Pendiagonalan matriks Dinamika Rantai Markov Dengan Dua Komponen

b. Pendiagonalan matriks

Misalkan M matriks berukuran nxn dan mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linier. Kita tulis vektor eigen tersebut sebagai kolom dari matriks V yang juga berukuran nxn tersebut sebagai berikut : n x x x V  2 1 = Matriks V di atas tak singular karena mempunyai n vektor kolom di n R yang bebas linier. n x x x M MV  2 1 = n x M x M x M MV  2 1 = Karena i i i x x M λ = dengan i λ merupakan nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen i x .Dengan catatan bahwa mungkin terjadi beberapa vektor eigen yang berbeda mempunyai nilai eigen yang sama. Maka : n n x x x MV λ λ λ  2 2 1 1 = Misalkan D merupakan matriks diagonal yang berisi nilai eigen i λ yang berkaitan dengan i x , diasumsikan bahwa V dan D merupakan matriks yang memiliki ukuran yang sama, maka :             = n n x x x VD λ λ λ         2 1 2 1 n n x x x VD λ λ λ  2 2 1 1 = Sehingga dapat disimpulkan bahwa : VD MV = Universitas Sumatera Utara Kemudian karena matriks V mempunyai invers, persamaan di atas dapat dikalikan dengan 1 − V dari kanan sehingga diperoleh : 1 1 − − = VDV MVV 1 − = VDV MI 1 − = VDV M Selanjutnya, dapat dicari : 1 − = V VD M n n 2.2

2.4 Rantai Markov

Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dan dikenal sebagai proses Stokastik.

2.4.1 Definisi rantai Markov

Rantai Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel acak { } ... 3 , 2 , 1 , ; = n X n yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov.

2.4.2 Sifat Markov

Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu past states 1 2 1 ,..., , , − n X X X X dan kejadian yang sedang berlangsung present state n X , maka kejadian yang akan datang future state 1 + n X bersifat bebas independen dari kejadian-kejadian yang telah berlalu past state 1 2 1 ,..., , , − n X X X X . Artinya Universitas Sumatera Utara kejadian yang akan datang future state 1 + n X hanya bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung present state n X . Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai untuk waktu ke n, maka distribusi nilai proses dari waktu ke 1 + n hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu n. Secara umum dapat dituliskan: Pr , ,..., , Pr 1 1 1 1 1 1 j X i X j X j X j X j X i X n n n n n n n = = = = = = = = + − − + .

2.4.3 Asumsi – asumsi dasar rantai Markov

Penggunaan rantai Markov terhadap suatu masalah memerlukan pemahaman tentang tiga keadaan yaitu keadaan awal, keadaan transisi dan keadaan setimbangnya. Dari tiga keadaan di atas, keadaan transisi merupakan yang terpenting. Oleh karena itulah asumsi – asumsi dalam rantai Markov hanya berhubungan dengan keadaan transisi. Asumsi – asumsi dalam rantai Markov adalah sebagai berikut : a. Jumlah probabilitas transisi keadaan adalah 1 b. Probabilitas transisi tidak berubah selamanya. c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang, bukan pada periode sebelumnya.

2.4.4 Keadan awal rantai Markov

Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan i keadaan adalah vektor kolom X dimana komponennya yang ke i yakninya i x adalah Universitas Sumatera Utara probabilitas bahwa sistemnya berada dalam keadaan ke i pada waktu itu. Dapat dituliskan :             = n x x x X  2 1 Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun probabilitas yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung. Vektor keadaan awal dinotasikan dengan X ..

2.4.5 Keadaan transisi dan probabilitasnya

Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan status ke keadaan status lainnya pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas dan dinotasikan dengan n X . Probabilitas ini dikenal sebagai probabilitas transisi. Probabilitas ini dapat digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan atau periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal X diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut Matriks Probabilitas Transisi sebagai berikut: 1 − = n n MX X Matriks Probabilitas Transisi dari suatu rantai Markov adalah suatu matriks berderajat n dimana n tergantung kepada jumlah kejadian atau state pada rantai Markov tersebut. Elemen pada Matriks Probabilitas Transisi adalah probabilitas perubahan suatu keadaan berada pada kejadian i jika pada masa sebelumnya berada pada keadaan j. Universitas Sumatera Utara Untuk Rantai Markov dengan tiga keadaan, matriks peralihannya mempunyai bentuk : Keadaan awal 1 2 3 3 2 1 33 32 31 33 22 21 13 12 11           = m m m m m m m m m M Keadaan Baru Dan berlalu 1 31 21 11 = + + m m m

2.4.6 Keadaan setimbang dan probabilitasnya.

Keadaan setimbang adalah keadaan dimana proses setelah beberapa periode telah mencapai suatu keadaan yang tidak berubah – ubah lagi dan dinotasikan ∞ X . Jika keadaan setimbang telah tercapai, maka probabilitas status periode ke i akan sama dengan probabilitas pada status berikutnya i+1. Universitas Sumatera Utara BAB 3 PERMASALAHAN

3.1 Rantai Markov Dengan Dua Komponen

Rantai Markov dengan dua komponen berarti bahwa proses Markov hanya memiliki dua kejadian yang mungkin. Komponen dari rantai Markov sering kita sebut dengan State. Untuk rantai Markov dengan dua komponen, himpunan dari kejadian – kejadian yang mungkin dituliskan sebagai berikut : { } 2 1 kejadian kejadian E , =

3.1.1 Keadaan awal pada rantai Markov dengan dua komponen

Keadaan awal pada rantai Markov dengan dua komponen merupakan sebuah vektor kolom. Jumlah baris dari vektor kolom menunjukkan banyaknya komponen dari rantai Markov tersebut. Untuk rantai Markov yang memiliki dua kejadian yang mungkin, keadaan awalnya dapat dituliskan sebagai berikut :       = y x X dimana komponen x merupakan komponen yang terbesar dari dua komponen tersebut dan berlaku : 1 = + y x . Universitas Sumatera Utara

3.1.2 Keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya

Seperti keadaan awal, keadaan transisi pada Rantai Markov dengan dua komponen juga berbentuk vektor kolom         = n n n y x X , dimana 1 = + n n y x . Vektor tersebut menunjukkan keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen untuk periode waktu ke n. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal mendapatkan perubahan yang dilakukan oleh matriks probabilitas transisi. Untuk rantai Markov dengan dua komponen, matriks probabilitas transisi M adalah:       − − =       = q p q p m m m m M 1 1 22 21 12 11 Dimana : = 11 m Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 1, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 1. = = p m 21 Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 2, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 1.. = = q m 12 Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 1, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 2. = 22 m Probabilitas jika rantai Markov berada di kejadian 2, jika di periode sebelumnya berada di kejadian 2.

3.1.3 Keadaan setimbang pada rantai Markov dengan dua komponen.

Untuk waktu ∞ → n , jika matriks probabilitas transisi rantai Markov dengan dua komponen Reguler maka keadaan menuju ke keadaan setimbangnya. Keadaan setimbangnya juga merupakan vektor kolom yang jumlah baris menunjukkan banyaknya komponen. Universitas Sumatera Utara Dapat dituliskan :       = ∞ ∞ ∞ y x X Dimana : 1 = + ∞ ∞ y x Probabilitas pada keadaan setimbang inilah nantinya yang bisa dijadikan sebagai informasi dalam mengambil keputusan tentang kebijakan di masa yang akan datang.

3.2 Dinamika Rantai Markov Dengan Dua Komponen

Sesuai sifat Markov bahwa keadaan di masa yang akan datang hanya bergantung dari keadaan yang sedang berlangsung, maka didapatkan persamaan : 1 − = n n MX X 3.1 Karena 2 1 − − = n n MX X , persamaan 3.1 juga bisa dituliskan : 2 − = n n MMX X dan seterusnya hingga didapatkan persamaan baru : 1 − = = n n n MX X M X 3.2 Jika keadaan awal       = y x X , maka untuk rantai Markov dengan dua komponen secara eksplisit dapat dituliskan :             − − = y x q p q p X n n 1 1 3.3 Universitas Sumatera Utara Nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks M di atas dapat dicari melalui persamaan berikut : x I x M λ = , atau O x I M = − λ Untuk nilai ≠ x , hal ini terjadi jika dan hanya jika : det = − = − I M I M λ λ .       −       − − = − 1 1 1 1 λ λ q p q p I M       −       − − = − λ λ λ 1 1 q p q p I M       − − − − = − λ λ λ q p q p I M 1 1 pq q p I M − − − − − = − 1 1 λ λ λ pq q p I M − − − − − = − 1 1 λ λ λ pq pq p q I M − + − − − − − = − 1 1 1 2 λ λ λ λ 1 1 2 λ λ λ − + − − = − q p I M q p I M + − − − = − λ λ λ 1 1 λ λ λ − − − − = − q p I M 1 1 Universitas Sumatera Utara Sehingga didapatkan persamaan polynomial karakteristik : 1 1 = − − − − = λ λ λ q p f 3.4 Dengan nilai 1 1 = λ , yang sekaligus membuktikan bahwa untuk matriks stokastik berapapun order dari matriks tersebut, salah satu nilai eigennya pasti bernilai 1 bisa dan nilai q p − − = 1 2 λ . Selanjutnya, dari nilai – nilai eigen yang telah diketahui di atas akan dicari vektor – vektor eigen yang berkesesuaian.Untuk nilai 1 1 = λ , akan dicari vektor eigennya sebagai berikut : O x I M = − λ O x q p q p =       −       − − 1 1 1 1 1 1 O x q p q p =       − − − − 1 1 1 1 1 O x x q p q p =       − − 2 1 1 1 Sehingga didapatkan persamaan : 2 1 1 1 = + − x q x p 2 1 1 1 = − x q x p Misalkan q x = 1 1 dan p x = 2 1 maka persamaan di atas akan terpenuhi. Sehingga menghasilkan vektor eigen       = p q x 1 . Untuk nilai q p − − = 1 2 λ akan dicari vektor eigennya sebagai berikut : O x I M = − λ Universitas Sumatera Utara O x q p q p q p =       − − −       − − 2 1 1 1 1 1 O x q p q p q p q p =       − − − − −       − − 2 1 1 1 1 O x p p q q =       2 O x x p p q q =       2 1 2 2 Sehingga didapatkan persamaan : 2 1 2 2 = + x q x q 2 1 2 2 = − x q x p Misalkan 1 1 2 = x dan 1 2 2 − = x , maka persamaan di atas akan terpenuhi. Sehingga menghasilkan vektor eigen       − = 1 1 2 x Misalkan V merupakan matriks yang kolom – kolomnya merupakan kumpulan dari vektor eigen dari matriks M :       − = 1 1 p q V Dan matriks D merupakan matriks Diagonal yang elemennya merupakan nilai eigen dari matriks M :       − − = q p D 1 1 Universitas Sumatera Utara Maka matriks n M dapat dicari dengan persamaan 2.2 sebagai berikut :       − +       − −       − = q p q p q p p q M n n 1 1 1 1 1 1 1       − +       − − − − − = q p q p q p p q p q M n n n 1 1 1 1 1       −             + − − − + + − − + = q p q p q p q p p q p q p q p q M n n n 1 1 1 1               + − − + + − − − + − − − + − − + = q p q p q p q p q p p p q p q p q q q p q p p q M n n n n n 1 1 1 1       − − + − − − − − − − − + + = n n n n n q p q p q p p p q p q q q p p q q p M 1 1 1 1 1 3.5 Persamaan 3.5 dapat digunakan untuk mendapatkan komposisi setimbang rantai Markov, dimana untuk waktu ∞ → n : X M X ∞ ∞ =             − − + − − − − − − − − + + = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ y x q p q p q p p p q p q q q p p q q p X 1 1 1 1 1 Universitas Sumatera Utara Karena nilai 1 → − − ∞ q p , maka :             + = ∞ y x p p q q q p X 1       + + = ∞ p q q p y x X 1 x X α = ∞ , untuk q p y x + + = α 3.6 Adanya perubahan komposisi pada vektor keadaan rantai Markov dapat terlihat pada : 1 1 X M M X X X n n n n n − = − = ∆ + +                             − − + − − − − − − − − + + −       − − + − − − − − − − − + + = ∆ + + + + y x q p q p q p p p q p q q q p p q q p q p q p q p p p q p q q q p p q q p X n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Karena q p q p q p n n − − − − = − − + 1 1 1 1 maka :             − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p X n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                   + − − + − − − + − − − + − − − − = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p X n n 1 Nilai q p − − dalam matriks dirubah menjadi q p + , sehingga:                   + + − + + + + + + − − − = ∆ y x q p q p q q p q p p q p q p q q p q p p q p X n n 1 Universitas Sumatera Utara             − − − − = ∆ y x q p q p p q X n n 1       − + − − − = ∆ qy px qy px p q X n n 1       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X 3.7 Karena sebelumnya telah didapatkan bahwa: q p − − = 1 2 λ dan       − = 1 1 2 x , maka dapat kita tuliskan : 2 2 x qy px X n n λ + − = ∆ 3.8 Tampaklah jelas bahwa, dalam perubahan tersebut, yang sangat berperan penting adalah nilai 2 λ dan keadaan awal yang diberikan. Karena nilai q p − − = 1 2 λ , sedangkan p merupakan probabilitas terjadinya perpindahan dari keadaan 1 ke keadaan 2 pada masa yang akan datang yang bernilai 1 ≤ ≤ p dan q merupakan probabilitas terjadinya perpindahan dari keadaan 2 ke keadaan 1 pada masa yang akan datang yang bernilai 1 ≤ ≤ q , dapat disimpulkan bahwa nilai yang mungkin untuk 2 λ adalah : 1. Nilai 1 2 = λ Ini akan terjadi bilamana nilai = + q p . Matriks transisi dimana = + q p adalah :       − − = q p q p M 1 1       = 1 1 Universitas Sumatera Utara Keadaan ini tidak memenuhi syarat bahwa untuk mencapai kesetimbangan matriks probabilitas transisinya harus Reguler. Dimana tidak akan ada perpindahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain. 2. Nilai 1 2 λ Ini akan terjadi bilamana nilai 1 + q p 3. Nilai 2 = λ Ini akan terjadi bilamana nilai 1 = + q p 4. Nilai 1 2 − λ Ini akan terjadi bilamana nilai 2 1 + q p 5. Nilai 1 2 − = λ Ini akan terjadi bilamana nilai 2 = + q p . = + q p . Matriks transisi dimana 2 = + q p adalah :       − − = q p q p M 1 1       = 1 1 Matriks transisi seperti ini tidak akan menghasilkan keadaan setimbang yang tidak akan berubah – ubah lagi. Maka dapat disimpulkan bahwa dari 5 nilai yang mungkin, dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen hanya akan terjadi bilamana : 1. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai 1 2 λ dari matriks probabilitas transisinya. Universitas Sumatera Utara a. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 1 2 λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai negatif yang disebut C − . Sehingga :       − − = ∆ 1 1 C X n       + − = ∆ C C X n Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai ∞ x x x x x n ... ... 2 1 dan nilai ∞ y y y y y n ... ... 2 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami penurunan yang sebanding dengan kenaikan komponen y untuk periode waktu yang lebih besar yang hingga masing – masing komponen mencapai kesetimbangan untuk waktu ∞ → n karena matriks transisinya Reguler. b. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 1 2 λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai positif yang disebut C . Sehingga : Universitas Sumatera Utara       − = ∆ 1 1 C X n       − + = ∆ C C X n Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai ∞ x x x x x n ... ... 2 1 dan nilai ∞ y y y y y n ... ... 2 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami kenaikan untuk periode waktu yang lebih besar yang sebanding dengan penurunan komponen y untuk periode waktu yang lebih besar yang hingga masing – masing komponen mencapai kesetimbangan untuk waktu ∞ → n karena matriks transisinya Reguler. 2. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai 2 = λ dari matriks probabilitas transisinya. a. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 2 = λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai negatif yang disebut C − . Sehingga :       − − = ∆ 1 1 C X n       + − = ∆ C C X n Universitas Sumatera Utara Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai ∞ = x x x 1 dan nilai ∞ = y y y 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami penurunan yang sebanding dengan kenaikan komponen y hanya berlangsung dalam 1 periode waktu dan langsung mencapai kesetimbangan karena matriks transisinya Reguler. b. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 2 = λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai positif yang disebut C . Sehingga :       − = ∆ 1 1 C X n       − + = ∆ C C X n Hal ini memperlihatkan bahwa, nilai ∞ = x x x 1 dan nilai ∞ = y y y 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami kenaikan yang sebanding dengan penurunan komponen y hanya berlangsung dalam 1 periode waktu dan langsung mencapai kesetimbangan karena matriks transisinya Reguler. Universitas Sumatera Utara 3. Dinamika rantai Markov dengan dua komponen yang memiliki nilai 1 2 − λ dari matriks probabilitas transisinya. a. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 1 2 − λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai positif untuk perubahan waktu ganjil dan negatif untuk waktu genap, yang disebut C ± . Sehingga :       − ± = ∆ 1 1 C X n Untuk waktu ganjil,       − + = ∆ C C X n dan waktu genap       + − = ∆ C C X n Hal ini memperlihatkan bahwa nilai : ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − − x x x x x x x x x x n ... ... 2 1 dan ... ... ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ + ∞ + − − − − − − − − y y y y y y y y n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami turun kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil. Sedangkan untuk komponen y akan naik kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil dan kemudian mencapai kesetiimbangan dan tak bergelombang lagi yang sebanding dengan komponen x. Kemudian baik komponen x maupun komponen y mencapai kesetimbangan untuk waktu ∞ → n karena matriks transisinya Reguler. Universitas Sumatera Utara b. Kasus nilai + − qy px Dari persamaan 3.7 , diperoleh bahwa :       − − − + − = ∆ 1 1 1 n n p q qy px X Untuk nilai 1 2 − λ dan nilai + − qy px maka diperoleh nilai n p q qy px − − + − 1 bernilai negatif untuk perubahan waktu ganjil dan positif untuk waktu genap, yang disebut C ± . Sehingga :       − ± = ∆ 1 1 C X n Untuk waktu ganjil,       + − = ∆ C C X n dan waktu genap       − + = ∆ C C X n Hal ini memperlihatkan bahwa nilai : ... ... ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ + ∞ + − − − − − − − − x x x x x x x x n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dan ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − − y y y y y y y y y y n ... ... 2 1 . Artinya nilai komponen x akan mengalami naik kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil. Sedangkan untuk komponen y akan turun kemudian bergelombang di sekitar nilai kesetimbangan dan untuk waktu yang makin besar, tinggi gelombang akan semakin mengecil dan kemudian mencapai kesetiimbangan dan tak bergelombang lagi yang sebanding dengan komponen x. Kemudian baik komponen x maupun komponen y mencapai kesetimbangan untuk waktu ∞ → n karena matriks transisinya Reguler. Universitas Sumatera Utara

3.3 Penyajian Dinamika Pada Rantai Markov Dengan Dua Komponen Berdasarkan Contoh – Contoh Kasus.