Integral (2) (Integral Tak Tentu)
Bab 13 Integral (2) (Integral Tak Tentu)
Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam*macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung
! . Namun ! dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas*batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam*macam fungsi.
13.1. Integral Fungsi Tetapan:
= + 7 karena
Contoh:
13.2. Integral Fungsi Mononom:
Karena = − 1 dengan syarat ≠ −1, maka =
Contoh:
13.3. Integral Fungsi Polinom (
Polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.
Karena ( + " ) =
maka
+ 7 , dengan syarat ≠ − 1 , " ≠ − 1 ∫
Soal0Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
13.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:
Jika adalah polinom, maka =
+ 7 ∫ karena
= dengan syarat ≠ −1. Formulasi ini digunakan untuk + 1
mencari
Contoh: Hitunglah
Misalkan = 2+ 1 →
Kita coba untuk meyakinkan hasil ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
3 2 Hasil perhitungan sama dengan hasil sebelumnya,
Contoh: Hitunglah
Misalkan 1 − 2 = →
Soal0Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
162 Sudaryatno Sudirham,
13.5. Integral Fungsi Berpangkat 01:
Karena (ln ) =
maka
∫ ini
= ln + 7 . Integrasi
memecahkan masalah persyaratan ≠ −1 pada integrasi
Contoh: Carilah integral
Misalkan = 2 + 1 →
= ln + 7 = ln( 2 + 1 ) + 7 ∫ + 1 ∫ 2
Soal0Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
13.6. Integral Fungsi Eksponensial:
Karena =
maka
Soal0Soal:
13.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :
Karena = ln
maka
ln Contoh: Carilah
Misalkan = 2 →
2 2 ln 3 163
13.8. Integral Fungsi Trigonometri
Karena sin = cos
maka cos
= sin + 7 ∫
Karena cos = − sin
maka sin
= − cos + 7 ∫
Relasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel*13.1.
Contoh: Carilah integral tak tentu
= sin 2 ∫
Soal0Soal : Carilah integral tak tentu berikut ini.
sin 4 ; cos( 2 + 2 ) ; 4 cos 3 ∫ . ∫ ∫
2 2 sin cos ; sin cos
2 sin 2 ; cos ∫ ∫
∫ ∫ 2 − cos 2
2 sin cos 2 sin ;
13.9. Integral Fungsi Hiperbolik
Karena (sinh ) = cosh maka cosh
= sinh + 7 ∫
Karena (cosh ) = sinh maka sinh
= cosh + 7 ∫
Relasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel*13.1.
Contoh: Carilah
= cosh( 2 + 1 )
Misalkan
cosh( ) = sinh + ∫ 7
cosh( 2 + 1 ) =
= sinh( 2 + 1 ) + 7
164 Sudaryatno Sudirham,
Soal0Soal: Carilah integral berikut sinh
∫ sinh ; ∫ tanh ; cosh ∫ 2 2 ; ; tanh 2 ∫ cosh 4 ∫
13.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi
Integral fungsi*fungsi yang berbentuk ,
∫ dan setrusnya mulai nomer 20 sampai 31,
2 −1 menghasilkan fungsi*fungsi trigonometri inversi.
Contoh: Carilah =
Jika kita membuat pemisalan = 1 − 4 2 maka = − 8 atau
= . Kalau pemisalan ini kita masukkan dalam persoalan − 8
integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk
− 8 yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter*transformasi menjadi integral dalam peubah .
Namun bentuk
∫ ini dapat kita transformasi menjadi bentuk
yang termuat dalam Tabel*13.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan = 2 yang akan memberikan
= atau 2 =
. Persoalan integral kita
2 menjadi = 1 = =
yang menghasilkan
sin
+ 7 = sin − 1 ( 2 ) + 7
Soal0Soal: Carilah integral tak tentu berikut ini.
13.11. Relasi Diferensial dan Integral
Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.
Tabel*13.1.
+ - ∫ ; ≠1
5. (ln ) =
5. = ln + 7 ∫
8. (sin ) = cos
= sin + 7 ∫
8. cos
9. (cos ) = − sin
= − cos + 7 ∫
9. sin
10. (tan ) = sec 2 10. sec 2 = tan + 7 ∫
11. (cot ) = − csc 2 11. csc 2 = − cot + 7 ∫
12. (sec ) = sec tan
= sec + 7 ∫
12. sec tan
13. (csc ) = − csc cot
= − csc + 7 ∫
13. csc cot
= sinh + 7 ∫
14. (sinh ) = cosh 14. cosh
15. (cosh ) = sinh
= cosh + 7 ∫
15. sinh
16. (tanh ) = sec h 2 16. sec h 2 = tanh + 7 ∫
166 Sudaryatno Sudirham,
17. (coth ) = − csc h 2 17. csc h 2 = − coth + 7 ∫
18. ( sech ) = − sec h tanh
= − sech + 7 ∫
18. sec h tanh
19. ( csch ) = − csc h coth
= − cosh + 7 ∫
19. csch coth
20. (sin )
20. = sin
21. cos (cos 1 ) = 21. = − + 7 ′
22. tan − 1 =
2 22. 2 = tan − 1 + 7 1 + ∫ 1 +
23. cot − 1 =
2 23. 2 = − cot − 1 + 7 1 + ∫ 1 +
= − csc + 7 , >0 − 1 2 − 1
26. − (sinh 1 ) =
= sinh + 7
28. 2 = tanh − 1 + 7 ; jika | |<1
29. (coth − 1 ) =
29. 2 = coth − 2 1 + ; 7 jika | |>1
30. (sec h − 1 ) =
30. = − sec h − 1 + 7 ;
− 1 31. − (csc h ) =
31. = − csc h − 1 + 7 ;
Catatan Tentang Isi Tabel013.1.
Dengan menggunakan relasi*relasi dalam Tabel*13.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi*fungsi mencakup:
Fungsi mononom dan polinom:
Fungsi polinom berpangkat:
Fungsi exponensial:
Fungsi trigonometri:
; sec 2 ; csc 2 ∫ ; ∫ ∫ ∫
tetapi tidak: tan
; cot
; sec ; csc
Fungsi hiperbolik:
sec h 2 ∫ ; ∫ ∫
cosh
sinh ;
csc h 2 ; sec h tanh
; csch coth
tetapi tidak: tanh
; sec h ; csc h ∫ . ∫ ∫ ∫
; coth
Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti
sin −1
; sinh tan −1 ; tanh −1
Tabel*13.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi*fungsi aljabar yang berbentuk
2 − 2 ; dsb ∫ 2
168 Sudaryatno Sudirham,