1.6 Kontribusi Penelitian
Rantai Markov banyak digunakan dalam pengambilan keputusan. Informasi yang dihasilkan akan menggambarkan tentang keadaan yang akan datang. Dengan melihat
dinamika perubahan dari rantai Markov, diharapkan para pengambil keputusan tidak hanya sekedar tahu hasil akhirnya saja sebagaimana yang dilakukan oleh penyelesaian
klasik rantai Markov tapi juga memahami bagaimana dinamika perubahannya mulai dari komposisi awal sampai dengan komposisi setimbang sebagai komposisi akhir
perubahannya.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
DASAR TEORI
2.1 Probabilitas
Probabilitas mempunyai banyak persamaan seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Probabilitas menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa
yang bersifat acak. Suatu peristiwa disebut acak jika terjadinya peristiwa tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, probabilitas dapat digunakan sebagai alat
ukur terjadinya peristiwa di masa yang akan datang.
Nilai probabilitas yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai probabilitas yang terbesar adalah 1
yang berarti bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai probabilitas suatu peristiwa A adalah :
1 ≤
≤ A
P
2.1.1 Definisi probabilitas
Definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.
A. Pendekatan klasik
Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.
Universitas Sumatera Utara
Dirumuskan : S
n A
n A
P =
2.1 dimana :
A P
= Probabilitas terjadinya peristiwa A A
n = Jumlah peristiwa A
S n
= Jumlah peristiwa yang mungkin.
B. Pendekatan frekuensi relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan sebagai berikut:
1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil.
2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.
Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas
itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut.
Dirumuskan :
n f
x X
P lim
= =
, untuk ∞
→ n
dimana :
x X
P =
= Probabilitas terjadinya terjadinya peristiwa x f
= Frekuensi peristiwa X n
= Banyaknya peristiwa yang bersangkutan
Universitas Sumatera Utara
C. Pendekatan subjektif
Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau peristiwa masa lalu
yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar,
sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Probabilitas tertinggi kemungkinan diterima menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.
2.1.2 Probabilitas beberapa peristiwa
A. Peristiwa saling lepas Mutually Exclusive
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa
A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut :
B P
A P
B A
P +
= ∪
.
Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
C P
B P
A P
C B
A P
+ +
= ∪
∪
Sehingga dapat disimpulkan, untuk k buah peristiwa yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
... ...
3 2
1 3
2 1
k k
E P
E P
E P
E P
E E
E E
P +
+ =
∪ ∪
∪ ∪
Universitas Sumatera Utara
B. Peristiwa tidak saling lepas Non Mutually Exclusive
Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa
A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
B A
P B
P A
P B
A P
∩ −
+ =
∪
Untuk tiga peristiwa A ,B dan C yang tidak saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
C B
A P
C B
P C
A P
B A
P C
P B
P A
P C
B A
P ∩
∩ +
∩ −
∩ −
∩ −
+ +
= ∪
∪
C. Peristiwa saling bebas
Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua
peristiwa A dan peristiwa B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
. B
P A
P B
A P
= ∩
Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling bebas probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
. .
C P
B P
A P
C B
A P
= ∩
∩
D. Peristiwa tidak saling bebas Peristiwa bergantung
Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang
Universitas Sumatera Utara
lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
. A
B P
A P
B A
P =
∩
Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
. B
A C
P A
B P
A P
C B
A P
∩ =
∩ ∩
E. Peristiwa bersyarat
Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
A P
A B
P A
B P
∩ =
F. Peristiwa komplementer
Peristiwa Komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah :
1 =
+ B
P A
P yang juga berarti :
1 B
P A
P −
= 1
A P
B P
− =
Universitas Sumatera Utara
2.2 Matriks
2.2.1 Definisi matriks
Matriks ialah suatu susunan berbentuk empat persegi dari elemen – elemen yang terdiri satu atau beberapa baris dan kolom dibatasi dengan tanda kurung. Suatu
matriks M yang berukuran mxn dapat ditulis :
=
mn m
m n
n
m m
m m
m m
m m
m M
2 1
2 22
21 1
12 11
Dapat disingkat dengan :
ij
m M
=
; i = 1,2,3,...m j = 1,2,3,...n
Setiap
ij
m disebut elemen dari matriks sedang indeks i dan j berturut – turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen
ij
m
menyatakan elemen pada baris ke i dan kolom ke j.
2.2.2 Teorema Matriks
Berikut beberapa teorema dari matriks : a. Jika
ij
a A
=
dan
ij
b B
=
, dan berukuran sama mxn maka
ij ij
b a
B A
+ =
+
b. Jika
ij
a A
=
merupakan matriks berukuran mxn dan k adalah skalar, maka
ij
ka A
k =
.
c. Jika
ij
a A
=
matriks berukuran mxp dan
ij
b B
=
matriks berukuran pxn maka perkalian matriks AxB berlaku apabila sejumlah kolom matriks A sama dengan
Jumlah baris matriks B.
Universitas Sumatera Utara
d. Jika
ij
a A
= dan
ij
b B
= keduanya merupakan matriks berukuran mxn maka :
B A
=
, jika
ij ij
b a
=
untuk semua nilai i dan j B
A ≥ ; jika
ij ij
b a
≥
untuk semua nilai i dan j
B A
; jika
ij ij
b a
untuk semua nilai i dan j. Demikian juga halnya untuk
B A
≤
dan
B A
. e. Matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan
banyaknya kolom.
=
nn n
n n
n
m m
m m
m m
m m
m M
2 1
2 22
21 1
12 11
f. Matriks Identitas
n
I adalah matriks bujur sangkar dimana elemen di sepanjang diagonal utama diagonal kiri atas menuju kanan bawah mempunyai nilai entry
1. Sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol. Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :
= 1
1 1
3
I
g. Matriks Transpos adalah matriks jika baris dan kolom dari suatu matriks mxn dipertukarkan baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya, maka
diperoleh suatu matriks nxm yang disebut transpos. Jika matris M adalah :
=
32 31
22 21
12 11
m m
m m
m m
M
Maka Transpose dari matriks dinotasikan dengan
T
A yaitu :
=
32 22
12 31
21 11
m m
m m
m m
M
T
Universitas Sumatera Utara
2.2.3 Operasi matriks
a. Kesamaan matriks
Duat matriks A dan B dikatakan sama jika kedua matriks identik. Artinya kedua matriks tersebut mempunyai tingkat yang sama dan elemen – elemen yang
berkesesuaian sama. Jadi Matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika
ij ij
b a
=
untuk setiap i dan j.
b. Jumlah dan selisih matriks
Matriks – matriks yang mempunyai ukuran sama dapat diambil jumlah atau selisihnya. Jumlah atau selisih dari dua matriks berukuran mxn yakni matriks A dan B
adalah matriks C dengan ukuran yang sama. Jadi :
C B
A =
±
Dimana setiap elemen dari matriks C adalah :
ij ij
ij
b a
c ±
=
Hal ini dapat diperluas untuk beberapa matriks yang mempunyai ukuran sama. Jadi untuk matriks A, B dan C berlaku :
D C
B A
= ±
±
dimana
ij ij
ij ij
c b
a d
± ±
=
c. Pergandaan matriks dengan skalar
Jika suatu matriks A digandakan dengan skalar k dimana ≠
k ditulis kA maka
suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan skalar k. Jadi
kA B
=
dimana
ij ij
ka b
=
untuk semua i dan j.
Universitas Sumatera Utara
d. Sifat – sifat pokok matriks terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Jika A, B dan C merupakan matriks yang mempunyai dimensi sama serta ,
2 1
≠ k
k ,
maka : a.
A B
B A
+ =
+ ; dinamakan sifat Komutatif
b. C
B A
C B
A +
+ =
+ +
; dinamakan sifat Asosiatif c.
B k
A k
B A
k
2 1
1
+ =
+ ; dinamakan sifat Distributif
d. A
k A
k A
k k
2 1
2 1
+ =
+ e.
2 1
2 1
A k
k A
k k
= f.
A A
= + 0
g. =
− =
− +
A A
A A
h. A
A =
1 dan
= A
i. Terdapat matriks D sedemikian rupa sehingga
B D
A =
+
. Dan dari sifat 4 dan sifat 8 dapat diturunkan bahwa :
A A
A 2
= +
,
A A
A A
3 =
+ +
, dan seterusnya.
e. Pergandaan dua matriks atau lebih.