2 2
1 V
Q C
dt dQ
R dt
Q d
L =
+ +
2.58 atau
L V
Q LC
dt dQ
L R
dt Q
d
2 2
1 =
+ +
. 2.59
Dengan menggunakan operator dt
d D
= , persamaan 2.59 menjadi
L V
Q LC
DQ L
R Q
D
2
1 =
+ +
2.60 Akar-akar penyelesaian dari persamaan 2.60 diberikan oleh
β α
− =
+
+
− =
− =
−
−
− =
LC L
R L
R D
LC L
R L
R D
4 2
1 2
4 2
1 2
2 2
2 1
2.61
Penyelesaian persamaan 2.59 secara lengkap menjadi
t t
e L
V K
e L
V K
L V
t Q
α β
β α
αβ
− −
+ −
+ =
2 1
2.62 dengan
1
K dan
2
K adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian.
R C
L
Gambar 2.3 Rangkaian RLC tanpa sumber
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Jika tanpa sumber tegangan, maka persamaan differensial orde dua rangkaian RLC pada Gambar 2.3 menjadi
1
2 2
= +
+ Q
C dt
dQ R
dt Q
d L
2.63
Dengan menggunakan operator dt
d D
= , persamaan 2.63 menjadi
1
2
= +
+ Q
LC DQ
L R
Q D
. 2.64
Karena mempunyai akar-akar penyelesaian yang sama seperti pada persamaan 2.61, maka penyelesaian secara lengkap persamaan 2.64 menjadi
t t
e K
e K
t Q
β α
− −
+ =
4 3
. 2.65
dengan
3
K dan
4
K adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
BAB III METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan studi pustaka terhadap teori osilator harmonik dan penyelesaian persamaan differensial orde dua untuk rangkaian RLC yang
disusun secara seri. Langkah- langkah yang ditempuh sebagai berikut.
3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua Rangkaian RLC
Persamaan differensial orde dua pada rangkaian RLC tersebut diselesaikan persamaan umum untuk nilai
t Q
. Dari persamaan umum yang diperoleh, kemudian dicari persamaan khusus dengan memasukkan syarat batas.
3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada Rangkaian RLC
Dengan mengunakan hubungan yang ada dalam persamaan osilator harmonik, dijabarkan kembali energi pada kapasitor yang terangkai pada
rangkaian RLC.
3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC
Kuantisasi energi pada rangkaian RLC dilakukan dengan mengubah energi E
r menjadi operator, dengan memperhatikan persyaratan matematis dan fisis
yang harus dipenuhi. Energi E r
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari operator kreasi
+
aˆ dan operator annihilasi
−
aˆ .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
BAB IV KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC
4.1 Energi Rangkaian RLC
Dari persamaan 2.69, dan dengan menggunakan syarat batas q
t Q
= =
dan =
∞ =
t Q
dimana
1
= K
dan
2
q K
= diperoleh persamaan
baru
t
e Q
t Q
β −
= .
4.1 Persamaan 4.1 menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah
muatan yang berasal dari proses pengosongan. Hal tersebut terjadi karena rangkaian tidak diberi sumber tegangan.
Sedangkan dari persamaan 2.68, dengan menggunakan syarat batas =
= t
Q dan
= =
t Q
diperoleh persamaan baru
t t
e L
V e
L V
t Q
α β
αβ α
β α
β α
β α
αβ
− −
+ +
− +
− +
=
2
1 4.2
Persamaan 4.2 menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah muatan yang berasal dari proses pengisian. Peristiwa tersebut terjadi karena
rangkaian diberi sumber tegangan Melalui persamaan 4.1 dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada
rangkaian RLC, yaitu sebesar
t
e Q
dt t
dQ I
β
β
−
− =
= 4.3
Melalui persamaan 4.2 dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada rangkaian RLC, yaitu sebesar
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
