang
xz.
Gambar 20 dan gambar 21 memperlihatkan gejala sifat chaotic ketika
salah satu kondisi awalnya dirubah dalam hal ini katika parameter z0 divariasikan.
lintasan yang ditempuh oleh atraktor akan sangat berbeda ketika kondisi awalnya
divariasikan sedikit saja.
Untuk memahami gejala chaotic pada model dinamik perlu analisis lebih lanjut.
HASIL EKSPERIMEN LAPANGAN
Hasil eksperimen lapangan terhadap laju perubahan populasi tiga spesies menunjukkan
kemiripan dengan hasil simulasi dari model ekologi. Hasil eksperimen lapangan
dilakukan terhadap tiga spesies, dengan kondisi dua mangsa satu predator. Dalam
eksperimen ini yang menjadi spesies pemangsa adalah Ciliate Tetrahymena
pyriformis sedangkan yang menjadi mangsanya yaitu bakteri Pedobacter dan
bakteri Brevundimonas. Dalam eksperimen ini parameter pertumbuhan intrinsik bakteri
dan kematian intrinsik Ciliate dapat diatur sehingga dapat divariasikan. Becks L., F. M.
Hilker, H. Malchow, K. Jurgens and H. Arndt: Experimental demonstration of chaos
in a microbial foodweb. Nature 435 1226- 1229 2005
Dalam eksperimen tersebut terlihat beberapa kondisi yang dapat terjadi pada
sistem dinamik dua mangsa satu pemangsa. Gambar 22a dan gambar 22b
memperlihatkan kondisi ketika spesies mencapai kondisi kestabilan asimtotik.
pemangsa dan salah satu mangsa akan bertahan hidup sedangkan spesies mangsa
lainya akan mengalami kepunahan.
Gambar 22h dan gambar 22i memperlihatkan kondisi semua spesies
menuju sebuah kestabilan periodik. Ketiga spesies akan hidup dalam sebuah
keseimbangan dinamik. Sedangkan pada gambar 22c, 22d, 22e, 22f dan 22g
memperlihatkan adanya gejala chaotik dimana dimana semua spesies akan
berlangsung hidup secara tak periodik chaotic.
Gambar 22 . Hasil Experimental dinamika Populasi sistem chemostat bacteria–ciliate. Dengan
memvariasikan nilai Dilution: a, 0.90 d21, b, 0.75 d21; c, 0.50 d21; d–g, 0.50 d21; h, i, 0.45 d21 .lingkaran terbuka, Pedobacter prey; lingkaran hitam, Brevundimonas prey; bar horizontal,
Tetrahymena predator.
5. Analisis Model Dinamik Rantai
Makanan Siklik
5.1
Penentuan titik kritis
Melalui persamaan 5 diperoleh titik kritis sebagai berikut:
T
1
=0,0,0 56
T
2
= gi,0,-ab 57
T
3
=-de,ac,0 58 T
4
=0,-gh,df 59
T
5
:
, ,
ifc beh
cid ceg
aeh z
ifc beh
ifa bid
beg y
ifc beh
fcg fah
dbh x
− +
+ −
= −
+ +
− =
− +
+ −
=
60
5.2 Kontruksi Matriks Jacobi
Kategori