bagaimana proses perubahan yang dilalui. Bentuk dan ciri khas dari perubahan itulah yang dinamakan dinamika pada rantai Markov, maka penulis memilih judul
“ DINAMIKA PADA RANTAI MARKOV DENGAN DUA KOMPONEN “.
.
1.2 Identifikasi Permasalahan
Masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah melihat bagaimana dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen. Misalkan diketahui keadaan awal
X suatu rantai Markov yang memiliki matriks transisi yang Reguler sehingga bisa dicari keadaan setimbangnya
∞
X , akan dilihat bagaimana perjalanan
n
X mulai dari keadaan awal
X sampai menuju
∞
X sebagai keadaan setimbangnya serta melihat bagaimana pengaruh nilai eigen dari matriks probabilitas transisi suatu rantai Markov terhadap
perjalanan tersebut.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji bagaimana dinamika perubahan yang terjadi pada rantai Markov dengan dua komponen mulai dari komposisi awal sampai dengan
komposisi setimbang sebagai komposisi akhir perubahannya. Untuk melihat dinamika perubahan dari keadaan awal
X sampai ke keadaan setimbangnya
∞
X , dapat menggunakan permasalahan eigen pada matriks probabilitas transisi rantai Markov.
Universitas Sumatera Utara
1.4 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah- langkah sebagai berikut :
a. Mengidentifikasi keadan awal rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.
b. Mengidentifikasi keadaan transisi rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.
c. Mengidentifikasi keadaan setimbang dari rantai Markov dengan dua komponen dan probabilitasnya.
d. Mengkaji dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen melalui permasalahan eigen matriks probabilitas transisinya.
e. Memperlihatkan dinamika perubahan pada rantai Markov dengan dua komponen melalui contoh kasus.
1.5 Tinjauan Pustaka
Proses Markov diperkenalkan oleh seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia yang bernama Andrey Andreevich Markov pada tahun 1906. Andrey Andreevich Markov
memperkenalkan proses Markov berupa teori dasarnya saja. Barulah pada tahun 1936, seorang ahli Matematika berkebangsaan Rusia lainnya bernama Kolmogorov membuat
generalisasi pada ruang state yang terhitung dan terbatas.
Rantai Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel Acak
{ }
... 3
, 2
, 1
, ;
= n
X
n
yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov. Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu past states
1 2
1
,..., ,
,
− n
X X
X X
dan kejadian yang sedang berlangsung present state
n
X , maka kejadian yang akan datang future state
1 +
n
X bersifat bebas independen dari
kejadian-kejadian yang telah berlalu past state
1 2
1
,..., ,
,
− n
X X
X X
. Artinya kejadian
Universitas Sumatera Utara
yang akan datang future state
1 +
n
X hanya bergantung pada kejadian yang sedang
berlangsung present state
n
X .
Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai untuk waktu ke n, maka distribusi nilai proses dari waktu ke
1 +
n
hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu n. Secara umum dapat dituliskan:
Pr ,
,..., ,
Pr
1 1
1 1
1 1
j X
i X
j X
j X
j X
j X
j X
n n
n n
n n
n
= =
= =
= =
= =
+ −
− +
.
Menurut J.Supranto 1998 , matriks adalah suatu kumpulan angka – angka elemen – elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat
persegi dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya baris dan kolom dan dibatasi oleh tanda kurung. Pada rantai Markov, matriks transisi M berukuran nxn adalah
matriks Stokastik yang elemen-elemenya menunjukkan kemungkinan perubahan antar komponen pada komposisi X, sehinggan jumlah elemen setiap kolomnya sama dengan 1.
Dapat dituliskan :
= =
nn n
n n
n n
n ij
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m M
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
dimana i,j = 1,2,...n dan berlaku ,
,
1
1
=
∑
= n
i ij
m untuk semua nilai j.
Sebuah matriks transisi adalah Reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks tersebut mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif Pantur Silaban,1988 . Pada
rantai Markov yang memiliki matriks transisi Reguler, menggambarkan bahwa ada kemungkinan untuk berpindah dari suatu state ke state yang lain dalam 1 langkah dan
Universitas Sumatera Utara
akan memiliki suatu vektor keadaan yang setimbang
∞
X untuk waktu ∞
→ n
jika diberikan suatu keadaan awal
X .
Penyelesaian permasalahan eigen dari rantai Markov dengan dua komponen menyajikan secara lengkap dinamika perubahan yang terjadi sampai dengan komposisi
setimbang sebagai komposisi akhir perubahannya Sugata Pikatan, 1998 . Berapapun orde matriks M, salah satu nilai eigennya pasti ada yang sama dengan 1, yakni yang
terkait dengan komposisi setimbang sebagai vektor eigennya. Jika perubahan sebuah struktur berkomposisi
X dilakukan dengan matriks transformasi M dalam sebuah selang waktu tertentu, maka pada akhir selang waktu ke n komposisi struktur tersebut menjadi :
1 −
=
n n
MX X
Pada waktu ∞
→ n
untuk matriks transformasi yang Reguler, komposisi telah mencapai kesetimbangan
∞
X dan tidak akan berubah lagi . Dapat dituliskan :
∞ ∞
= MX X
Untuk mencari nilai - nilai eigen dari matriks transisi, dapat menggunakan persamaan karakteristik. Berdasarkan definisi, vektor tak nol
∞
X merupakan vektor eigen jika :
∞ ∞
= MX X
λ
Sehingga nilai – nilai eigen dapat dicari melalui persamaan :
2 1
= −
=
det ,
I M
λ λ
λ
Universitas Sumatera Utara
1.6 Kontribusi Penelitian
