Dalam notasi vektor persamaan 2.42 dapat ditulis sebagai berikut:
= •
∇ +
∂ ∂
ν ρ
ρ t
2.43
Ada dua hal yang harus diperhatikan. Untuk aliran tunak dari fluida mampu-mampat: =
• ∇ v
ρ 2.44
Hal ini disebabkan karena menurut definisi ρ bukanlah fungsi dari waktu
dalam aliran tunak, namun bisa merupakan fungsi posisi, untuk fluida tak termampatkan kerapatan fluidanya.
2.2.3 Persamaan Gerak
Secara umum ada dua jenis gaya yang perlu diperhatikan: Gaya-gaya permukaan yang bekerja pada permukaan elemen difrensial, dan Gaya-gaya badan,
yang terdistribusi diseluruh elemen.Satu-satunya gaya badan
b
F δ
, yang menjadi perhatian adalah massa dari elemen, yang dapat dinyatakan sebagai:
b
F δ
= m
δ g
2.45
Di mana g adalah pernyataan vektor dari percepatan gravitasi. Dalam bentuk
komponen:
bx
F δ
= m
δ g
x
2.46a
by
F δ
= m
δ g
y
2.46b
bz
F δ
= m
δ g
z
2.46c
Universitas Sumatera Utara
Di mana g
x
, g
y
dan g
z
adalah komponen-komponen dari vektor percepatan gravitasi masing-masing dalam arah x, arah y, dan arah z.
Tegangan normal,
n
σ , didefinisikan sebagai
A F
n A
n
δ δ
σ
δ
lim
→
= 2.47
Dan Tegangan geser didefinisikan sebagai
A F
A
δ δ
τ
δ
lim
→
= 2.48
σ untuk tegangan normal dan τ untuk tegangan geser. Dengan demikian intensitas dari gaya per satuan luas pada sebuah titik dapat disifatkan oleh sebuah
tegangan normal dan tegangan geser, jika orientasi dari bidang ditentukan.
Dapat dinyatakan gaya-gaya permukaan yang bekerja pada sebuah elemen kubus dari sebuah fluida dalam bentuk tegangan-tegangan yang bekerja pada
permukaan-permukaan elemen. Gaya permukaan resultan dalam arah x, arah y dan arah z dapat dituliskan
sebagai berikut:
z y
x z
y x
F
zx yx
xx x
δ δ
δ τ
τ σ
δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
=
2.49a
z y
x z
y x
F
zy yy
xy y
δ δ
δ τ
σ τ
δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
=
2.49b
z y
x z
y x
F
zz yz
xz z
δ δ
δ σ
τ τ
δ
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
=
2.49c
Gaya permukaan resultan dalam arah x, arah y dan arah z dapat dinyatakan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
X
F F
δ δ
=
î +
y
F δ jˆ +
z
F
δ
kˆ
2.50
Munson, R.B, 2003.
Persamaan Navier Stokes adalah bentuk difrensial dari hukum kedua Newton tentang gerakan. Alat dasar yang akan digunakan di dalam mengembangkan
persamaan Navier Stokes adalah hukum kedua Newton tentang gerakan untuk suatu volume kontrol sembarang.
Gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol adalah gaya-gaya yang disebabkan oleh tegangan normal dan tegangan geser dan gaya benda seperti ini
disebabkan oleh gravitasi, Welty, R. James, dkk, 2002
2.2.4 Persamaan Gerak Uuntuk Fluida Viskos Persamaan Navier Stokes
