Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di -1, 0 dan dengan fokus di 0, 0
7.1.4 . P e rs a m a a n Ku tu b u n tu k Ga ris , Lin gka ra n d a n Ko n ik
Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah θ = θ
. Apabila garis tidak melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub d0. Andaikan
θ sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu Gambar
7.9. Apabila P r, θ sebuah titik pada garis, maka cos θ - θ
= dr, atau Garis : r =
- cos
d θ
θ
Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di r
, θ
, persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih r
= a Gambar 7.10. Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 – 2ra cos θ - θ
yang dapat disederhanakan menjadi : Lingkaran : r = 2a cos
θ - θ
Gambar 7.9 Gambar 7.10
Suatu hal yang menarik jika θ
= 0 dan θ
= π2. Yang pertama menghasilkan
persamaan r = 2a cos θ
; yang kedua menghasilkan r = 2a cos θ – π2 atau r = 2a
sin θ. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1.
Akhirnya kalau sebuah konik elips, parabol atau hiperbol diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub
Gambar 7.11, maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu
PL e
PF =
kita akan memperoleh
r = e
[ ]
- cos
r -
d θ
θ
atau secara setara : Konik : r =
- cos
e 1
ed θ
θ +
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 124
Gambar 7.11
Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk θ
= 0 dan θ
= π2. Perhatikan bahwa
apabila e = 1 dan θ
= 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2. Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut:
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 125
Contoh 7.5 Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan
2 1
, berfokus di kutub dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.
Penyelesaian :
r =
θ
cos 1
10 .
2 1
2 1
+
=
θ cos
2 10
+
Contoh 7.6
Tentukan jenis konik dan gambarlah grafik yang persamaannya r =
θ sin
4 2
7 +
Penyelesaian Kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.
r =
θ sin
4 2
7 +
=
θ
sin 2
1
2 7
+
=
θ
sin 2
1 2
2 7
+
yang kita kenal sebagai koordinat kutub menggambar sebuah hiperbol dengan e = 2, berfokus di kutub dan dengan garis arah yang mendatar, sejauh
4 7
satuan di atas sumbu polar Gambar 7.12.
Gambar 7.12
7.1.5 Gra fik Pe rs a m a a n Ku tu b
