.
2 2
ˆ 2
1 ˆ
x m
x V
ω =
. 2.7
Energi suatu sistem fisis diwakilkan oleh sebuah operator yang disebut Hamiltonian
Hˆ . Operator Hamiltonian diberikan oleh V
T H
ˆ ˆ
ˆ +
= 2.8
dengan Tˆ operator tenaga kinetik dan Vˆ operator tenaga potensial. Jika osilator harmonik dengan tenaga potensial Vˆ diberikan oleh persamaan 2.7, maka
Hamiltonian menjadi
2 2
ˆ 2
1 ˆ
ˆ x
m T
H ω
+ =
, 2.9
dengan
m p
T 2
ˆ ˆ
2
= 2.10
2.2 Persamaan Nilai Eigen
Operator yang berkorespondensi untuk menunjukkan suatu momentum linear diberikan oleh Liboff, 1980
∇ −
= h
i pˆ
. 2.11
Jika ditinjau hanya ke arah x saja, maka operator momentum pˆ menjadi
x i
p
x
∂ ∂
− =
h ˆ
. 2.12
Persamaan nilai eigen dari operator pada persamaan 2.12 diberikan oleh Liboff, 1980
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
n x
n
p x
i ψ
ψ = ∂
∂ −
h .
2.13 dengan
n
ψ fungsi eigen dan
x
pˆ nilai eigen yang tidak lain adalah momrntum ke arah x.
Operator yang berkorespondensi terhadap energi adalah Hamiltonian Hˆ . Untuk partikel tunggal bermassa m berada dalam medan potensial
x V
, persamaan Hamiltonian diberikan oleh
2 2
ˆ ˆ
2 2
2
x V
m x
V m
p H
+ ∇
− =
+ =
h 2.14
Persamaan nilai eigen untuk Hˆ menjadi ˆ
x E
x H
n n
ψ ψ
= 2.15
atau
n n
E H
ψ ψ =
ˆ .
2.16 Hamiltonian untuk partikel bebas
= V
menjadi
2 2
2
2 2
ˆ ˆ
∇ −
= =
m m
p H
h 2.17
Jika gerak partikel ditinjau ke satu arah saja misalnya ke arah sumbu x , maka persamaan Schrodinger yang tak bergantung waktu menjadi
n n
E x
m ψ
ψ = ∂
∂ −
2 2
2
2 h
. 2.18
Jika dituliskan
2 2
2 h
mE =
ξ , 2.19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
maka persamaan 2.18 menjadi
2 2
2
= +
n n
dx d
ψ ξ
ψ 2.20
Penyelesaian persamaan 2.20 adalah
x i
x i
n
Be Ae
ξ ξ
ψ
−
+ =
2.21 Dengan A dan B adalah tetapan integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas.
Persamaan 2.21 adalah fungsi eigen dari Hˆ yang berkorespondensi untuk energi nilai eigen Liboff, 1980
m k
E 2
2 2
h =
. 2.22
Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu diberikan oleh
n n
n
E x
m dx
d m
ψ ψ
ω ψ
= +
−
2 2
2 2
2
2 1
2 h
2.23 Persamaan energi osilator harmonik dalam bentuk Hamiltonian dapat memperoleh
persamaan Schrodinger tak bergantung waktu seperti persamaan 2.23 Purwanto, 2006. Dengan memenuhi variabel
z m
x ω
h =
, membuat persamaan 2.23 menjadi
n n
n
E x
m dz
d ψ
ψ ω
ψ ω
= +
−
2 2
2 2
ˆ 2
1 2
1 h
2.24 atau
2 2
2
= −
+
n n
z dz
d ψ
λ ψ
2.25 dengan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ω λ
h E
2 =
. 2.26
Untuk memperoleh
solusi persamaan
2.25 diberikan
nilai
2
z n
e z
u
η
ψ
−
= =
, sehingga diperoleh
2 2
2 2
2 2
4 2
z z
e z
dz e
d
η η
η η
− −
+ −
= .
2.27 Sehingga persamaan 2.25 menjadi
4 2
2 2
2 2
2
= −
+ +
−
− −
z z
e z
e z
η η
λ η
η 2.28
Sebagai contoh, persamaan 2.28 terpenuhi jika diberikan .
1 ,
2 1
= =
λ η
Fungsi
2
2
z
e z
u
−
= merupakan solusi pada persamaan 2.25 dengan
1 =
λ Purwanto,2006
1
2 2
2
= −
+
n n
z dz
d ψ
ψ .
2.29 Dengan mengambil bentuk umum sembarang yang merupakan perkalian dengan
2
2
z
e z
f
−
= ,
2
2
z f
e
z n
−
= ψ
2.30 dan mensubstitusikan ke persamaan 2.30 dengan persamaan 2.29 diperoleh
persamaan baru dalam fz 1
2
2 2
= −
+ −
f dz
df z
dz f
d λ
. 2.31
Pemecahan dari persamaan 2.31 dapat diperoleh dengan menggunakan metode
Frobrnius, yaitu
dengan mengekspansi
ke deret
takhingga Purwanto,2006.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
L +
+ +
=
∑
∞ =
2 2
1
z a
z a
a z
a z
f
r r
r
2.32 Dengan mensubstitusikan persamaan 2.32 ke persamaan 2.31 diperoleh
persamaan baru
{ }
[ ]
k k
k k
z k
a k
k a
∑
∞ =
+
− −
− +
+ =
2
1 2
1 2
λ .
2.33 Persamaan 2.33 terpenuhi oleh semua z jika koefisien
=
k
z
{ }
1 2
1 2
2
= −
− +
+
+
λ k
a k
k a
k k
. 2.34
Persamaan 2.34 menunjukkan bahwa pemecahannya akan berbentuk deret takhingga, yakni berhenti pada
δ =
k δ
λ 2
1 =
− ,
L ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
= δ
. 2.35
Dari persamaan 2.35 dan persamaan 2.26 diperoleh energi dari osilator harmonik
ω δ
δ
h
+ =
2 1
E ,
2.36 dan sketsa dari energi osilator harmonik diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Sketsa aras- aras tenaga pada osilator harmonik
1
E
2
E
x V
2
2 1
x m
x V
ω =
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi
Melalui pedoman persamaan Schrodinger, dan melihat kembali osilator harmonik secara aljabar diperoleh operator-operator
p i
x a
p i
x a
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ρ γ
ρ γ
− =
+ =
+ −
2.37 atau
p i
x m
m a
p i
x m
m a
ˆ ˆ
2 1
ˆ ˆ
ˆ 2
1 ˆ
2 1
2 1
−
=
+
=
+ −
ω ω
ω ω
h h
2.38
dengan
ω ρ
ω γ
m m
h h
2 1
, 2
= =
2.39 Persamaan 2.38 mempunyai hubungan komutator dasar
[ ]
h i
p x
= ˆ
, ˆ
2.40 Hubungan komutator dasar menunjukkan bahwa
[ ]
− +
+ −
+ −
+ =
= a
a a
a a
a ˆ
ˆ 1
ˆ ˆ
1 ˆ
, ˆ
2.41 Dengan menambahkan
+
aˆ dengan
−
aˆ dan dengan mengurangkan
+
aˆ dengan
−
aˆ diperoleh
, 2
ˆ ˆ
ˆ γ
− +
+ =
a a
x ρ
i a
a p
2 ˆ
ˆ ˆ
− +
− =
. 2.42
Sehingga persamaan Hamiltonian untuk osilator harmonik menjadi
+
= +
=
− +
2 1
ˆ ˆ
ˆ 2
1 2
ˆ ˆ
2 2
a a
x k
m p
H ω
h .
2.43
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Hˆ telah diubah bentuk untuk menemukan nilai eigen dari operator
− +
≡ a
a N
ˆ ˆ
ˆ 2.44
Perhitungan komutator dari Nˆ dengan
−
aˆ dan
+
aˆ yaitu Cohen-Tannoudji,1977
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
+ −
+ +
+ −
+ +
− +
+ −
− −
+ −
− +
− −
+
= +
= =
− =
+ =
= a
a a
a a
a a
a a
a a
N a
a a
a a
a a
a a
a a
N ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
2.45 dan
[ ] [ ]
+ +
− −
= −
= a
a N
a a
N ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ 2.46
Fungsi
n
ψ menjadi fungsi eigen dari Nˆ yang berkorespondensi dengan nilai eigen
n sehingga diperoleh Liboff, 1980
n n
n N
ψ ψ =
ˆ .
2.47 Hubungan antara
n
a ψ
−
ˆ dengan Nˆ diberikan oleh
n n
n n
n n
n n
a n
n a
N a
a N
a a
a a
a a
a a
a a
N ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ
− −
− −
− +
− −
+ −
− −
+ −
− =
− =
− =
− =
− =
= ˆ
1 1
ˆ 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2.48
Fungsi
n
a ψ
−
ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai
eigen 1
− n
1
ˆ
− −
=
n n
a ψ
ψ 2.49
dan
2 1
ˆ
− −
−
=
n n
a ψ
ψ .
2.50 Karena dari sifatnya
−
aˆ disebut sebagai operator annihilasi Liboff, 1980.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
