Operator Kreasi dan Operator Annihilasi

Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Hˆ telah diubah bentuk untuk menemukan nilai eigen dari operator − + ≡ a a N ˆ ˆ ˆ 2.44 Perhitungan komutator dari Nˆ dengan − aˆ dan + aˆ yaitu Cohen-Tannoudji,1977 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + − + + + − + + − + + − − − + − − + − − + = + = = − = + = = a a a a a a a a a a a N a a a a a a a a a a a N ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ 2.45 dan [ ] [ ] + + − − = − = a a N a a N ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ˆ 2.46 Fungsi n ψ menjadi fungsi eigen dari Nˆ yang berkorespondensi dengan nilai eigen n sehingga diperoleh Liboff, 1980 n n n N ψ ψ = ˆ . 2.47 Hubungan antara n a ψ − ˆ dengan Nˆ diberikan oleh n n n n n n n n a n n a N a a N a a a a a a a a a a N ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − − − − + − − + − − − + − − = − = − = − = − = = ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2.48 Fungsi n a ψ − ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai eigen 1 − n 1 ˆ − − = n n a ψ ψ 2.49 dan 2 1 ˆ − − − = n n a ψ ψ . 2.50 Karena dari sifatnya − aˆ disebut sebagai operator annihilasi Liboff, 1980. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Dengan cara yang sama seperti persamaan 2.47 , maka operasi dalam bentuk n a N ψ + ˆ ˆ menghasilkan n n a n a N ψ ψ + + + = ˆ 1 ˆ ˆ 2.51 Persamaan 2.51 mengindikasikan bahwa n a ψ + ˆ adalah fungsi eigen dari Nˆ , yang berkorespondensi dengan nilai eigen 1 + n 1 ˆ + + = n n a ψ ψ 2.52 dan 2 1 ˆ + + + = n n a ψ ψ 2.53 Operator + aˆ disebut sebagai operator kreasi. Jika operator annihilasi − aˆ dan operator kreasi + aˆ dikenakan pada suatu keadaan δ maka menghasilkan Cohen-Tannoudji,1977 1 1 ˆ + + = + δ δ δ a 2.54 dan 1 ˆ − = − δ δ δ a . 2.55 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2.4 Persamaan Differensial Orde Dua

Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk 1 2 2 2 = + + y a dx dy a dx y d a 2.56 dan 2 2 1 2 2 x F y a a dx dy a a dx y d = + + 2.57 dimana 1 2 , , a a a merupakan konstanta. Persamaan 2.56 merupakan persamaan differensial orde dua homogen, sedangkan persamaan 2.57 merupakan persamaan differensial orde dua takhomogen. Suatu rangkaian RLC terdiri dari kapasitor, resistor, dan induktor yang disusun seri kemudian dihubungkan dengan sumber tegangan baterai sebesar V , seperti Gambar 2.2 R V C L Gambar 2.2 Rangkaian RLC dengan sumber Persamaan differensial orde dua dari rangkaian RLC yang disusun seri seperti pada Gambar 2.2 diberikan oleh PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2 2 1 V Q C dt dQ R dt Q d L = + + 2.58 atau L V Q LC dt dQ L R dt Q d 2 2 1 = + + . 2.59 Dengan menggunakan operator dt d D = , persamaan 2.59 menjadi L V Q LC DQ L R Q D 2 1 = + + 2.60 Akar-akar penyelesaian dari persamaan 2.60 diberikan oleh β α − =         +       + − = − =         −       − − = LC L R L R D LC L R L R D 4 2 1 2 4 2 1 2 2 2 2 1 2.61 Penyelesaian persamaan 2.59 secara lengkap menjadi t t e L V K e L V K L V t Q α β β α αβ − − + − + = 2 1 2.62 dengan 1 K dan 2 K adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan kemudian. R C L Gambar 2.3 Rangkaian RLC tanpa sumber PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com