Gambar 7.6
7.1.3 . H u b u n ga n d e n ga n Ko o rd in a t Ca rte s iu s
Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub r,
θ sebuah titik P dan koordinat Cartesius x, y titik itu dihubungkan oleh persamaan :
x = r cos θ
r
2
= x
2
+ y
2
y = r sin θ
tan θ =
x y
Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titik
dalam kuadran lain.
Gambar 7.7 Gambar 7.8
Contoh 7.3 Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah 4,
π6. Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah -3,
3
.
Penyelesaian : Jika r,
θ = 4, π6, maka
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 122
x = 4 cos
6 π
= 4 .
2 3
= 2
3
y = 4 sin
6 π
= 4 .
2 1
= 2 Jika, x, y = -3,
3
, maka lihat Gambar 8 r
2
= -3
2
+
3
2
= 12 tan
θ =
3 3
−
Salah satu nilai r, θ adalah 2
3
, 5 π6. Nilai lainnya adalah -2
3
, - π6.
Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.
Contoh 7.4 Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin
θ Contoh 1 adalah sebuah lingkaran dan bahwa grafik persamaan r = 2 1- cos
θ Contoh 2 adalah sebuah parabol dengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut.
Penyelesaian : Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin
θ dengan r, kita peroleh r
2
= 8r sin θ
dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi : x
2
+ y
2
= 8y dan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut :
x
2
+ y
2
- 8y = 0 x
2
+ y
2
- 8y + 16 = 16 x
2
+ y - 4
2
= 16 Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di 0, 4 dan
berjari-jari 4.
PERHATIKAN Karena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan
kedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi kedua bagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkan
kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik. Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin
θ dengan r tanpa menimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana
titik dengan koordinat- θ 0.
Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut : r =
θ cos
- 1
2
r – r cos θ =
2 r - x = 2
r = x + 2
r
2
= x
2
+ 4x + 4 x
2
+ y
2
= x
2
+ 4x + 4 y
2
= 4x + 1
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 123
Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di -1, 0 dan dengan fokus di 0, 0
7.1.4 . P e rs a m a a n Ku tu b u n tu k Ga ris , Lin gka ra n d a n Ko n ik
Kategori