Gambar 7.19
7.2 .3 . S p ira l
Grafik persamaan r = a θ disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae
b θ
dinamakan spiral logaritma. Contoh 7.10
Gambarlah grafik r = θ untuk θ ≥ 0.
Penyelesaian Kita hilangkan daftar nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik memotong sumbu kutub di
0, 0, 2 π, 2π, 4π, 4π,…dan memotong perpanjangannya yang ke kiri di π, π,
3 π, 3π, 5π, 5π,…seperti dapat dilihat pada Gambar 4.20.
7.3 P e rp o to n ga n Ku rva -ku rva D e n ga n Ko o rd in a t Ku tu b
Dalam koordinat Cartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalan menyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jika
kita menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyak koordinat kutub, dan
Gambar 7.20
Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya lihat Gambar 4.21, lingkaran r = 4 cos
π memotong garis θ = π3 di dua titik, yaitu kutub dan 2,
π3. Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 130
persamaan tersebut. Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaan garis adalah 0,
π3 dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah 0, π2. Kesimpulan kita adalah sebagai berikut: Untuk dapat memperoleh semua
perpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan- persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untuk
memperoleh titik potong lain yang masih mungkin.
Gambar 7.21
Gambar 7.22
Contoh 7.11 Tentukan titik potong kardioid r = 1 + cos
θ dan r = 1 - sin θ.
Penyelesaian Apabila r dihilangkan dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 + cos
θ = 1 - sin θ. Jadi cos θ = - sin θ, atau tan θ = -1. Kita simpulkan bahwa θ =
4 3
π dan θ =
4 7
π, yang menghasilkan dua titik potong 1-
2
2 1
,
π
4 3
dan 1+
2
2 1
,
π
4 3
. Grafik pada Gambar 7.22, memperlihatkan, adanya titik potong yang ketiga, yaitu kutub. Ini
disebabkan r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos θ menghasilkan θ = π, tetapi r = 0
dalam persamaan r = 1- sin θ kita peroleh θ = π2.
7.4 Ka lku lu s D e n ga n Ko o rd in a t Ku tu b