d. Sifat – sifat pokok matriks terhadap penjumlahan dan perkalian dengan skalar.
Jika A, B dan C merupakan matriks yang mempunyai dimensi sama serta ,
2 1
≠ k
k ,
maka : a.
A B
B A
+ =
+ ; dinamakan sifat Komutatif
b. C
B A
C B
A +
+ =
+ +
; dinamakan sifat Asosiatif c.
B k
A k
B A
k
2 1
1
+ =
+ ; dinamakan sifat Distributif
d. A
k A
k A
k k
2 1
2 1
+ =
+ e.
2 1
2 1
A k
k A
k k
= f.
A A
= + 0
g. =
− =
− +
A A
A A
h. A
A =
1 dan
= A
i. Terdapat matriks D sedemikian rupa sehingga
B D
A =
+
. Dan dari sifat 4 dan sifat 8 dapat diturunkan bahwa :
A A
A 2
= +
,
A A
A A
3 =
+ +
, dan seterusnya.
e. Pergandaan dua matriks atau lebih.
Pergandaan dari dua matriks atau lebih dapat dilakukan jika banyak kolom dari matriks pengali sama dengan banyak baris matriks yang dikali.Degan kata lain hasil
perkalian dari matriks A yang berukuran mxq dan matriks B yang berukuran qxn adalah matriks C yang berukuran mxn dimana elemen – elemen dari matriks C
merupakan jumlah hasil ganda elemen – elemen yang bersesuaian dari matriks A baris ke i dengan kolom j dari matriks B.Jadi elemen matriks C dapat ditulis :
∑
=
= =
q k
kj ik
ij
b a
c C
1
dimana i = 1,2,...m dan j = 1,2,...n
Universitas Sumatera Utara
f. Sifat – sifat pokok pergandaaan matriks.
Andaikan matriks A, B dan C dapat digandakan dan k ≠
k adalah skalar, maka
dapat diturunkan sifat – sifat sebagai berikut :
1. Pada Umumnya
BA AB
≠
2. BC
A C
AB =
, dinamakan sifat Asosiatif 3.
AC AB
C B
A +
= +
, dinamakan sifat Distributif Kiri 4.
CA BA
A C
B +
= +
, dinamakan sifat Distributif Kanan 5.
kB A
B kA
AB k
= =
6.
= AB
, tidak perlu harus
= A
atau
= B
7.
BC AB
=
, tidak perlu harus
C B
=
8.
= A
dan
= B
, 0 adalah matriks nol
2.2.4 Determinan suatu matriks
a. Definisi determinan
Andaikan suatu matriks kuadrat
ij
m M
=
tingkat n yang ditulis lengkap sebagai berikut :
=
nn n
n n
n
m m
m m
m m
m m
m M
2 1
2 22
21 1
12 11
Dan hasil ganda elemen – elemen :
n
nj j
j
m m
m ...
2 1
2 1
Universitas Sumatera Utara
Dari n elemen yang dipilih demikian sehingga terdapat hanya satu elemen dari setiap baris dan sati dari setiap kolom. Untuk mudahnya faktor – faktor
ij
m
dari persamaan di atas, disusun demikian sehingga indeks pertama i mulai dari 1,2,...,n sedang indeks
kedua
n
j j
j ...
,
2 1
merupakan salah satu permutasi dari
n
permutasi. Selanjutnya setiap permutasi dari indeks kedua didefinisikan dengan :
1
...
2 1
+ =
n
j j
j
e
, jika permutasi genap = - 1 , jika permutasi ganjil.
Akhirnya dibentuk hasil ganda :
n n
nj j
j j
j j
m m
m e
...
...
2 1
2 1
2 1
Determinan suatu matriks
ij
m M
=
yang disingkat dengan detM atau
M
adalah jumlah semua hasil ganda dari yang dibentuk dari matriks M. Jadi :
n n
nj j
j j
j j
n
m m
m e
M ...
...
2 1
2 1
2 1
∑
= Dimana perjumlahan ialah
n
j j
j ...
,
2 1
dari bilangan bulat 1,2,...n.
b. Mencari Nilai Determinan Suatu Matriks.
Ada beberapa cara yang diperkenalkan dalam mencari nilai suatu matriks. Untuk matriks yang bertingkat 2 atau tiga, cara cramer merupakan cara yang sering
digunakan. Dalam cara Cramer untuk matriks M yang berderajat dua :
=
22 21
12 11
m m
m m
M
Nilai determinannya adalah :
21 12
22 11
m m
m m
M −
=
.
Universitas Sumatera Utara
Dan untuk matriks M yang berderajat tiga:
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11
m m
m m
m m
m m
m M
Nilai determinannya adalah :
33 21
12 32
23 11
31 22
13 32
21 13
31 23
12 33
22 11
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
M +
+ −
+ +
=
2.2.5 Invers suatu matriks
a. Definisi invers suatu matriks
Misalkan A matriks berukuran nxn yang nonsingular, jika terdapat matriks B dan berlaku :
n
I BA
AB =
=
Maka matriks B disebut invers dari matriks A. Jika tidak terdapat matriks B, maka matriks A disebut matriks singu lar.
b. Mencari invers suatu matriks.
Ada beberapa cara mencari invers suatu matriks, salah satunya adalah dengan cara Adjoin Matriks. Pandang suatu matriks kuadrat tingkat n yakni
ij
m M
= dan
misalkan
ij
K adalah kofaktor elemen – elemen
ij
m maka Adjoin suatu matriks M disingkat adj M adalah :
Adj M
T
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K
=
2 1
2 22
21 1
12 11
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan untuk matriks M yang berderajad 2 :
=
22 21
12 11
m m
m m
M
Adjoin matriks M adalah :
Adj M
−
− =
11 21
12 22
m m
m m
Dari MAdj M
n
I M
=
1 −
M M Adj M
n
I M
M
1 −
=
n
I Adj M
n
I M
M
1 −
=
Sehingga didapatkan :
T
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K M
M
=
−
2 1
2 22
21 1
12 11
1
1
2.3 Nilai dan Vektor Eigen
2.3.1 Definisi dan notasi
Awalan eigen dalam bahasa Jerman dapat diartikan sebagai sesuatu hal yang pribadi atau ciri. Dalam kasus matrik, nilai eigen merupakan nilai Karakteristik dari dari
matriks tersebut sehingga dari nilai eigen dapat memberikan gambaran tentang matriks itu sendiri. Nilai eigen dinotasikan dengan
λ.
Universitas Sumatera Utara
Jika diberikan matriks M berukuran nxn , dapat dicari nilai λ dan vektor tak
nol x di
n
R sehingga berlaku :
x x
M
λ
=
Sehingga vektor tak nol yang dinotasikan dengan
x
disebut vektor eigen.
2.3.2 Persamaan karakteristik
Permasalahan mencari nilai eigen dapat dipecahkan melalui persamaan karakteristik. Berdasarkan definisi, vektor tak nol
x
merupakan vektor eigen jika :
x x
M
λ
=
Dengan I merupakan suatu matriks identitas, persamaan di atas dapat kita tulis :
x I
x M
λ
=
O x
I M
= −
λ
Untuk nilai
≠ x
, hal ini terjadi jika dan hanya jika :
= −
= −
I M
I M
λ λ
det
Persamaan ini merupakan polinom dalam λ dan disebut Persamaan Karakteristik.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan real λ merupakan nilai eigen dari matriks
M jika dan hanya jika λ memenuhi persamaan karakteristik
= − I
M
λ .
Matriks I
M λ
− dapat dijabarkan sebagai :
− −
− −
= −
λ λ
λ λ
λ
nn n
n n
n n
n
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m I
M
3 2
1 3
33 32
31 2
22 21
1 13
12 11
Universitas Sumatera Utara
Determinan dari suatu matriks merupakan perkalian n suku dari matriksnya, sehingga pangkat tertinggi yang mungkin dari
λ adalah n yakni yang diperoleh dari perkalian suku dari diagonal matriks. Oleh karna itu, persamaan karakteristik dari suatu matriks
yang berukuran nxn adalah :
n n
n n
n
m m
m m
f +
+ +
+ +
=
− −
−
λ λ
λ λ
λ
1 2
2 1
1
...
Nilai eigen merupakan akar – akar dari polynomial karakteristik dari matriks M.Jika kita berikan
=
λ pada
n
I M
λ
−
yang juga berlaku untuk persamaan di atas, maka akan didapatkan
n
m M
=
dan memberikan bentuk umum :
M m
n
1
− =
2.3.3 Proses diagonalisasi matriks
a. Syarat suatu matriks dapat didiagonalkan
Suatu matriks berukuran nxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linear. Himpunan vektor – vektor
n m
R x
x x
x ∈
,... ,
,
3 2
1
dikatakan bergantung linier jika ada skalar ,...
3 ,
2 ,
1 ,
m i
k
i
= yang
tidak semuanya nol sehingga berlaku:
...
2 2
1 1
= +
+
m m
x k
x k
x k
Sedangkan bila semua =
i
k , maka disebut bebas linier.
Universitas Sumatera Utara
b. Pendiagonalan matriks