Integral (1) (Macam Integral, Pendekatan 4umerik)
12.4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar
Jika kurva = ( ) kita bagi dalam segmen masing*masing selebar , maka dalam segmen tersebut adalah
158 Sudaryatno Sudirham,
2 + 2 Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12.
Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak antara P dan Q di mana turunan fungsi
′ ( +′ ) , yang merupakan garis
singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian ′ (+′ ) ini, dapat dinyatakan sebagai
Gb.12.12. Salah satu segmen pada kurva = ( ) . Setiap segmen memiliki
′ (+′ ) masing*masing yaitu ′ , dan masing*masing yaitu
. Jika dibuat menuju ∞, panjang kurva dari = ke = adalah
= lim = lim
1 + ′ ∑ 2 ∑ () = lim ∑ 1 + () ′ 2
atau
Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi sumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagai
dengan ′ dan ′ ∫ adalah batas*batas peubah
bebas.
12.5. 4ilai Rata0Rata Suatu Fungsi
Untuk fungsi
≤ ≤ 4 nilai rata*rata fungsi ini didefinisikan sebagai
= ( ) yang kontinyu dalam rentang
(Penulisan ( ) untuk menyatakan ) Definisi (12.33) dapat kita tuliskan
Ruas kanan (12.34) adalah luas bidang antara kurva fungsi = ( ) dengan sumbu* mulai dari =
sampai = 4. Ruas kiri (12.34) dapat ditafsirkan sebagai luas segi empat dengan panjang (4 − ) dan lebar ( ) . Namun kita perlu hati*hati sebab dalam menghitung ruas kanan (12.34) sebagai luas bidang antara kurva fungsi
= ( ) dengan sumbu* bagian kurva yang berada di bawah sumbu* memberi kontribusi positif
pada luas bidang yang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai rata* rata (12.33) kontibusi tersebut adalah negatif.
Sebagai contoh, kita ambil fungsi = 3 − 12 . Luas bidang antara = 3 − 12 dengan sumbu* dari = −3 sampai = +3 adalah positif,
4 = 67 , 5 (telah pernah kita hitung). Sementara itu jika kita menghitung nilai rata*rata fungsi ini dari = −3 sampai = +3 hasilnya
adalah ( ) = 0 karena bagian kurva yang berada di atas dan di bawah sumbu* akan saling meniadakan.
160 Sudaryatno Sudirham,