Gambar 2.13 Tiga buah Grafik dalam Sebuah Gambar
2.4.6. Metode
Finite Difference
Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:
atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain
Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap
dan . Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu
dimana dan membagi interval dengan , hasilnya dinamakan
Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara dan dapat
dinyatakan sebagai
Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi
dan pada dan
seperti berikut ini
i dan
Jika kedua persamaan ini dijumlahkan
Dari sini dapat ditentukan
Dengan cara yang sama dapat dicari sebagai berikut
Selanjutnya persamaan 2.30 dan 2.31 disubstitusikan ke persamaan 2.25 maka
Sebelum dilanjut, nyatakan bahwa dan
serta . Maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut
dimana sampai N, karena yang ingin kita cari adalah
. Sementara, satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu
dan biasanya selalu sudah
diketahui. Pada persamaan 2.24, jelas-jelas sudah diketahui bahwa dan
; keduanya dikenal sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas ini juga sering disebut sebagai Masalah
Syarat Batas atau Boundary Value Problem.
Sampai disini, akan mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai bentuk operasi matrik
2.33
dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N
[ ]
Sedangkan vector w dan b adalah
[ ]
[ ]
Dalam hal ini vektor w dapat dicari dengan mudah, yaitu
2.34 Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh berikut; diketahui persamaan diferensial
dinyatakan sebagai
Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi interval
menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan , sehingga spasi
diperoleh
Dari persamaan diferensial tersebut, kita dapat menentukan fungsi
p
, fungsi
q
dan fungsi
r
sebagai berikut: A=
i Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Isi script fungsi
p
yang disimpan dengan nama file
p.m
:
1 function u = px 2
3 u = -2x; lalu inilah script fungsi
q
yang disimpan dengan nama file
q.m
: 1 function u = qx
2 u = 2.x.2; kemudian ini script fungsi
r
yang disimpan dengan nama file
r.m
:: 1 function u = rx
2 3 u = sinlogx.x.2;
dan terakhir, inilah script utamanya: 1 PROGRAM - Aplikasi Metode Finite Difference FD
2 Hasil FD dibandingkan dengan hasil solusi analitik 3 yang ditampilkan dalam bentuk grafik
4 5 Dibuat oleh : Supriyanto, 10 Desember 2012
6 7 clc;clear;close
8 ============= MENENTUKAN SYARAT BATAS================ 9 a = 1; b = 2;
10 alpha = 1; beta = 2; 11 N = 9;
12 h = b-aN+1; 13 for k = 1:N
14 xk = a + kh; 15 end
16 ============== MEMBUAT MATRIKS A ==================== 17 A = zerosN;
18 for k = 1:N 19 Ak,k = 2 + h2qxk;
20 end 21
22 for k = 2:N 23 Ak-1,k = -1 + h2 pxk-1;
24 Ak,k-1 = -1 - h2 pxk; 25 end
26 ============== MEMBUAT VEKTOR b ====================== 27 b1,1 = -h2rx1 + 1+h2px1alpha;
28 for k = 2:N-1 29 bk,1 = -h2rxk;
30 end 31 bN,1 = -h2rxN + 1-h2pxNbeta;
32 ============== MENGHITUNG w ========================== 33 w = invA b;
34 ============ MEMPLOT HASIL FINITE DIFFERENCE ========= 35 plotx,w,‟b‟
36 xlabel‟nilai x‟;
37 hold on 38 ========= MEMPLOT HASIL SOLUSI ANALITIK ===============
39 h = 0.1; 40 x = 1:h:2;
41 y = sol_analitikx; 42 plotx,y,‟sr‟;
43 ylabel‟nilai y‟; 44 title‟\fontsize{14} Kesesuaian Antara Solusi FD dan Solusi Analitik‟;
i Dalam script di atas, hasil perhitungan metode FD tersimpan pada baris 33 dan di-plot
pada baris 35. Disisi lain, solusi analitik dari persamaan diferensial
adalah
dengan
dan
Pada script di atas, solusi analitik akan didapat pada baris 41, dimana sol_analitik adalah fungsi eksternal untuk menyimpan persamaan solusi analitik di atas.
Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode FD
dan hasil perhitungan dari solusi exact , dilengkapi dengan selisih antara
keduanya dengan kesalahan error berada pada orde 10
−5
. Untuk memperkecil orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde
tinggi. Akan tetapi proses kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas lebih kompleks dibandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor
yang sekarang. Suparno, Supriyanto. 2013
Gambar 2.14 Solusi FD dan Solusi Analitik
Tabel 2.1 Hasil perhitungan dan
.
i
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Flowchart
Kategori