Operator Kreasi dan Operator Annihilasi
Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Hˆ telah diubah bentuk untuk menemukan nilai eigen dari operator
− +
≡ a
a N
ˆ ˆ
ˆ 2.44
Perhitungan komutator dari Nˆ dengan
−
aˆ dan
+
aˆ yaitu Cohen-Tannoudji,1977
[ ]
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ] [
]
+ −
+ +
+ −
+ +
− +
+ −
− −
+ −
− +
− −
+
= +
= =
− =
+ =
= a
a a
a a
a a
a a
a a
N a
a a
a a
a a
a a
a a
N ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
2.45 dan
[ ] [ ]
+ +
− −
= −
= a
a N
a a
N ˆ
ˆ ,
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ 2.46
Fungsi
n
ψ menjadi fungsi eigen dari Nˆ yang berkorespondensi dengan nilai eigen
n sehingga diperoleh Liboff, 1980
n n
n N
ψ ψ =
ˆ .
2.47 Hubungan antara
n
a ψ
−
ˆ dengan Nˆ diberikan oleh
n n
n n
n n
n n
a n
n a
N a
a N
a a
a a
a a
a a
a a
N ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
ψ
− −
− −
− +
− −
+ −
− −
+ −
− =
− =
− =
− =
− =
= ˆ
1 1
ˆ 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2.48
Fungsi
n
a ψ
−
ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai
eigen 1
− n
1
ˆ
− −
=
n n
a ψ
ψ 2.49
dan
2 1
ˆ
− −
−
=
n n
a ψ
ψ .
2.50 Karena dari sifatnya
−
aˆ disebut sebagai operator annihilasi Liboff, 1980.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Dengan cara yang sama seperti persamaan 2.47 , maka operasi dalam bentuk
n
a N
ψ
+
ˆ ˆ
menghasilkan
n n
a n
a N
ψ ψ
+ +
+ =
ˆ 1
ˆ ˆ
2.51 Persamaan 2.51 mengindikasikan bahwa
n
a ψ
+
ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang
berkorespondensi dengan nilai eigen 1
+ n
1
ˆ
+ +
=
n n
a ψ
ψ 2.52
dan
2 1
ˆ
+ +
+
=
n n
a ψ
ψ 2.53
Operator
+
aˆ disebut sebagai operator kreasi. Jika operator annihilasi
−
aˆ dan operator kreasi
+
aˆ dikenakan pada suatu keadaan δ
maka menghasilkan Cohen-Tannoudji,1977 1
1 ˆ
+ +
=
+
δ δ
δ a
2.54
dan 1
ˆ −
=
−
δ δ
δ a
. 2.55
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com