Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya
dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan. 1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x yaitu sumbu kutub dan
perpanjangannya ke kiri apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaan
yang sama Gambar 7.13. 2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y yaitu garis
θ = π2 apabila θ diganti dengan
π-θ menghasilkan persamaan yang sama Gambar 7.14. 3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r
menghasilkan persamaan yang sama Gambar 7.15. Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan
adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.
Gambar 7.13 Gambar 7.14
Gambar 7.15
7.2 Ka rd io d d a n Lim a s o n
Kita perhatikan persamaan yang berbentuk r = a ± b cos
θ r = a ± b sin
θ
a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam hal khusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat
dilihat pada Gambar 7.16.
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 127
Gambar 7.16
Contoh 7.7 Selidiki persamaan r = 2 + 4 cos
θ mengenai kesimetrian dan gambarlah grafiknya.
Penyelesaian Oleh karena kosinus adalah fungsi genap artinya cos-
θ = cos θ, untuk semua θ, grafiknya simetrik terhadap sumbu x. Pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil.
Daftar nilai dan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.17.
Gambar 7.17
7.2 .1. Le m n is ka t
Grafik dari: r
2
= ± a cos 2 θ
r
2
= ± a sin 2 θ
dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan. Contoh 7.8
Selidiki persamaan r
2
= 8 cos 2 θ tentang kesimetrian dan gambarlah grafiknya.
Penyelesaian Oleh karena cos -2
θ = cos 2θ dan cos 2π-θ = cos 2π - 2θ = cos -2θ = cos 2
θ
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 128
Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y garis θ =
2 1
π. Jadi simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada Gambar
4.18.
Gambar 7.18
7.2 .2 . Ma w a r
Grafik persamaan kutub yang berbentuk r = a cos n
θ r = a sin n
θ adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun
mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap. Contoh 7.9
Selidiki r = 4 sin 2
θ mengenai kesimetrian dan kemudian gambarlah grafiknya.
Penyelesaian Persamaan tersebut tidak memenuhi pengujian kesimetrian yang pertama dan yang
ketiga. Sedangkan yang kedua menghasilkan : sin 2
θ - π = sin 2π - 2θ = sin 2θ Akan tetapi, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian yang segera akan kita
temukan. Ingat bahwa pengujian kita di atas adalah cukup, bukannya perlu. Untuk menggambar grafik yang benar, kita menyusun sebuah daftar nilai yang agak
lengkap untuk 0
≤ θ ≤ π2 dan yang agak ringkas untuk π2 ≤ θ ≤ 2π. Daftar ini dan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.19. Anak panah pada grafik menggambarkan
arah gerak titik Pr, θ sepanjang grafik apabila θ naik dari 0 hingga 2π.
Matematika Teknik 1Koordinat Kutub 129
Gambar 7.19
7.2 .3 . S p ira l
