3.2. Teknik Analisis Data
Langkah awal yang dilakukan terlebih dahulu dikaji sedikit tentang didalam suatu fluida yang viskos, gaya permukaan yang bekerja pada elemen fluida lebih kompleks.
Beberapa fluida, Terutama zat cair mempunyai densitas yang hampir selalu mendekati konstan pada rentang tekanan dan temperatur yang lebar. Fluida-fluida
yang menunjukkan kualitas seperti ini biasanya diperlukan sebagai zat yang inkompresibel tidak dapat dimampatkan. Namun demikian pengaruh-pengaruh
konpresibilitas lebih merupakan properti dari situasi ketimbang dari fluida itu sendiri. Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida dibagi menjadi 2 kelompok umum:
3.Gaya-gaya benda body forces Gaya-gaya benda adalah gaya-gaya yang bekerja tampa kontak fisik, misalnya,
gravitasi dan gaya elektrostatik.
4.Gaya-gaya permukaan surface forces Tekanan dan gaya-gaya gesekan membutuhkan kontak fisik agar bisa
melakukan transmisi. Karena membutuhkan permukaan agar bisa bekerja gaya- gaya tersebut dinamakan gaya-gaya permukaan.
Universitas Sumatera Utara
3.3. Diagram Alir Penelitian
Universitas Sumatera Utara
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Persamaan Navier-Stokes
Persamaan Navier Stokes adalah bentuk difrensial dari hukum kedua Newton tentang gerakan. Persamaan gerak yang paling lengkap untuk elemen fluida berviskositas
dalam medan gravitasi adalah persamaan Navier Stokes. Ditinjau elemen fluida dengan volume
z y
x Δ
Δ Δ
Tegangan permukaan pada elemen fluida adalah tegangan normal σ dan
tegangan geser τ .
Subskrib tegangan geser τ memberikan gambaran bahwa untuk subskrib
pertama menunjukkan bidang tempat bekerjanya tegangan geser dan subskrib kedua menunjukkan sumbu yang sesuai dengan arah kerja tegangan geser notasi tensor.
Ditinjau dari elemen fluida berbentuk kubus dengan sisi Δx, Δy, dan Δz .Massa
dari elemen fluida: m = ρ Δx Δy Δz.
F = m. a
=
ρ Δx Δy Δz . a 4.1
Dengan v = v
x
iˆ
+ v
y
jˆ + v
z
kˆ
4.2
v = Vektor kecepatan fluida dengan komponen v
x
, v
y
dan v
z
r = x
iˆ
+ y jˆ + z
kˆ
r = Vektor posisi dengan komponen x, y, z.
Universitas Sumatera Utara
Vektor kecepatan v dengan komponennnya dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom berikut ini.
v = ⎪
⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
z y
x
v v
v 4.3
Apabila v
x
, v
y
dan v
z
merupakan fungsi dari x, y, z, t maka fungsi komponen kecepatan ini dapat ditulis dalam bentuk:
v
x
= v x,
y, z,
t 4.4a
v
y
= v x,
y, z,
t 4.4b
v
z
= v x, y, z, t 4.4c
Difrensial total dari persamaan 4.4a, 4.4b dan 4.4c adalah:
dv
x
= dt
t v
dz z
v dy
y v
dx x
v
x x
x x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ 4.5a
dv
y
=
dt t
v dz
z v
dy y
v dx
x v
z y
y y
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂
4.5b
dv
z
= dt
t v
dz z
v dy
y v
dx x
v
z z
z z
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ 4.5c
Jika persamaan 4.5a, 4.5b dan 4.5c dibagi dengan dt maka akan diperoleh persamaan berikut:
t v
dt dz
z v
dt dy
y v
dt dx
x v
a
x x
x x
x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.6a
t v
dt dz
z v
dt dy
y v
dt dx
x v
a
y y
y y
y
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.6b
Universitas Sumatera Utara
t v
dt dz
z v
dt dy
y v
dt dx
x v
a
z z
z z
z
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.6c
x
a
,
y
a
dan
z
a
persamaan 4.6a, 4.6b dan 4.6c tidak lain adalah percepatan dalam arah x, arah y dan arah z. Oleh karena itu vektor percepatan dapat ditulis
menjadi:
⎪ ⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪
⎩ ⎪
⎨ ⎧
=
z y
x
a a
a a
4.7
Dengan:
dt dv
a
x x
=
4.8a
dt dv
a
y y
=
4.8b
dt dv
a
z Z
=
4.8c
Maka pada persamaan 4.6a, 4.6b, 4.6c dapat ditulis kembali:
t v
z v
v y
v v
x v
v a
x x
z x
y x
x x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.9.a
t v
z v
v y
v v
x v
v a
y y
z y
y y
x y
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.9b
t v
z v
v y
v v
x v
v a
z z
z z
y z
x z
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
4.9c
Persamaan percepatan 4.9a, 4.9b dan 4.9c dikenal dengan sebutan percepatan total dengan:
Universitas Sumatera Utara
v
x
=
dt dx
4.10a
v
y
=
dt dy
4.10b
v
z
=
dt dz
4.10c
Keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tegangan normal dan tegangan geser dalam arah x , arah y, dan arah z adalah:
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ Δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
= y
x z
z y
x z
x y
y z
x z
y x
x z
y F
xz xz
xz xy
xy xy
xx xx
XX X
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ Δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
= y
x z
z y
x z
x y
y z
x z
y x
x z
y F
xz xz
xz xy
xy xy
xx xx
XX y
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ
z y
x g
y x
z z
y x
z x
y y
z x
z y
x x
z y
F
xz xz
xz xy
xy xy
xx xx
XX z
Δ Δ
Δ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
Δ Δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
Δ Δ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
Δ ∂
∂ +
− Δ
Δ −
= ρ
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ
τ
………. 4.11
atau
z y
x z
y x
F
xz xy
xx x
Δ Δ
Δ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
τ τ
τ 4.12a
z y
x z
y x
F
yz yy
yx y
Δ Δ
Δ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
τ τ
τ 4.12b
z y
x g
z y
x F
zz zy
zx z
Δ Δ
Δ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
=
ρ τ
τ τ
4.12c
Universitas Sumatera Utara
Maka tegangan geser pada elemen fluida Newtonian Fluid :
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
x v
y v
y x
xy
μ τ
4.13a
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
y v
z v
z y
yz
μ τ
4.13b
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ =
x v
z v
z x
xz
μ τ
4.13c
Dengan:
zx xz
yz zy
xy yx
τ τ
τ τ
τ τ
= =
=
Sedangkan tegangan normal yang bekerja pada elemen untuk fluida Newtonian
Newtonian Fluid adalah:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
− =
= z
v y
v x
v x
v p
z y
x x
xx x
μ μ
τ σ
3 2
2
4.14a
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
− =
= z
v y
v x
v y
v p
z y
x y
yy y
μ μ
τ σ
3 2
2
4.14b
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
− =
= z
v y
v x
v z
v p
z y
x z
zz z
μ μ
τ σ
3 2
2
4.14c
Dari persamaan 4.14a, 4.14b, dan 4.14c untuk fluida yang berviskositas nilai rata-rata dari jumlah ketiga tegangan normal tersebut disebut tekanan.
Jika nilai tegangan geser pada persamaan 4.13a, 4.13b dan 4.13b dan nilai tegangan normal pada persamaan 4.14a, 4.14b dan 4.14c dimasukkan kedalam
persamaan 4.12a, 4.12b, 4.12c dan hasilnya disubtitusi ke persamaan kontinuitas. Maka akan diperoleh persamaan:
Universitas Sumatera Utara
z y
x z
v y
v x
v x
p F
x x
x x
Δ Δ
Δ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
2 2
2 2
2 2
μ 4.15a
z y
x z
v y
v x
v y
p F
y y
y y
Δ Δ
Δ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
2 2
2 2
2 2
μ 4.15b
z y
x g
z v
y v
x v
z p
F
z z
z Z
Δ Δ
Δ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ρ
μ
2 2
2 2
2 2
4.15c
Dalam notasi vektor persamaan 4.15a, 4.15b, 4.15c adalah:
F=
z y
x k
g v
p Δ
Δ Δ
− ∇
+ ∇
− ˆ
2
ρ μ
4.16
Apabila vector gaya F = m.a dan massa m =
z y
x Δ
Δ Δ
ρ serta koefisien viskositas
kinematik v = ρ μ
dimasukkan ke persamaan 4.16 maka akan diperoleh persamaan :
+ ∇
− =
p a
ρ 1
v k
g v
ˆ
2
− ∇
4.17 Gabungan persamaan 4.9a, 4.9b dan 4.9c, dan persamaan 4.16 menghasilkan
persamaan vektor berikut:
k g
v v
p dt
dv ˆ
1
2
− ∇
+ ∇
− = ρ
4.18
Dalam koordinat kartesian persamaan 4.18 dapat ditulis dalam bentuk berikut:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
1 z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
x x
x x
z x
y x
x x
ρ 4.19a
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
1 z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
y y
y y
z y
y y
x y
ρ 4.19b
Universitas Sumatera Utara
g z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
z z
z z
z z
y z
x z
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂
2 2
2 2
2 2
1
ρ 4.19c
Dalam koordinat kartesian persamaan 4.19a, 4.19b, dan 4.19c dapat disusun kembali menjadi:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
1 z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
x x
x z
x y
x x
x x
ρ 4.20a
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
2 2
2 2
2 2
1 z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
y y
y z
y y
y y
x y
ρ 4.20b
g z
v y
v x
v v
x p
z v
v y
v v
x v
v t
v
z z
z z
z z
y z
x z
− ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂
2 2
2 2
2 2
1
ρ 4.20c
Persamaan 4.18a, 4.19a, 4.19b, 4.19c , 4.20a, 4.20b dan 4.20c merupakan persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes.
Persamaan ini berlaku untuk fluida dengan viskositas tidak sama dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan