T
4
, , 0
dj bk
cj ak
ad bc ad
bc +
+ ⎛
⎞ ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠
, 24 T
5
0, ,
l fk
dl f
fe ⎛
⎞ − +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
25 T
6
, ,
fj bl l afk
adl cfj
cbl fa
f afe
⎛ ⎞
+ −
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
26
2.2 Kontruksi Matriks Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan 21, maka diperoleh matriks
komunitas sebagai berikut:
J
i
=
2 2
j ax by
bx cy
k cx dy ez ey
fz l fy
− + ⎡
⎤ ⎢
⎥ + − −
− ⎢
⎥ ⎢
⎥ − +
⎣ ⎦
27 Matrik komunitas diperoleh dengan
mensubstitusikan titik kritis yang telah diperoleh ke dalam matrik J
i
19 yaitu:
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− =
l k
j J
1
28
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− +
− =
l a
cj k
a bj
j J
2
29
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ −
− −
+ =
d fk
l d
ek k
d ck
d bk
j J
3
30
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11 4
A A
A A
A A
A A
A J
31 Dengan,
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
+ −
= =
= −
+ −
= −
+ −
= −
+ =
= −
+ =
− +
− =
bc ad
ak jc
f l
A A
A bc
ad ak
jc e
A bc
ad ak
jc d
A bc
ad ak
jc c
A A
bc ad
dj bk
b A
bc ad
dj bk
a A
33 32
31 23
22 21
13 12
11
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
− +
=
5
e dl
fk f
el f
dl f
cl f
bl j
J 32
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11 6
B B
B B
B B
B B
B J
33 Dengan,
11 12
13 2 1
2 2
a fj bl
B a f
b fj bl
B af
B cl
B f
d l B
f −
+ =
+ =
= =
− =
33 32
31 23
= +
+ −
= =
− =
B ae
cbl cfj
adl afk
B B
f el
B
2.3 Analisis kestabilan titik kritis Titik Kritis
T
1
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
1
yaitu:
1 2
3
, ,
j k
l
λ λ
λ
= =
= −
34 Sehingga, karena pada titik kritis ini nilai
eigen terdiri dari dua real positif dan satu real negatif maka trayektor pada titik ini merupakan
titik tak stabil. Titik Kritis
T
2
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
2
yaitu:
1 2
3
, ,
ka cj
j l
a
λ λ
λ
+ = −
= = −
35 Diperoleh bahwa nilai eigen dari titik kritis
ini terdiri dari dua nilai real negatif dan satu real positif. Sehingga aliran vektor pada titik
kritis ini juga merupakan titik tak stabil. Titik Kritis
T
3
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen T
3
yaitu:
1 2
3
, ,
bk dj
fk dl
k d
d
λ λ
λ
+ −
= = −
=
36 Dari nilai eigen tersebut dapat diperoleh
bahwa pada titik kritis tersebut merupakan titik tak stabil.
Titik Kritis T
4
Kondisi kestabilan pada T
4
terjadi saat pemangsa punah, sehingga analisis dari titik
kritis ini sama dengan model interaksi mutualisme dua spesies tanpa kehadiran
pemangsa.
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T
4,
maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai berikut:
Tabel 1. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam titik kritis T
4
Model Mutualisme Kasus
a b c d ad bc
ad bc 2.5
0.5 1
1 1
1 2.5
0.5
Kasus ad bc
Pada saat ad bc maka akan diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
0.333, 1.000,
2.333
λ λ
λ
= − = −
= − Sehingga trayektor pada titik tersebut
merupakan titik stabil.
Gambar 8. Grafik ruang fase titik kritis T
4
dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 2.5, b = 1, c = 1 dan
d = 2.5 Gambar 9
. Grafik ruang fase dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1
Kasus ad bc
Pada saat ad bc maka akan diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
3.000, 1.000,
2.999 λ
λ λ
= − = −
= Sehingga trayektor pada titik tersebut
merupakan titik tak stabil, karena ada satu nilai eigennya yang bernilai real positif.
Gambar 10 . Grafik ruang fase titik kritis T
4
dengan kondisi awal x = 1, y = 1, z = 1, t = 1000 dan parameter a = 0.5, b = 1, c = 1
dan d = 0.5 Gambar 11.
Grafik ruang fase dengan kondisi awal x = 1 dan y = 1
Titik Kritis T
5
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T
5
maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai berikut:
Tabel 2. Nilai-nilai parameter yang digunakan dalam titik kritis T
5
model mutualisme Kasus
f k d l fk dl
fk dl fk = dl
fk dl fk dl
fk dl 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1.5
1.2 1
0.7 0.5
0.3 1.5
1.2 1
0.7 0.5
0.3 Dari beberapa parameter tersebut dapat
diperoleh grafik ruang fase yang mamperlihatkan gejala bifurkasi pada titik kritis
T
5 .
Gambar 12 memperlihatkan gejala bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T
5
. Gambar 12a memperlihatkan orbit kestabilan di sekitar titik
kritis T
5
yang merupakan titik stabil kemudian dengan mengubah parameter, secara perlahan
titik tersebut berubah menjadi spiral yang stabil seperti yang terlihat pada gambar 12d, 12e
dan 12f. Terlihat trayektor memiliki lintasan periodik spiral di sekitar titik kritis yang
semakin memenuhi bidang spiral.
Gambar 13 memperlihatkan laju perubahan
populasi ketika spesies x tetap, dari grafik tersebut terlihat ketika populasi spesies x tetap
maka populasi spesies y akan mengalami penurunan secara periodik hingga mencapai
keseimbangan populasi, penurunan ini disebabkan karena laju pertumbuhan populasi
dipengaruhi secara mutual oleh spesies x sehingga ketika interaksi interspesifiknya
berkurang dibandingkan dengan interaksi intraspesifiknya maka populasinya akan
mengalami penurunan secara periodik. Dari gambar terlihat pula ketika spesies x dibuat
tetap populasi pemangsa z akan mengalami penurunan juga seiring dengan menurunnya
spesies y yang menjadi mangsanya sampai pada suatu keseimbangan populasi tertentu.
Analisis Titik Kritis
T
5
Parameter 1
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1.5 dan l = 1.5 maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
2.500, 0.647,
-2.897
λ λ
λ
= =
=
Diperoleh dua buah nilai eigen positif yang bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu
nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan garis stabil, sehingga dari nilai eigen tersebut
diketahui pada titik kritis tersebut dengan kondisi parameter fk dl merupakan titik
sadel. Parameter 2
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1.2 dan l = 1.2 maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
2.200, 0.302,
-1.742 λ
λ λ
= =
= Diperoleh dua buah nilai eigen positif yang
bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan
garis stabil. Dari nilai eigen tersebut diketahui pada titik kritis tersebut dengan kondisi
parameter fk dl merupakan titik sadel.
Parameter 3
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 1 dan l = 1, maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
2.000, 0.000,
-1.000
λ λ
λ
= =
= Diperoleh sebuah eigen positif yang
bersesuaian dengan bidang tak stabil dan satu nilai eigen real negatif yang bersesuaian dengan
garis stabil. Sehingga, dari nilai eigen tersebut maka diketahui pada titik kritis tersebut dengan
kondisi parameter fk = dl merupakan titik stabil.
Parameter 4
Jika parameter yang dipakai adalah f =1, k = 1, d = 0.7 dan l = 0.7 maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
1.700, -0.245 0.544 i
-0.245-0.544 i λ
λ λ
= =
+ =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai
negatif sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral
stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian dengan niali eigen real positifnya.
Parameter 5
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 0.5 dan l = 0.5 maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
1.500, -0.125 0.599 i
-0.125-0.599 i λ
λ λ
= =
+ =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai
negatif sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral
stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian dengan niali eigen real positifnya.
Parameter 6
Jika parameter yang dipakai adalah f = 1, k = 1, d = 0.3 dan l = 0.3 maka secara numerik
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
1 2
3
1.300, -0.045 0.520 i
-0.045-0.520 i λ
λ λ
= =
+ =
Sehingga diperoleh dua buah nilai eigen kompleks dengan bagian realnya bernilai negatif
sehingga orbit yang dihasilkan membentuk sebuah bidang bersifat spiral
stabil. Dan sebuah garis tak stabil yang bersesuaian
dengan nilai eigen real positifnya.
a b
c d
e f
Gambar 12. Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T
5
dengan t =1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, a parameter d = 1.5 dan l = 1.5 b parameter d = 1.2 dan l = 1.2
c parameter d = 1 dan l = 1 d parameter d = 0.7 dan l = 0.7 e parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta f parameter d = 0.3 dan l = 0.3.
a b
c d
e f
Gambar 13. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T
5
dengan beberapa parameter, a parameter d = 1.5 dan l = 1.5 b parameter d = 1.2 dan l = 1.2 c parameter d = 1 dan l = 1
d parameter d = 0.7 dan l = 0.7 e parameter d = 0.5 dan l = 0.5 serta f parameter d = 0.3 dan l = 0.3.
Titik Kritis T
6
Untuk menganalisis kondisi kestabilan dari titik kritis T
6
maka diperlukan analisis tiap parameter yang digunakan sebagai
berikut: Tabel 3. Nilai-nilai parameter yang digunakan
dalam titik kritis T
6
model mutualisme Kasus
a b c d
ad bc ad bc
ad bc ad = bc
ad bc ad bc
1 1
1 1
1 1
0.1 0.5
0.8 1
1.1 1.2
0.1 0.5
0.8 1
1.1 1.2
1 1
1 1
1 1
Gambar 14. memperlihatkan terjadinya bifurkasi pada titik kritis T
6
sesuai dengan perubahan pada parameter yang diberikan.
Pada gambar 14a dengan parameter b = 0.1 dan c = 0.1, di sekitar titik kritisnya masih
bersifat sebagai Simpul Stabil. Sedangkan pada gambar 14b, 14c, 14d, dan 14e
memperlihatkan bahwa terjadi bifurkasi dari simpul stabil menjadi Spiral Stabil. Jika
parameter yang digunakan yaitu b = 1.2 dan c = 1.2 maka orbit di sekitar titik kritis
tersebut akan bersifat Spiral Tak Stabil. Sehingga pada titik kritis T
6
terjadi tiga kali bifurkasi yang memiliki sifat yang berbeda
tergantung pada parameter yang digunakan. Gambar 15 memperlihatkan laju
perubahan populasi dengan memvariasikan parameter yang digunakan.pada gambar
15a, 15b, 15c, 15d, dan 15e memperlihatkan adanya kestabilan populasi
karena parameter yang digunakan yaitu ad bc, atau terjadinya interaksi antar spesies
itu sendiri lebih besar intraspesifik dibandingkan dengan interaksi antar spesies
yang berbeda interspesifik sehingga populasi ketiga spesies berada pada kondisi stabil.
Sedangkan pada gambar 15f dengan parameter ad bc atau interaksi antar spesies
berbeda lebih besar dari interaksi antar spesies sejenis maka akan terjadi ketidakstabilan
sehingga populasi ketiga spesies akan meningkat secara drastis, dalam hal ini
pemangsa merupakan spesies yang paling diuntungkan sehingga populasinya meningkat
paling tinggi dibandingkan spesies x dan spesies y.
Kasus ad bc
Jika parameter yang dipakai adalah a = 1,b = 0.1, c = 0.1, d = 1, e = 1, f = 1,
g = 1, h = 1, j = 1, k = 1 , l = 1. maka akan di peroleh nilai eigen:
1 2
3
-1.145, -0.826,
-0.127 λ
λ λ
= =
= Dari nilai eigen yang diperoleh dapat
dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis
yang bersifat simpul stabil karena nilai eigennya merupakan real negatif. Sehingga,
jika interaksi antarspesiesnya lebih diperkecil maka akan diperoleh titik kritis yang bersifat
simpul stabil seperti terlihat pada gambar 14a. Pada gambar 15a terlihat laju
perubahan populasi menuju suatu kestabilan asimtotik dimana populasi spesies x dan
spesies y memiliki populasi tertinggi, sedangkan pemangsa z mengalami populasi
terendah yang juga stabil. Kasus
ad = bc
Jika parameter yang dipakai adalah a = 1.01, b = 1.01, c = 1, d = 1, e = 1, f = 1,
g = 1, h = 1, j = 1, k =1, l = 1. maka akan diperoleh nilai eigen:
1 2
3
-2.808, -0.100+1.189 i
-0.100-1.189 i
λ λ
λ
= =
=
Dari nilai eigen yang diperoleh dapat dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini
maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis yang bersifat spiral stabil seperti terlihat pada
gambar 14d. karena nilai eigennya merupakan kompleks dengan bagian realnya
bernilai negatif sehingga bersifat stabil. Pada gambar 15d terlihat laju perubahan populasi
menuju suatu kestabilan asymtotic dimana populasi spesies x dan pemangsa z memiliki
populasi tertinggi sedangkan populasi spesies y yang menjadi mangsa dari predator z
memiliki populasi yang paling rendah karena adanya pemangsaan dari pemangsa z,
sedangkan interaksi interspesifiknya dan interaksi intraspesifiknya sama besar, populasi
spesies y inipun menuju suatu kestabilan populasi.
a b
c d
e f
Gambar 14 . Bifurkasi yang terjadi pada titik kritis T
6
dengan t = 1000 dan memvariasikan parameter yang digunakan, a parameter b = 0.1 dan c = 0.1 b parameter b = 0.5 dan c = 0.5
c parameter b = 0.8, c = 0.8 d parameter b = 1 dan c = 1 e parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta f parameter b = 1.2 dan c = 1.2.
a b
c d
e f
Gambar 15
. Grafik Laju Perubahan Populasi pada Titik Kritis T
6
dengan beberapa parameter, a parameter b = 0.1 dan c = 0.1 b parameter b = 0.5 dan c = 0.5 c parameter b = 0.8, c = 0.8
d parameter b = 1 dan c = 1 e parameter b = 1.1 dan c = 1.1 serta f parameter b = 1.2 dan c = 1.2.
Kasus ad bc
Jika parameter yang dipakai adalah a = 1, b = 1.2, c = 1.2, d = 1, e = 1, f = 1 ,
g = 1, h =1, j = 1, k = 1, l = 1. maka akan di peroleh nilai eigen:
1 2
3
-3.237, 0. 018+1.339 i
0.018-1.339 i λ
λ λ
= =
= Dari nilai eigen yang diperoleh dapat
dianalisis bahwa pada kondisi parameter ini maka akan diperoleh orbit di sekitar titik kritis
yang bersifat spiral tak stabil sebagaimana diperlihatkan pada gambar 14f. Karena nilai
eigen yang diperoleh merupakan kompleks dengan bagian real bernilai positif sehingga
bersifat tak stabil.
Gambar 15f memeperlihatkan laju perubahan populasi dengan parameter yang
digunakan dalam hal ini yaitu ad bc sehingga interaksi antarspesies yang berbeda
lebih besar dibandingkan dengan interaksi antar spesies sejenisnya sehingga
menimbulkan pengaruh pada pemangsaan spesies y oleh pemangsa z. Jadi ketika interaksi
intraspesifik lebih kecil dari interaksi interspesifiknya maka pengaruh pemangsaan
spesies y oleh pemangsa juga akan amat mempengaruhi kestabilan spesies x meski tak
terkait secara langsung dengan pemangsa z. Spesies x dan spesies y akan mengalami
fluktuasi secara periodik, sedangkan pemangsa z akan mengalami peningkatan populasi secara
drastis namun tetap periodik menuju ketidakstabilan populasi.
3. Analisis Model Dinamik Dua Mangsa
Satu Pemangsa tanpa Kompetisi Intraspesifik.
3.1
Penentuan titik kritis
Melalui persamaan 5 diperoleh titik kritis sebagai berikut:
T
1
=0, 0, 0 37
T
2
=0, eg, cd 38
T
3
=ef, 0, ab 39
3.2 Kontruksi Matriks Jacobi
