7.1.1 Ko o rd in a t Ku tu b
Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik
asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah
system koordinat siku-siku. Setiap titik P selain dari kutub adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang
memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan
θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka r,
θ dinamakan sepasang koordinat kutub
dari titik P Gambar 7.2. Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita
menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran- lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat
melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.
Gambar 7.3 Gambar 7.4
Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa
sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik
dengan koordinat kutub 4, π2 juga memiliki koordinat 4, 5π2, 4, 9π2, -4,
3 π2, dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai
yang negatif. Dalam hal ini r, θ terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan
sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak
r
satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub -3,
π6 dapat kita lihat pada Gambar 4.4, sedangkan -4, 3
π2 adalah koordinat lain untuk 4, π2. Titik asal mempunyai koordinat 0,
θ, di mana θ sudut sembarang.
7.1.2 . P e rs a m a a n Ku tu b
Contoh persamaan kutub adalah: r = 8 sin
θ dan r =
θ cos
- 1
2
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 120
Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik
yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah
dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengan koordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu
dengan sebuah kurva yang mulus.
Contoh 7.1. : Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian : Kita ganti kelipatan
π6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali Gambar 4.5.
Contoh 7.2
Gambarlah grafik dari r =
θ cos
- 1
2
Penyelesaian : Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system
koordinat siku-siku. Koordinat -2, 3 π2 tidak memenuhi persamaan. Walaupun
demikian titik P -2, 3 π2 terletak pada grafik, sebab 2, π2 merupakan koordinat P
dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak
memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan
banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 121
Gambar 7.6
7.1.3 . H u b u n ga n d e n ga n Ko o rd in a t Ca rte s iu s
Kategori