i Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka dapat dirumuskan
beberapa permasalahan yang akan diselesaikan, yaitu sebagai berikut: 1.
Bagaimana cara mendapatkan indeks bias negatif pada suatu material 2.
Bagaimana teori bentuk bahan yang memiliki indeks bias negatif. 3.
Bagaimana proses penjalaran gelombang elektromagnetik pada metamaterial
1.3. Batasan Masalah
Mengingat keterbatasan waktu dan untuk menghindari topik yang tidak perlu maka penulis membatasi pembahasan. Adapun permasalahan ini dibatasi pada:
1. Refraksi ini hanya untuk gelombang elektromagnetik.
2. Pembahasan teoritis di medium udara.
3. Penggunaan konstanta dielektrik dan permeabilitas magnetik yang bernilai negatif.
1.4. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah: 1.
Untuk memperkenalkan teori gejala material yang memiliki indeks bias negatif. 2.
Untuk memperkenalkan teori tentang refraksi pada suatu material yang memiliki indeks bias negatif.
1.5. Manfaat Penelitian
Keberhasilan dalam penelitian ini dapat memberikan berbagai manfaat di kehidupan bermasyarakat, diantaranya:
1. Meningkatkan pengetahuan mengenai material indeks bias negatif.
2. Memberikan pandangan teknologi invisible cloaking yang dapat digunakan dalam
kehidupan. 3.
Memberikan sumbangan ide atau gagasan untuk perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi IPTEK
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Gelombang Elektromagnetik GEM
2.1.1. Definisi GEM
Gelombang Elektromagnetik GEM adalah gelombang yang tidak membutuhkan medium untuk perambatannya, dimana gelombang tersebut tersusun
atas medan magnet dan medan listrik. Contoh Gelombang elektromagnetik diantaranya adalah cahaya, sinar-x, gelombang radio dan signal televisi. Nicolaide,
Andrei. 2012. Gelombang elektromagnetik tidak lepas dari hipotesis Maxwell yang mengacu pada
hubungan kemagnetan dan kelistrikan sesuai dengan beberapa percobaan berikut : a.
Oersted melakukan percobaan yang berhasil membuktikan bahwa arus listrik menghasilkan medan magnet. Bila jarum kompas diletakkan dekat dengan
kawat yang dialiri arus listrik, maka jarum kompas tersebut akan menyimpang. Jarum kompas ternyata dibelokkan oleh medan magnet.
b. Faraday melakukan percobaan mengenai perubahan fluks magnet pada
kumparan yang dapat menimbulkan arus induksi, kemudian arus induksi tersebut menghasilkan medan listrik.
Mengacu kepada dua percobaan ini, Maxwell membuat suatu hipotesa baru dari pernyataan Faraday b
ahwa “Perubahan fluks magnetik dapat menimbulkan medan listrik” maka Maxwell mengatakan “Jika perubahan fluks magnet dapat menimbulkan
medan listrik maka perubahan fluks listrik juga dapat menimbulkan medan magnet”.
Hipotesa yang dikemukakan Maxwell ini dikenal dengan sifat simetri medan listrik dengan medan magnet Foster. 2007
Jika hipotesis Maxwell benar, maka perubahan medan listrik yang terjadi akan mengakibatkan perubahan medan magnet serta sebaliknya dan keadaan ini terus akan
berulang. Medan magnet H dan medan listrik E muncul akibat perubahan medan listrik atau medan magnet sebelumnya akan merambat menjauhi tempat awal
kejadian. Perambatan medan magnet dan medan listrik ini dikenal dengan gelombang elektromagnetik seperti ditunjukkan pada gambar 2.1 di bawah ini :
i Gambar 2.1 Kuat medan listrik E dan kuat medan magnet H saling tegak lurus
pada gelombang elektromagnetik
sumber Giancoli. 2001
2.1.2 Karakteristik Gelombang Elektromagnetik
Gelombang elektromagnetik memiliki sifat sebagai berikut : a.
Dapat merambat tanpa medium dengan kecepatan sebesar c = 3 x 10
8
ms. b.
Merambat kesegala arah dengan kecepatan yang sama. c.
Arah getar dan arah rambatnya saling tegak lurus yang merupakan gelombang transversal.
d. Lintasannya lurus gerak lurus, tidak dibelokkan dalam medan listrik maupun
medan magnet. e.
Dapat mengalami refleksi, refraksi, interferensi, polarisasi dan difraksi.
2.1.3. Spektrum Gelombang Elektromagnetik
Spektrum Gelombang elektromagnetik diklasifikasi berdasarkan panjang gelombang dan besarnya frekuensi gelombang elektromagnetik. Pada gambar 2.2
menunjukkan bahwa spektrum gelombang dari gelombang elektromagnetik sebagau berikut Soetrisno. 1979 :
1. Gelombang Radio
Gelombang Radio yang sering disebut frekuensi radio, memiliki daerah frekuensi dari beberapa Hz sampai 10
9
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 10
-3
m sampai 10
3
m. 2.
Gelombang Mikro H
H
Gelombang mikro sering disebut
microwaves
, memiliki daerah frekuensi dari 10
9
Hz sampai 3 x 10
11
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 1 mm sampai 30 cm.
Gambar 2.2 Klasifikasi Gelombang Elektromagnetik
sumber Sugiyarni, Anik. 2010
3. Sinar Infra Merah
Gelombang ini memiliki daerah frekuensi dari 3 x 10
11
sampai 4 x 10
14
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 7,8 x 10
-7
m sampai 10
-3
m. 4.
Cahaya Tampak Cahaya tampak terdiri dari spektrum warna merah, jingga, kuning, hijau, biru,
nila dan ungu. Warna merah memiliki panjang gelombang terbesar dan frekuensi terkecil. Cahaya tampak memiliki daerah frekuensi dari 4 x 10
14
Hz sampai 10
15
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 7800 ̇
sampai 3900 ̇.
5. Sinar Ultraviolet UV
i Sinar UV memiliki daerah frekuensi dari 8 x 10
14
Hz sampai 3 x 10
17
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 6
̇ sampai 3000 ̇. Matahari merupkan sumber pancaran sinar UV yang paling kuat.
6. Sinar X
Sinar X memiliki daerah frekuensi dari 10
16
Hz sampai 10
20
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 0,06
̇ sampai 10 ̇. 7.
Sinar Gamma Sinar Gamma memiliki daerah frekuensi dari 10
20
– 10
25
Hz, dengan kata lain memiliki panjang gelombang dari 10
-4
̇ sampai 1 ̇. Sinar Gamma memiliki frekuensi yang paling besar dan daya tembus yang besar.
2.1.4 Persamaan Maxwell
Maxwell memberikan persamaan untuk Gelombang Elektromagnetik sebagai berikut :
⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
Apabila persamaan Maxwell diatas digunakan untuk ruang hampa maka akan didapat kecepatan cahaya. Karena di ruang hampa tidak ada muatan dan arus maka persamaan
Maxwell dapat dituliskan sebagai : ⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
Dari persamaan 2.7 diperoleh persamaan ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗
Lalu dengan mensubstitusikan persamaan 2.8 ke dalam persamaan 2.9 diperoleh ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗
Menurut identitas vektor bahwa ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
⃗ Oleh karena itu persamaan 2.10 menjadi
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗ Karena
, maka persamaan 2.11 menjadi ⃗
⃗ Persamaan ini merupakan persamaan gelombang medan listrik 3 dimensi yang
merambat dengan kecepatan fase √
2.2. Refleksi dan Refraksi
2.2.1. Hukum Snellius
Pada tahun 1650, Pierre de Fermat, menyatakan bahwa “sinar datang dari suatu titik A menuju cermin dan dipantulkan ke titik B akan menempuh satu lintasan
tertentu yang jaraknya terpendek atau waktu tempuhnya tersingkat“. Dari prinsip ini lahirlah hukum Snellius tentang pemantulan cahaya sebagai berikut :
1. Sinar datang, sinar pantul, dan garis normal terletak pada satu bidang datar
yang dinamakan bidang pantul. 2.
Sudut datang dan sudut pantul ‟ sama besarnya, atau = ‟.
Hukum Snellius ini dapat dibuktikan dengan metode kalkulus variasi. Pada Gambar 2.3 diketahui bahwa :
I
1
= √
2.13 I
2
= √
2.14 I = I
1
+ I
2
2.15
i Gambar 2.3 Pemantulan pada Cermin Datar
Sumber Smirnov, Yu. G., 2007
Substitusi persamaan 2.13 dan 2.14 ke dalam persamaan 2.15 maka akan didapat bahwa
I = √
+ √
2.16 Menurut Prinsip Fermat nilai I harus minimum, dan dalam metode variasi fungsi
minimum didapat dari turunan pertama yang bernilai sama dengan nol, maka Persamaan 2.16 menjadi :
√ √
√ √
√ √
Sin = Sin ‟
= ‟ 2.18
Hal ini sesuai dengan Hukum Snellius bahwa sudut datang sama dengan sudut pantul. Selanjutnya Refraksi atau pembiasan terjadi karena GEM memasuki medium
yang berbeda. Apabila sinar datang dari medium yang kurang rapat menuju medium yang rapat, maka sinar akan dibiaskan mendekati garis normal dan apabila sinar
datang dari medium rapat ke medium kurang rapat sinar akan dibiaskan menjauhi garis normal. Persamaan Snellius mengenai refraksi pembiasan sebagai berikut :
2.19 n
1
n
2
n
1
n
2
Gambar 2.4 Pembiasan Cahaya
Sumber:Sugiyarni, Anik.2010
2.2.2. Jenis-Jenis Refleksi
Refleksi atau pemantulan ada dua jenis yaitu a.
Pemantulan baur difus Terjadi jika cahaya jatuh pada benda yang permukaannya tidak ratakasar.
Cahaya akan dipantulkan ke segala arah tak tentu b. Pemantulan teratur
Terjadi jika cahaya jatuh ke benda yang permukaannya ratahalus. Cahaya akan dipantulkan teratur ke arah tertentu
2.2.3. Jenis-Jenis Refraksi
Jenis Refraksi atau pembiasan terdiri atas : a.
Refraksi ganda Refraksi Ganda atau
birefringence
atau
double refraction
adalah dekomposisi
sinar cahaya
menjadi dua sinar
cahaya yang disebut
ordinary ray
dan
extraordinary ray
. Refraksi ganda terjadi pada saat gelombang
cahaya melalui
medium material anisotropik
seperti kristal kalsit atau Boron nitrat. Jika material tersebut mempunyai
sumbu optis atau
sumbu anisotropik
tunggal, maka pembiasan yang terjadi disebut
uniaxial
i
birefringence
dengan 2 buah indeks bias
material anisotropik , masing-
masing untuk 2 buah arah polarisasi
dengan intensitas
menurut persamaan: 2.20
dengan
n
o
dan
n
e
adalah indeks bias
untuk polarisasi tegak lurus
ordinary ray
dan polarisasi paralel
extraordinary ray
terhadap sumbu anisotropik
. Refraksi ganda juga dapat terjadi dengan
sumbu anisotropik ganda
yang disebut
biaxial birefringence
atau
trirefringence
, seperti yang terjadi pada pembiasan
sinar cahaya
pada material anisotropik
layaknya kristal
atau berlian
. Untuk material semacam ini, tensor indeks bias
n, secara umum memiliki tiga
eigenvalues yang berbeda, yaitu
n
,
n
and
n
.
b. Refraksi Gradien
Refraksi gradien adalah refraksi yang terjadi pada medium
dengan indeks
bias gradien. Pada umumnya,
indeks bias gradien terjadi karena
peningkatan kepadatan medium
yang menyebabkan peningkatan indeks
bias secara tidak linear, seperti pada
kaca , sehingga
cahaya yang merambat
melaluinya dapat mempunyai jarak tempuh yang melingkar dan terfokus. Indeks bias
gradien juga terjadi apabila cahaya
yang merambat melalui medium
dengan indeks bias
konstan, mempunyai intensitas
yang sangat tinggi akibat kuatnya
medan listrik , seperti pada
sinar laser
, sehingga menyebabkan
indeks bias medium bervariasi sepanjang jarak tempuh
sinar tersebut. Jika
indeks bias berbanding kuadrat dengan
medan listrik
berbanding linear dengan intensitas
, akan terjadi fenomena
self- focusing
dan
self-phase modulation
yang disebut efek optis Kerr
. Fenomena refraksi gradien dengan
indeks bias berbanding linear dengan
medan listrik yang terjadi pada
medium yang tidak mempunyai
inversion symmetry
disebut efek Pockels
. c.
Refraksi Negatif Refraksi negatif adalah refraksi yang terjadi seolah-olah
sinar cahaya
insiden dipantulkan oleh sumbu normal antarmuka
dua medium
pada sudut refraksi yang secara umum tunduk pada
hukum Snellius , namun bernilai
negatif.
Refraksi negatif terjadi pada pembiasan antarmuka
antara medium
yang mempunyai indeks bias
positif dengan medium
material meta yang
mempunyai indeks bias
negatif oleh desain koefisien
permitivitas medan
listrik dan
permeabilitas medan magnet
tertentu menurut persamaan: √
2.21 Untuk kebanyakan
material , besaran
permeabilitas sangat dekat dengan
nilai 1 pada frekuensi optis
, sehingga nilai
n
disederhanakan dengan pendekatan
permitivitas :
√ . Menurut persamaan ini, maka indeks bias
dapat bernilai negatif, misalnya seperti pada sinar x
.
2.3. Metamaterial
Metamaterial adalah suatu material buatan yang memiliki nilai indeks bias negatif, sehingga dapat memanipulasi gelombang yang melewati material tersebut.
Selama delapan tahun terakhir, metamaterial telah menunjukkan potensi yang luar biasa dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Ledakan minat metamaterial karena
secara dramatis meningkatkan kemampuan manipulasi atas cahaya serta gelombang suara yang tidak tersedia di alam. Konsep inti metamaterial adalah untuk
menggantikan molekul dengan struktur buatan manusia, dipandang sebagai atom buatan pada skala yang lebih kecil dari panjang gelombang yang relevan. Dengan
cara ini, metamaterial dapat digambarkan dengan menggunakan sejumlah kecil parameter yang efektif. Veselago. 1968
Semua berawal dari sebuah
paper
artikel ilmiah yang ditulis ilmuwan asal Rusia bernama Victor Veselago pada tahun 1968. Dalam tulisannya Veselago secara
teoretik menjelaskan sebuah konsep, “Apa yang terjadi jika kita mempunyai sebuah material yang mempunyai indeks bias yang bernilai negatif?” Secara teori, nilai
negatif indeks bias bisa didapat jika kita mempunyai material dengan konstanta dielektrik konstanta yang mengukur derajat polarisasi muatan listrik bila sebuah
material dimasukkan medan listrik dan permeabilitas magnetik konstanta yang mengukur derajat magnetisasi sebuah benda bila di celupkan di medan magnet yang
secara bersamaan bernilai negatif. Banyak spekulasi yang disampaikan Veselago di tulisan tersebut yang bertentangan dengan konsep-konsep dasar fisika. Beberapa
ilmuwan menganggap tulisan Veselago hanya isapan jempol, secara teori mungkin
i bisa diterima, tapi apakah material tersebut benar tersedia di alam ? Orang-orang pun
melupakan artikel ilmiah Veselago tersebut. Tetapi 30 tahun setelah Veselago, pada 1998, seorang fisikawan teori asal Inggris bernama John Pendry menawarkan sebuah
konsep material yang mempunyai indeks bias negatif denganmemodifikasi struktur material tersebut. Pendry menawarkan kombinasi kawat logam dan struktur
split ring
untuk membuat metamaterial. Penggunaan kawat logam adalah untuk membuat konstanta dielektriknya menjadi negatif sedangkan
split ring
resonator untuk membuat permeabilitas yang bernilai negatif.
Di tahun 2000, David Smith dari University of California, San Diego, untuk pertama kalinya berhasil melakukan eksperimen membuat metamaterial berdasarkan
teori yang diajukan oleh Pendry. Metamaterial ini bekerja di zona gelombang mikro, yaitu gelombang elektromagnetik yang panjang gelombangnya berkisar antara 1 meter
sampai 1 milimeter. Saat ini, sudah 11 tahun sejak ekperimen pertama tentang metamaterial, beberapa struktur pun ditawarkan untuk mendapatkan sifat yang
menarik di cahaya tampak. Li, Zhaofeng. 2009
2.3.1. Teori dasar
Perambatan gelombang elektromagnetik bisa dijelaskan dari hukum Maxwell. Hubungan dispersi antara frekuensi
dan bilangan gelombang
k
dapat dituliskan sebagai berikut,
n
adalah indeks bias, ε adalah konstanta dielektrik, dan μ adalah permeabilitas
magnetik. Dari persamaan tersebut, konstanta dielektrik
ε dan permeabilitas magnetik μ secara bersamaan harus bernilai posistif semua atau negatif semua. Untuk material
yang ada di alam, nilai ε dan μ bernilai positif semua. Sedangkan metamaterial
mempunyai ε dan μ yg bernilai negatif. Dengan demikian, pembiasan pada
metamaterial berlawanan dengan arah pembiasan pada material biasa. Veselago, Viktor. 2006
2.3.2. Aplikasi Metamaterial.
Gambar 2.5 Skema cara kerja
Perfect Lens sumber Vioktalamo, Aunuddin S. 2011
Jika kita punya lapisan tipis yang mempunyai indeks bias negatif, melalui sifat pembiasannya, penjalaran gelombang dari sumber sampai membentuk bayangan bisa
diterangkan melalui gambar berikut. Pemfokusan sinar dengan menggunakan konsep ini mempunyai keunggulan disbanding pemfokusan dengan menggunakan lensa-lensa
konvensional lensa biasa. Lensa konvensional mempunyai keterbatasan yaitu tidak bisa memfokuskan melebihi 0.6λ, dimana λ adalah panjang gelombang cahaya yang
melalui lensa. Keterbatasan resolusi ini dikenal sebagai
Rayleigh limit
. Dengan menggunakan metamaterial kita bisa memfokuskan lebih detail tanpa
batasan tersebut. Sebagai ilustrasi, perekaman data di DVD biasa menggunakan laser hanya sanggup menyimpan 1 film sekitar 4 GB. Jika kita menggunakan
perfect lens
, kita bisa menyimpan sampai 1000 film dalam 1 DVD.
i Gambar 2.6 Cahaya diteruskan melalui permukaan metamaterial
sumber Vioktalamo, Aunuddin S. 2011
Dalam film Harry Potter, kita bisa melihat Harry bisa menghilang ketika menggunakan sebuah jubah yang diberikan Dumbledore. Jubah itu sebenarnya
kepunyaan ayah Harry. Bukan asal-usul jubah itu yang akan dibahas, tapi dari sudut pandang fisika apakah mungkin kita bisa membuat jubah yang membuat orang bisa
tampak menghilang? Jawabannya, “IYA”, jika kita bisa melokalisasi resonansi medan listrik dan magnetik dengan menggunakan metamaterial. Eksperimen ini sudah
dilakukan dengan gelombang mikro pada tahun 2006. Saat ini ilmuwan sedang menyiapkan desain untuk
invisible cloaking
di rentang cahaya tampak. Vioktalamo, Aunuddin S. 2011.
2.4. Komputasi dengan Matlab
2.4.1. Inisialisasi variable
Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak
menggunakan variabel dalam proses perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan. Misalnya kita ingin mengalikan 2
dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu menekan tombol
angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan
memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi dengan angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain
yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A B; maka pada layar monitor akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil
perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketiikan C = A B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan disimpan dalam variable C.
Script
matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut A = 2;
B = 3; C = A B
Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m
adalah massa, a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka,
script
matlab dapat ditulis seperti berikut ini
massa = 2; percepatan = 3;
gaya = massa percepatan Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal
ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda
underscore
. Misalnya besar_arus = 2;
beda_potensial = 3; nilai_hambatan = beda_potensial besar_arus
Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan
tunjukkan perbedaan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini.
2.4.2. Perhitungan yang Berulang
Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variable t akan diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan t = 0:10;
i Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai
akhir.
Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan
t = 0:2:10; Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-
angka yg muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik, maka yang perlu anda lakukan adalah
t = 10:-2:0; sehingga angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Ada kalanya proses
perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya t = -10:3:4;
maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2.
Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang.
Sebagai contoh, kita inginmensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 mdt
2
. Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut
v = vo + at 2.23
Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan
tersebut setiap satu detik, yaitu pada t = 1
v1 = 0 + 21 = 2 mdt pada t = 2
v2 = 0 + 22 = 4 mdt pada t = 3
v3 = 0 + 23 = 6 mdt pada t = 4
v4 = 0 + 24 = 8 mdt pada t = 5
v5 = 0 + 25 = 10 mdt Script matlab untuk tujuan di atas adalah
a = 2; t = 1:5;
vo = 0; v = vo + a t
Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut s = vot + 12 a t.2 1.2
Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi
1 a = 2; 2 t = 1:5;
3 vo = 0; 4 s = vo t + 12 a t.2
Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda titikpada t.ˆ2. Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang
tersimpan pada variabel t harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis tˆ2, maka script tersebut tidak akan bekerja.
2.4.3. Mengenal Cara Membuat Grafik
Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar
data perubahan kecepatan mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script dibawah ini
1 a = 2; 2 t = 1:5;
3 vo = 0; 4 v = vo + a t
5 plott,v,‟o‟ Jika script tersebut di-
run
, akan muncul gambar 2.7. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan
1 a = 2; 2 t = 1:5;
3 vo = 0; 4 v = vo + a t;
i 5 plott,v,‟o‟;
6 xlabel‟Waktu dt‟; 7 ylabel‟Kecepatan mdt‟
8 title‟Data Kecepatan vs Waktu‟
Gambar 2.7 Data Perubahan Kecepatan terhadap Waktu
Gambar 2.8 Data Perubahan Kecepatan terhadap Waktu
2.4.4 Baris-Baris Pembuka
Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya
menyarankan agar sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab,
adalah dengan menuliskan perintah
clear
. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan
menuliskan perintah
close
. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintah
clc
. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya,
1 clear 2 close
3 clc 4
5 a = 2; 6 t = 1:5;
7 vo = 0; 8 v = vo + a t;
9 plott,v,‟o‟; 10 xlabel‟Waktu dt‟;
11 ylabel‟Kecepatan mdt‟ 12 title‟Data Kecepatan vs Waktu‟
2.4.5 Membuat 2 Grafik dalam Satu Gambar
Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan y = A sin 2
πft + θ dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu;
θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol,
maka script untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah 1 clc
2 clear 3 close
i 4
5 A = 1; amplitudo 6 f = 5; frekuensi
7 theta = 0; sudut fase gelombang 8 t = 0:0.001:1; t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001
9 y = A sin2pift + theta; persamaan gelombang 10
11 plott,y menggambar grafik persamaan gelombang
Grafik di atas muncul karena ada fungsi
plott,y
yang diletakkan dibaris paling akhir pada script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari
sumbu-x dan sumbu-y serta memberikan judul grafik
Gambar 2.9 Grafik Gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 clc
2 clear 3 close
4 5 A = 1; amplitudo
6 f = 5; frekuensi 7 theta = 0; sudut fase gelombang
8 t = 0:0.001:1; t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 9 y = A sin2pift + theta; persamaan gelombang
10 11 plott,y menggambar grafik persamaan gelombang
12 xlabel‟Waktu, t detik‟; melabel sumbu-x 13 ylabel‟Amplitudo‟; melabel sumbu-y
14 title‟Gelombang berfrekuensi 5 Hz‟; judul grafik
Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata
fontsize14
pada
title
, contohnya
title‟\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz‟; judul grafik
Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan 1 clc
2 clear 3 close
4 5 t = 0:0.001:1; t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001
6 7 A1 = 1; amplitudo gelombang 1
8 f1 = 5; frekuensi gelombang 1 9 theta1 = 0; sudut fase gelombang 1
10 y1 = A1 sin2pif1t + theta1; persamaan gelombang 1 11
12 A2 = 1; amplitudo gelombang 2 13 f2 = 3; frekuensi gelombang 2
14 theta2 = pi4; sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 sin2pif2t + theta2; persamaan gelombang 2
16 17 figure
i Gambar 2.10 Grafik yang Dilengkapi dengan Keterangan Sumbu-x dan Sumbu-y serta
Judul
Gambar 2.11 Grafik yang Dilengkapi dengan Font Judul 14pt
18 19 subplot2,1,1
20 plott,y1 menggambar grafik persamaan gelombang 1 21 xlabel‟Waktu, t detik‟;
22 ylabel‟Amplitudo‟;
23 title‟\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz‟; 24
25 subplot2,1,2 26 plott,y2 menggambar grafik persamaan gelombang 2
27 xlabel‟Waktu, t detik‟; 28 ylabel‟Amplitudo‟;
29 title‟\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi4‟;
Gambar 2.12 Dua Buah Grafik dalam Sebuah Gambar
Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script berikut ini bisa digunakan
1 clc 2 clear
3 close 4
5 t = 0:0.001:1; t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 6
7 A1 = 1; amplitudo gelombang 1 8 f1 = 5; frekuensi gelombang 1
9 theta1 = 0; sudut fase gelombang 1 10 y1 = A1 sin2pif1t + theta1; persamaan gelombang 1
i 11
12 A2 = 1; amplitudo gelombang 2 13 f2 = 3; frekuensi gelombang 2
14 theta2 = pi4; sudut fase gelombang 2 15 y2 = A2 sin2pif2t + theta2; persamaan gelombang 2
16 17 y3 = y1 + y2; superposisi gelombang
18 19 figure
20 21 subplot3,1,1
22 plott,y1 menggambar grafik persamaan gelombang 1 23 xlabel‟Waktu, t detik‟;
24 ylabel‟Amplitudo‟;
25 title‟\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz‟;
26 27 subplot3,1,2
28 plott,y2 menggambar grafik persamaan gelombang 2 29 xlabel‟Waktu, t detik‟;
30 ylabel‟Amplitudo‟; 31 title‟\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi4‟;
32 33 subplot3,1,3
34 plott,y3 menggambar grafik superposisi gelombang 35 xlabel‟Waktu, t detik‟;
36 ylabel‟Amplitudo‟;
37 title‟\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz‟;
Gambar 2.13 Tiga buah Grafik dalam Sebuah Gambar
2.4.6. Metode
Finite Difference
Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:
atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap
dan . Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu
dimana dan membagi interval dengan , hasilnya dinamakan
Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara dan dapat
dinyatakan sebagai
Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi
dan pada dan
seperti berikut ini
i dan
Jika kedua persamaan ini dijumlahkan
Dari sini dapat ditentukan
Dengan cara yang sama dapat dicari sebagai berikut
Selanjutnya persamaan 2.30 dan 2.31 disubstitusikan ke persamaan 2.25 maka
Sebelum dilanjut, nyatakan bahwa dan
serta . Maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
dimana sampai N, karena yang ingin kita cari adalah
. Sementara, satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu
dan biasanya selalu sudah
diketahui. Pada persamaan 2.24, jelas-jelas sudah diketahui bahwa dan
; keduanya dikenal sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas ini juga sering disebut sebagai Masalah
Syarat Batas atau Boundary Value Problem.
Sampai disini, akan mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai bentuk operasi matrik
2.33
dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N
[ ]
Sedangkan vector w dan b adalah
[ ]
[ ]
Dalam hal ini vektor w dapat dicari dengan mudah, yaitu
2.34 Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh berikut; diketahui persamaan diferensial
dinyatakan sebagai
Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi interval
menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan , sehingga spasi
diperoleh
Dari persamaan diferensial tersebut, kita dapat menentukan fungsi
p
, fungsi
q
dan fungsi
r
sebagai berikut: A=
i Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Isi script fungsi
p
yang disimpan dengan nama file
p.m
:
1 function u = px 2
3 u = -2x; lalu inilah script fungsi
q
yang disimpan dengan nama file
q.m
: 1 function u = qx
2 u = 2.x.2; kemudian ini script fungsi
r
yang disimpan dengan nama file
r.m
:: 1 function u = rx
2 3 u = sinlogx.x.2;
dan terakhir, inilah script utamanya: 1 PROGRAM - Aplikasi Metode Finite Difference FD
2 Hasil FD dibandingkan dengan hasil solusi analitik 3 yang ditampilkan dalam bentuk grafik
4 5 Dibuat oleh : Supriyanto, 10 Desember 2012
6 7 clc;clear;close
8 ============= MENENTUKAN SYARAT BATAS================ 9 a = 1; b = 2;
10 alpha = 1; beta = 2; 11 N = 9;
12 h = b-aN+1; 13 for k = 1:N
14 xk = a + kh; 15 end
16 ============== MEMBUAT MATRIKS A ==================== 17 A = zerosN;
18 for k = 1:N 19 Ak,k = 2 + h2qxk;
20 end 21
22 for k = 2:N 23 Ak-1,k = -1 + h2 pxk-1;
24 Ak,k-1 = -1 - h2 pxk; 25 end
26 ============== MEMBUAT VEKTOR b ====================== 27 b1,1 = -h2rx1 + 1+h2px1alpha;
28 for k = 2:N-1 29 bk,1 = -h2rxk;
30 end 31 bN,1 = -h2rxN + 1-h2pxNbeta;
32 ============== MENGHITUNG w ========================== 33 w = invA b;
34 ============ MEMPLOT HASIL FINITE DIFFERENCE ========= 35 plotx,w,‟b‟
36 xlabel‟nilai x‟;
37 hold on 38 ========= MEMPLOT HASIL SOLUSI ANALITIK ===============
39 h = 0.1; 40 x = 1:h:2;
41 y = sol_analitikx; 42 plotx,y,‟sr‟;
43 ylabel‟nilai y‟; 44 title‟\fontsize{14} Kesesuaian Antara Solusi FD dan Solusi Analitik‟;
i Dalam script di atas, hasil perhitungan metode FD tersimpan pada baris 33 dan di-plot
pada baris 35. Disisi lain, solusi analitik dari persamaan diferensial
adalah
dengan
dan
Pada script di atas, solusi analitik akan didapat pada baris 41, dimana sol_analitik adalah fungsi eksternal untuk menyimpan persamaan solusi analitik di atas.
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode FD
dan hasil perhitungan dari solusi exact , dilengkapi dengan selisih antara
keduanya dengan kesalahan error berada pada orde 10
−5
. Untuk memperkecil orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde
tinggi. Akan tetapi proses kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas lebih kompleks dibandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor
yang sekarang. Suparno, Supriyanto. 2013
Gambar 2.14 Solusi FD dan Solusi Analitik
Tabel 2.1 Hasil perhitungan dan
.
i
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Flowchart
Adapun alur penelitian diberikan dalam bentuk flowchart sebagai berikut :
Gambar 3.1. Flowchart Penelitian End
Metamaterial
E, B, D, H Maxwell
, , n
Bentuk Metamaterial
Matlab
Perambatan Gelombang
Start
C, L
Kirchoff FDTD
Keterangan : Pada gambar 3.1. flowchart Penelitian di mulai dengan start kemudian Metamaterial
dikaji melalui persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell akan menghasilkan persamaan gelombang elektromagnetik yaitu Medan Listrik, Medan Magnet, Densitas
Medan Magnet dan Densitas Medan Listrik. Selanjutnya dengan mencari persamaan umum akan di dapat solusi umum yang akan menghasilkan nilai permitivitas dan
permeabilitas yang kemudian dihubungkan dengan indeks bias. Setelah itu persamaan ini dikaji dalam dua bagian besar, yang pertama dengan diselesaikan dalam bentuk
rangkaian LC secara hukum Kirchoff untuk mendapatkan bentuk bahan metamaterial. Kedua dengan mengubah persamaan ke dalam bentuk FDTD yang selanjutnya
diselesaikan dengan program Matlab akan menghasilkan simulasi perambatan Gelombang Elektromagnetik. Kemudian ditarik kesimpulan dan diakhiri dengan end
sebagai akhir penelitian.
i
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Indeks Bias Negatif pada Material