2. Model Dinamik untuk Interaksi Multispesies
Generalisasi dari model dinamik Lotka-Voltera klasik dari n-spesies yang berinteraksi dapat dinyatakan dengan
1
, 1, 2,3..
n i
i i
ij j
j
dx x r
x dt
i
α
=
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
∑
3
3.
Titik Kritis critical point
Analisis sistem persamaan differensial sistem dua spesies sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu, yaitu untuk tiap
, =
= dt
dy dt
dx
. Titik kritis , y
x dari sistem dapat diperoleh dengan menentukan
, =
= dt
dy dt
dx 4
Sedangkan untuk interaksi tiga spesies titik kritis
, ,
x y z
∗
dapat diperoleh dengan menentukan
0, 0,
dx dt dy dt
dz dt =
= = 5
4.
Kontruksi Matrik Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan interaksi dua spesies maka diperoleh matriks Jacobi berikut
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
2 2
1 2
2 1
1 1
x f
x f
x f
x f
J
i
6 Sedangkan untuk interaksi tiga spesies diperoleh matrik Jacobi
1 1
1 1
2 3
2 2
2 1
2 3
3 3
3 1
2 3
i
f f
f x
x x
f f
f J
x x
x f
f f
x x
x ⎡
⎤ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ∂
= ⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ⎣
⎦ 7
5.
Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Diberikan matrik dengan koefisien konstan J berukuran n
n × dan SPD homogen berikut:
Jx x
= ,
x x
= 8
Suatu vektor
tak nol
x dalam ruang
n
ℜ
disebut vektor eigen dari J jika untuk suatu skalar
λ
berlaku:
x Jx
λ
=
9 Nilai skalar
λ
dinamakan nilai eigen dari J. Untuk mencari nilai eigen
λ
dari matrik J maka persamaan 9 dapat ditulis kembali sebagai:
= −
x I
J
λ 10
Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan 10 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
det =
− =
− =
I J
I J
p λ
λ λ
11 Persamaan 11 disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi.
5. Model Dinamik Lotka-Volterra Untuk Interaksi Dua Spesies
Model mangsa-pemangsa klasik yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra untuk dua spesies, yaitu:
dxy cy
dt dy
bxy ax
dt dx
+ −
= −
= 12
Keterangan: a :
menunjukkan kelahiran rata-rata dari mangsa tanpa adanya pemangsa. b :
merupakan jumlah mangsa yang dimangsa oleh pemangsa. c:
menunjukkan angka kematian pemangsa secara alami tanpa pengaruh ada atau tidak adanya mangsa.
d : menunjukkan jumlah kelahiran dari pemangsa yang dipengaruhi oleh adanya mangsa.
Pada model mangsa-pemangsa dua spesies di atas, misalkan x menyatakan banyaknya spesies sebagai mangsa di level pertama pada waktu t, y menyatakan banyaknya spesies sebagai pemangsa
di level dua pada waktu t. Dari persamaan tersebut perubahan laju populasi spesies x dipengaruhi oleh tingkat reproduksi yaitu laju pertumbuhan alami spesies tersebut. Kemudian terjadi proses
pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, sehingga efek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut akan mempengaruhi laju populasi spesies x. Perubahan laju populasi spesies y dipengaruhi
oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies x sebagai mangsanya. Laju pemangsaan spesies x juga bergantung pada kontak atau bertemunya mangsa dan pemangsa.
Ada lima tahap yang dilakukan untuk menganalisis kondisi kastabilan pada model tersebut antara lain:
1. menentukan titk kritis
2. mengkontruksi matrik komunitas Jacobian dan mengevaluasinya di titik kritis yang
telah diperoleh. matrik komunitas menyatakan efek dari spesies ke-j terhadap spesies ke-i di sekitar titik kritisnya
3. Menentukan nilai eigen dan menganalisis kondisi kestabilan
4. Menentukan orbit kestabilan
5. Menafsirkan secara ekologis.
6. Analisis Model Dinamik untuk Interaksi Dua Spesies Penentuan titik kritis
Kategori