Persamaan Diferensial (Orde Satu)

Bab 15 Persamaan Diferensial (Orde Satu)

15.1. Pengertian

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial dan persamaan diferensial

. Jenis yang kedua tidak kita pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut ! : orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi

turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3 adalah orde

tiga;

2 adalah orde dua; adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Sebagai contoh: 

+ 2 =  adalah persamaan 

+ 1 diferensial

% dua. Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial biasa,

tiga,

orde satu dan orde dua, derajat satu.

15.2. Solusi

Suatu fungsi = ( ) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya

dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh ( ) dan turunannya. Kita ambil satu contoh:

= − adalah solusi dari persamaan + = 0 karena turunan = −

adalah = − − , dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh − − + − = 0 Persamaan terpenuhi.

Pada contoh di atas kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu mempunyai solusi yang melibatkan satu tetapan sembarang yaitu . Pada umumnya suatu persamaan orde

akan memiliki solusi yang mengandung tetapan sembarang. Pada persamaan diferensial orde dua yang akan kita bahas di bab berikutnya, kita akan menemukan solusi dengan dua tetapan sembarang. Nilai dari tetapan ini ditentukan oleh kondisi awal.

15.3. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

Solusi suatu persamaan diferensial bisa diperoleh apabila peubah*peubah dapat dipisahkan; pada pemisahan peubah ini kita mengumpulkan semua

dengan dan semua dengan . Jika hal ini bisa dilakukan maka persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk

( ) + ( ) = 0 (15.1) Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum

dengan satu tetapan sembarang 7, yaitu ( ) +

Kita ambil dua contoh.

1). = − . Persamaan ini dapat kita tuliskan = sehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisah

180 Sudaryatno Sudirham,

= . Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

= 0 dan

2 sehingga

− ln = 7 = ln atau 2 + 7′

15.4. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

Persamaan demikian ini dapat dipecahkan dengan membuat peubah bebas baru

Dengan peubah baru ini maka

dan

Persamaan (14.2) menjadi

(15.4) yang kemudian dapat dicari solusinya melalui pemisahan peubah.

Solusi persamaan aslinya diperoleh dengan menggantikan dengan / setelah persamaan terakhir ini dipecahkan.

Kita ambil contoh: ( 2 + 2 ) + 2 = 0

Persamaan ini dapat kita tulis

2 ) + 2 = 0 atau

( 1 + 2 ) = − 2 sehingga

yang merupakan bentuk persamaan homogen. Peubah baru = / memberikan

= + dan membuat persamaan menjadi

dan

atau

2 2 2 Dari sini kita dapatkan = 2 −

atau

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan sebagai fungsi . Kita perlu pengalaman untuk ini.

Kita tahu bahwa = . Kita coba hitung ln( 1 + 3 2 )

(ln ) 1

ln( 1 + 3 2 ) ( 1 + 3 2 ) = 1 = ( 6 )

1 + 3 2 Kembali ke persamaan kita. Dari percobaan perhitungan di atas

kita dapatkan solusi dari

adalah ln + ln( 1 + 3 2 ) = 7 = ln 7 ′ atau

3 ( 1 + 3 2 ) = 7′ Dalam dan solusi ini adalah

3 ln + ln( 1 + 3 2 ) = 7 = ln 7 ′ sehingga

) = 7′ atau

182 Sudaryatno Sudirham,

15.5. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Dalam menentukan derajat ini kita harus memperhitungkan pangkat dari peubah dan turunannya; misal ( / ) adalah berderajat dua karena dan

/ masing*masing berpangkat satu dan harus kita jumlahkan untuk menentukan derajat dari ( / ).

Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk

(15.6) dengan + dan * merupakan fungsi atau tetapan. Persamaan diferensial

bentuk inilah selanjutnya akan kita bahas dan kita akan membatasi pada situasi dimana + adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena kita akan langsung melihat pemanfaatan praktis dengan contoh yang terjadi pada analisis rangkaian listrik.

Dalam analisis rangkaian listrik, peubah fisis seperti tegangan dan arus merupakan fungsi waktu. Oleh karena itu persamaan diferensial yang akan kita tinjau kita tuliskan secara umum sebagai

(15.7) Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada

peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan. Peubah

adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut ) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai dan

ditentukan oleh nilai*nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi ( ) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut

. Persamaan diferensial seperti (15.7) mempunyai !

atau

! yang merupakan jumlah dari !

!"! . Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan (15.7) sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

dan !

Hal ini dapat difahami karena jika 1 ( ) memenuhi (15.7) dan fungsi 2 () memenuhi (15.8), maka = ( 1 2 2 : akan memenuhi (15.7) sebab

Jadi = ( 1 + 2 ) adalah solusi dari (15.7), dan kita sebut !

! yang terdiri dari solusi khusus 1 dari (15.7) dan solusi homogen 2 dari (15.8).

Peristiwa Transien. Sebagaimana telah disebutkan, persamaan diferensial seperti (14.7) dijumpai dalam peristiwa transien, yaitu selang peralihan dari suatu keadaan mantap ke keadaan mantap yang lain.. Peralihan kita anggap mulai terjadi pada = 0 dan peristiwa transien yang kita tinjau terjadi dalam kurun waktu setelah mulai terjadi perubahan yaitu dalam kurun waktu > 0. Sesaat setelah mulai perubahan kita beri tanda = 0 + dan sesaat sebelum terjadi perubahan kita beri tanda = 0 − .

Solusi Homogen. Persamaan (15.8) menyatakan bahwa ditambah dengan suatu koefisien konstan kali

/ sama dengan nol untuk semua nilai # Hal ini hanya mungkin terjadi jika

dan / berbentuk sama. Fungsi yang turunannya mempunyai bentuk sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponensial. Jadi kita dapat menduga bahwa solusi

dari (15.8) mempunyai bentuk eksponensial = 7 1 . Jika solusi dugaan ini kita masukkan ke (15.8), kita peroleh

7 1 + 7 1 = 0 atau 7 1 ( + ) = 0 (15.9)

Peubah tidak mungkin bernilai nol untuk seluruh dan 7 1 juga tidak boleh bernilai nol karena hal itu akan membuat

bernilai nol untuk seluruh . Satu*satunya cara agar persamaan (15.9) terpenuhi adalah

+ = 0 (15.10) Persamaan (15.10) ini disebut

sistem orde pertama. Persamaan ini hanya mempunyai

akar yaitu = −( / ). Jadi solusi homogen yang kita cari adalah

= 7 7 − ( / ) 1 = 1 (15.11) Nilai 7 1 masih harus kita tentukan melalui penerapan suatu persyaratan

tertentu yang kita sebut ! ( yaitu kondisi pada ) 0 + sesaat 184 Sudaryatno Sudirham, tertentu yang kita sebut ! ( yaitu kondisi pada ) 0 + sesaat 184 Sudaryatno Sudirham,

1 haruslah sedemikian rupa sehingga nilai

= 0 + sehingga nilai 7

pada = 0 tersebut dapat dipenuhi. Akan tetapi kondisi awal ini tidak dapat kita terapkan pada solusi homogen karena solusi ini baru merupakan sebagian dari solusi. Kondisi awal harus kita terapkan pada solusi total dan bukan hanya untuk solusi homogen saja. Oleh karena itu kita harus mencari solusi khusus lebih dulu agar solusi total dapat kita peroleh untuk kemudian menerapkan kondisi awal.

Solusi khusus. Solusi khusus dari (15.7) tergantung dari bentuk fungsi pemaksa ( :. Seperti halnya dengan solusi homogen, kita dapat melakukan pendugaan pada solusi khusus. 5

dan turunannya harus mempunyai bentuk sama agar hal tersebut terpenuhi. Untuk berbagai bentuk ( ), solusi khusus dugaan adalah sebagai berikut.

" # Jika solusi khusus kita sebut

, maka

Jika ( ) = 0 , maka = 0

Jika ( ) = = konstan, maka = konstan = 7 Jika ( ) = α = eksponensi al, maka

= eksponensi al = 7 α

Jika ( ) = sin ω , atau ( ) = cos ω , maka = 7 $ cos ω + 7 sin ω Perhatikan : = 7 $ cos ω + 7 sin ω adalah bentuk umum fungsi sinus maupun cosinus .

Solusi total. Jika solusi khusus kita sebut , maka solusi total adalah =

+ 7 1 (15.12) Pada solusi lengkap inilah kita dapat menerapkan kondisi awal yang akan

memberikan nilai 7 1 . Kondisi Awal. Kondisi awal adalah kondisi pada awal terjadinya

perubahan yaitu pada = 0 + . Dalam menurunkan persamaan diferensial pada peristiwa transien kita harus memilih peubah yang disebut

. Peubah status harus merupakan fungsi kontinyu. Nilai peubah ini, sesaat sesudah dan sesaat sebelum terjadi perubahan harus bernilai sama. Jika kondisi awal ini kita sebut (0 + ) maka

(15.13) Jika kondisi awal ini kita masukkan pada dugaan solusi lengkap (14.12)

akan kita peroleh nilai 7 1 .

( 0 + ) = ( 0 + ) + 7 → 7 = ( 0 + ) − ( 0 1 + 1 ) (15.14) (0 + ) adalah nilai solusi khusus pada = 0 + . Nilai (0 + ) dan (0 + ) adalah

tertentu (yaitu nilai pada = 0 + ). Jika kita sebut

( 0 + ) = 0 (15.15) maka solusi total menjadi

15.6. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa

Tanpa Fungsi Pemaksa, f(t) = 0. Jika ( ) =0 maka solusi yang akan kita peroleh hanyalah solusi homogen saja. Walaupun demikian, dalam mencari soluai kita akan menganggap bahwa fungsi pemaksa tetap ada, akan tetapi bernilai nol. Hal ini kita lakukan karena !

! , sedangkan solusi total harus terdiri dari solusi homogen dan solusi khusus (walaupun mungkin bernilai nol). Kondisi awal tidak dapat diterapkan hanya pada solusi homogen saja atau solusi khusus saja.

Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

untuk > 0. Kondisi awal adalah (0 + ) = 12 V. Persamaan karakteris tik : + 1000 = 0 → = − 1000

Dugaan solusi homogen : =

Dugaan solusi khusus : 0 (karena tidak ada fungsi pemaksa)

Dugaan solusi total : =

186 Sudaryatno Sudirham,

Kondisi awal : ( 0 + ) = ( 0 − ) = 12 V. Penerapan kondisi awal pada dugaan solusi total

memberikan : 12 = 0 + 0 → 0 = 12 Solusi total menjadi : = 12 − 1000 V

Contoh: Pada kondisi awal + (0 ) = 10 V, analisis transien menghasilkan persamaan

Persamaan karakteris tik : + 3 = 0 → = − 3

Dugaan solusi homogen : =

Dugaan solusi khusus : = 0

Dugaan solusi total : =

Kondisi awal : ( 0 + ) = 10 V

Penerapan kondisi awal memberikan : 10 = 0 + 0

Solusi total menjadi : = 10 − 3 V

Fungsi Pemaksa Berbentuk Anak Tangga. Kita telah mempelajari bahwa fungsi anak tangga adalah fungsi yang bernilai 0 untuk < 0 dan bernilai konstan untuk

> 0. Jadi jika kita hanya meninjau keadaan untuk > 0 saja, maka fungsi pemaksa anak tangga dapat kita tuliskan sebagai ( ) = (tetapan).

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

dengan kondisi awal (0 + ) = 0 V. Persamaan karakteris tik : 10 − 3 + 1 = 0 → = − 1 / 10 − 3 = − 1000

Dugaan solusi homogen : =

Karena ( ) = 12 konstan, kita dapat menduga bahwa solusi khusus akan bernilai konstan juga karena turunannya akan nol sehingga kedua ruas persamaan tersebut dapat berisi suatu nilai konstan.

Dugaan solusi khusus : = 7

Masukkan dugaan ini ke persamaan : 0 + 7 = 12 ⇒ = 12

Dugaan solusi total : = 12 +

Kondisi awal : ( 0 + ) = ( 0 − ) = 0 .

Penerapan kondisi awal memberikan : 0 = 12 + 0 → 0 = − 12 Solusi total menjadi : = 12 − 12 − 1000 V

Contoh: Pada kondisi awal (0 + ) = 11 V, analisis transien menghasilkan persamaan

Persamaan karakteris tik : + 5 = 0 → = − 5

Dugaan solusi homogen : =

Dugaan solusi khusus : = 7 → 0 + 5 7 = 200 → = 40

Dugaan solusi lengkap : =

0 40 0 Kondisi awal : ( 0 + ) = 11 V. Penerapan kondisi awal memberikan :

Tanggapan total : = 40 − 29 − 5 V.

Fungsi Pemaksa Berbentuk Sinus. Berikut ini kita akan mencari solusi jika fungsi pemaksa berbentuk sinus. Karena solusi homogen tidak tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, maka pencarian solusi homogen dari persamaan ini sama seperti apa yang kita lihat pada contoh*contoh sebelumnya. Jadi dalam hal ini perhatian kita lebih kita tujukan pada pencarian solusi khusus.

Dengan pengertian bahwa kita hanya memandang kejadian pada > 0, bentuk umum dari fungsi sinus yang muncul pada = 0 kita tuliskan

= cos( ω + θ )

188 Sudaryatno Sudirham,

Melalui relasi

= cos( ω + θ ) = { cos ω cos θ − sin ω sin θ }

bentuk umum fungsi sinus dapat kita tuliskan sebagai = $ cos ω + sin ω

dengan $ = cos θ dan = − sin θ Dengan bentuk umum seperti di atas kita terhindar dari perhitungan

sudut fasa θ, karena sudut fasa ini tercakup dalam koefisien $ dan . Koefisien $ dan

tidak selalu ada. Jika sudut fasa θ = 0 maka =0 dan jika θ = 90 o maka $ = 0. Jika kita memerlukan nilai sudut fasa θ dari fungsi sinus yang dinyatakan dengan pernyataan umum, kita dapat

menggunakan relasi tan θ =

Turunan fungsi sinus akan berbentuk sinus juga. Oleh karena itu, penjumlahan = sinω dan turunannya akan berbentuk fungsi sinus juga.

= $ cos ω + sin ω ;

= − $ ω sin ω + ω cos ω ;

= − ω 2 2 $ cos ω − ω 2 sin ω Contoh: Pada kondisi awal (0 + ) = 0 V suatu analisis transien

menghasilkan persamaan + 5= 100 cos 10 Persamaan karakteris tik : + 5 = 0 → = − 5

Dugaan solusi homogen : =

Fungsi pemaksa berbentuk sinus. Solusi khusus kita duga akan berbentuk sinus juga.

Dugaan solusi khusus :

= $ cos 10 +

sin 10

Substitusi solusi khusus ini ke persamaan memberikan : − 10 $ sin 10 + 10 cos 10 + 5 $ cos 10 + 5 sin 10 = 100 cos 10

→ − 10 $ + 5 = 0 dan 10 + 5 $ = 100 → = 2 $ → 20 $ + 5 $ = 100 ⇒ $ = 4 dan = 8

Solusi khusus : = 4 cos 10 + 8 sin 10

Dugaan solusi total : = 4 cos 10 + 8 sin 10 +

Kondisi awal ( 0 + ) = 0 .

Penerapan kondisi awal : 0 = 4 + 0 → 0 = − 4

Jadi : = 4 cos 10 + 8 sin 10 − 4 − 5 V

Contoh: Apabila kondisi awal adalah (0 + ) = 10 V, bagaimanakah solusi pada contoh sebelum ini?

Solusi total telah diperoleh; hanya kondisi awal yang berubah. Solusi total : = 4 cos 10 + 8 sin 10 +

Kondisi awal ( 0 + ) = 10 → 10 = 4 + 0 → 0 = 6 Jadi : = 4 cos 10 + 8 sin 10 + 6 − 5 V

Ringkasan. Solusi total terdiri dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi homogen merupakan bagian transien dengan konstanta waktu yang ditentukan oleh tetapan*tetapan dalam persamaan, yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh nilai*nilai elemen rangkaian. Solusi khusus merupakan solusi yang tergantung dari bentuk fungsi pemaksa, yang dalam hal rangkaian listrik ditentukan oleh masukan dari luar; solusi khusus merupakan bagian mantap atau kondisi final.

190 Sudaryatno Sudirham,

Solusi khusus : ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen mantap; tetap ada untuk →∞.

Solusi homogen :

tidak ditentukan oleh fungsi pemaksa. merupakan komponen transien; hilang pada →∞; sudah dapat dianggap hilang pada = 5τ. konstanta waktu τ = / pada (14.10)

Soal0Soal:

1. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

a) . + 10 = 0 , ( 0 ) = 10 ;

b). + 15 = 0 , ( 0 + ) = 5

2. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

a) . + 8 = 0 , ( 0 + ) = 2 ;

b). + 10 4 = 0 , ( 0 + ) = − 0 , 005

3. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

a) . + 10 = 10 ( ) , ( 0 + ) = 0 ;

b). + 10 = 10 ( ) , ( 0 + ) = 5

4. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

a) 4 . + 10 = 100 ( ) , ( 0 + ) = 0 ;

4 b). + + 10 = 100 ( ) , ( 0 ) = − 0 , 02

5. Carilah solusi persamaan diferensial berikut.

a) + . + 5 = 10 cos( 5 ) ( ) , ( 0 ) = 0 ;

b). + + 10 = 10 cos( 5 ) ( ) , ( 0 ) = 5

192 Sudaryatno Sudirham,