Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel
Dari grafik tampak bahwa fungsi
, y
x f
z =
terdefinisi di dalam domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya
memenuhi ketaksamaan 1
≤ ≤ x
,
1 ≤
≤ y
. Fungsi
, y
x f
z =
mempunyai maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi
juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di titik D.
, y
x f
z =
Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik
dan jika mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik
maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik
.
, b
a ,
b a
, b
a ,
b a
Teorema 2.6
Misal terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka
dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik serta
turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik , maka
, y
x f
z =
; ,
r b
a B
, b
a ,
b a
, =
b a
f
x
dan
, =
b a
f
y
.
Bukti:
Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika adalah nilai maksimum
relatif dan adalah nilai minimum relatif.
, b
a f
, b
a f
i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada
dan ada, maka
, b
a
, b
a f
x
, =
b a
f
x
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika adalah fungsi dengan dua variabel
maka turunan parsial f terhadap x pada titik
adalah
, y
x f
, y
x ,
b a
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
, ,
lim ,
− +
=
→
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat
, b
a ,
, ≤
− +
b a
f b
h a
f
. Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga
ada di dalam
.
, b
h a
+ ;
, δ
b a
B
Jika ,
maka
+
→ 0 h
h
, ,
≤ −
+ h
b a
f b
h a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≤ −
+ =
→
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
Jika ,
maka
−
→ 0 h
h
, ,
≥ −
+ h
b a
f b
h a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≥ −
+ =
→
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
Karena dan ,
≥ b
a f
x
, ≤
b a
f
x
maka 0 ,
= b
a f
x
.
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada dan
ada, maka
, b
a ,
b a
f
y
, =
b a
f
y
. Jika
adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap y pada titik adalah
, y
x f
, y
x ,
b a
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
, ,
lim ,
− +
=
→
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.7 didapat
, b
a ,
, ≤
− +
b a
f k
b a
f
. Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga
ada di dalam
.
, k
b a
+ ;
, δ
b a
B
Jika ,
maka
+
→ 0 k
k
, ,
≤ −
+ k
b a
f k
b a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≤ −
+ =
→
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
Jika ,
maka
−
→ 0 k
k
, ,
≥ −
+ k
b a
f k
b a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≥ −
+ =
→
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
Karena dan
, ≥
b a
f
y
, ≤
b a
f
y
maka
, =
b a
f
y
.
ii. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada
dan ada, maka
, b
a
, b
a f
x
, =
b a
f
x
. Jika
adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap x pada titik adalah
, y
x f
, y
x ,
b a
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
, ,
lim ,
− +
=
→
Karena f mempunyai nilai minimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat
, b
a ,
, ≥
− +
b a
f b
h a
f
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ini berlaku bilamana h cukup kecil sedemikian sehingga ada di
dalam .
, b
h a
+ ;
, δ
b a
B
Jika ,
maka
+
→ 0 h
h
, ,
≥ −
+ h
b a
f b
h a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≥ −
+ =
→
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
Jika ,
maka
−
→ 0 h
h
, ,
≤ −
+ h
b a
f b
h a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≤ −
+ =
→
h b
a f
b h
a f
b a
f
h x
Karena dan ,
≥ b
a f
x
, ≤
b a
f
x
maka 0 ,
= b
a f
x
.
Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai minimum relatif pada dan
ada, maka
, b
a ,
b a
f
y
, =
b a
f
y
. Jika
adalah fungsi dengan dua variabel maka turunan parsial f
terhadap y pada titik adalah
, y
x f
, y
x ,
b a
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
, ,
lim ,
− +
=
→
Karena f mempunyai nilai maksimum relatif di maka dengan memakai
Definisi 2.8 didapat
, b
a ,
, ≥
− +
b a
f k
b a
f
. Ini berlaku bilamana k cukup kecil sedemikian sehingga
ada di dalam
.
, k
b a
+ ;
, δ
b a
B
Jika ,
maka
+
→ 0 k
k
, ,
≥ −
+ k
b a
f k
b a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≥ −
+ =
→
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
Jika ,
maka
−
→ 0 k
k
, ,
≤ −
+ k
b a
f k
b a
f
Dengan memakai definisi turunan parsial didapat:
, ,
lim ,
≤ −
+ =
→
k b
a f
k b
a f
b a
f
k y
Karena dan
, ≥
b a
f
y
, ≤
b a
f
y
maka
, =
b a
f
y
. ■
Definisi 2.9.
Titik disebut titik kritis dari fungsi f, jika berlaku
dan .
, b
a
, =
b a
f
x
, =
b a
f
y
Teorema 2.6 mengatakan bahwa syarat perlu agar suatu fungsi dengan dua variabel mencapai nilai ekstrem relatif di suatu titik, di mana turunan parsialnya
ada di titik tersebut, adalah bahwa titik tersebut merupakan titik kritis dari . Namun hal ini belum menjamin terjadinya nilai ekstrem relatif
apabila turunan parsialnya di suatu titik sama dengan nol. Keadaan ini terjadi pada suatu titik yang disebut dengan titik pelana saddle point, yaitu titik kritis di
mana fungsi tidak mempunyai nilai ekstrem. Hal ini ditunjukkan pada
contoh 2.6
, y
x f
z =
, y
x f
z =
Contoh 2.6
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh persamaan
2 2
2 4
6 ,
y x
y x
y x
f −
− −
= Tentukan apakah f mencapai nilai ekstrem
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2. 6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
, y
x
x y
x f
x
2 6
, −
= dan
y y
x f
y
4 4
, −
− =
Dari persamaan-persamaan 2
6 ,
= −
= x
y x
f
x
dan
4 4
, =
− −
= y
y x
f
y
didapat x = 3 dan y = -1 sebagai titik kritis fungsi. Grafik persamaan
tampak pada gambar 2.10
yaitu berupa paraboloida dengan titik puncak 3, -1, 11 dan terbuka ke bawah.
2 2
2 4
6 ,
y x
y x
y x
f z
− −
− =
=
Dapat disimpulkan bahwa:
1 ,
3 ,
− f
y x
f
untuk semua
1 ,
3 ,
− ≠
y x
Menurut Definisi 2.7, maka
11 1
, 3
= −
f
merupakan nilai maksimum mutlak f.
Gambar 2.10. Grafik fungsi dengan
2 2
2 4
6 ,
y x
y x
y x
f −
− −
= 11
, 1
, 3
− sebagai titik puncaknya.
Contoh 2.7
Tentukan nilai ekstrem relatif dari fungsi y
xy y
x y
x f
7 2
2 2
− −
+ =
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
, y
x
y x
y x
f
x
− = 4
, dan
7 2
, −
− =
x y
y x
f
y
Kemudian dengan menyelesaikan 4
, =
− =
y x
y x
f
x
7 2
, =
− −
= x
y y
x f
y
didapat x = 1 dan y = 4 sebagai titik stasionernya. Sekarang akan dibandingkan nilai f pada 1, 4 dengan nilai f pada
.
4 ,
1 k
h +
+ 14
28 4
16 2
4 ,
1 −
= −
− +
= f
4 1
4 1
2 4
, 1
2 2
k h
k h
k h
f +
+ −
+ +
+ =
+ +
k hk
k h
k k
h h
7 28
4 4
8 16
2 4
2
2 2
− −
− −
− −
+ +
+ +
+ =
14 2
2 2
− −
+ =
hk k
h
2 2
1 2
2 2
2 2
4 ,
1 4
, 1
k hk
h hk
k h
f k
h f
+ −
= −
+ =
− +
+
2
2 8
9 2
4 1
+ −
= k
k h
untuk semua h, k di dalam ℜ .
Jadi f mempunyai minimum relatif pada titik 1, 4 dengan nilai minimum relatifnya -14.
Contoh 2.8
Selidiki apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem relatif
2 2
, y
x y
x f
− =
Penyelesaian:
Karena f dan turunan parsial pertamanya terdefinisi di semua titik , maka
Teorema 2.6 dapat digunakan. Dengan penurunan parsial didapat:
, y
x
x y
x f
x
2 ,
=
y y
x f
y
2 ,
− =
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan
. Kemudian diperoleh titik 0,0 sebagai titik kritisnya. 2
, =
= x y
x f
x
2 ,
= −
= y
y x
f
y
Pada bidang ,
bernilai positif, dan pada bidang ,
bernilai negatif. Jadi titik 0,0 bukan merupakan nilai ekstrem dari
= y
2
, x
y x
f =
= x
2
, y
y x
f −
=
2 2
, y
x y
x f
− =
. Hal ini ditunjukkan pada grafik di bawah ini.
Gambar 2.11 Grafik fungsi
2 2
, y
x y
x f
− =
dengan titik 0,0 sebagai titik pelananya
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel bahwa syarat belum cukup menjamin bahwa f mempunyai ekstrem pada c. Demikian
pula halnya bahwa syarat
= ′ c
f
, =
y x
f
x
dan
, =
y x
f
y
belum cukup menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel mempunyai ekstrem pada titik
. Untuk itu diperlukan syarat cukup yang menjamin bahwa fungsi dengan dua variabel
mempunyai ekstrem pada titik .
, b
a
, b
a
Teorema 2.7
Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel dengan turunan-turunan parsial tingkat dua yang kontinu pada cakram terbuka
dan . Misalkan
.
; ,
r b
a B
, ,
= =
b a
f b
a f
y x
, ,
. ,
,
2
b a
f b
a f
b a
f b
a H
xy yy
xx
− =
Maka berlaku: 1. f mencapai nilai minimum relatif di titik
jika dan
, b
a ,
b a
H
, b
a f
xx
2. f mencapai nilai maksimum relatif di titik jika
dan
, b
a ,
b a
H
, b
a f
xx
3. f tidak mempunyai nilai ekstrem relatif di titik jika
, b
a ,
b a
H
4. jika , f belum dapat disimpulkan apakah mempunyai nilai
ekstrem atau tidak.
, =
b a
H
Bukti:
1. Misalkan .
, ,
. ,
,
2
y x
f y
x f
y x
f y
x φ
xy yy
xx
− =
Diketahui dan , akan dibuktikan bahwa
adalah nilai minimum relatif.
, b
a φ
, b
a f
xx
, b
a f
Karena ,
dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada cakram
terbuka , maka
juga kontinu di . Akibatnya
terdapat cakram terbuka
xx
f
yy
f
xy
f ;
, r
b a
B ,
y x
φ ;
, r
b a
B ;
, r
b a
B ′
′
, dengan
r r
≤ ′
, sedemikian sehingga
dan untuk setiap
di cakram terbuka
.
, y
x φ
, y
x f
xx
, y
x ;
, r
b a
B ′
′
Misalkan h dan k adalah konstanta-konstanta yang tidak keduanya nol, sedemikian sehingga titik
, k
b h
a +
+
di
; ,
r b
a B
′ ′
. Maka dua persamaan berikut :
ht a
x +
= dan
kt b
y +
=
, 1
≤ ≤ t
mendefinisikan semua titik pada segmen garis yang menghubungkan titik dan
. Misal F adalah fungsi dengan satu variabel yang didefinisikan oleh:
, b
a ,
k b
h a
+ +
, kt
b ht
a f
t F
+ +
=
2.2 Dengan rumus Maclaurin untuk fungsi F dengan satu variabel didapat:
2
2 t
F t
F F
t F
ξ ′′
+ ′
+ =
2.3 dengan
t ξ
untuk t = 1 pada persamaan 2.3 berlaku: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
2 1
ξ ′′
+ ′
+ =
F F
F F
2.4 dengan
1 ξ
Karena dan
, b
a f
F =
, 1
k b
h a
f F
+ +
=
maka dengan persamaan 2.3 didapat:
, ,
2 1
ξ ′′
+ ′
+ =
+ +
F F
b a
f k
b h
a f
2.5 dengan
1 ξ
Untuk mendapatkan
t F ′
dan
ξ ′′
F
digunakan aturan rantai pada persamaan 2.2, maka didapat:
, ,
kt b
ht a
kf kt
b ht
a hf
t F
y x
+ +
+ +
+ =
′
2.6 Jika fungsi f dengan dua variabel dalam x dan y terdefinisi pada cakram
terbuka dan
, ,
dan terdefinisi di B serta
, kontinu B, maka diperoleh:
; ,
r b
a B
xx
f
yy
f
xy
f
yx
f
xy
f
yx
f ,
, y
x f
y x
f
yx xy
=
untuk setiap titik di
.
, y
x
1
B Jadi berlaku:
yy xy
xx
f k
hkf f
h t
F
2 2
2 +
= ′′
2.7 di mana setiap turunan parsial di ruas kanan persamaan 2.6 dihitung di
titik . Dengan memasukkan t = 0 pada persamaan 2.5 dan
pada persamaan 2.6 didapat:
, kt
b ht
a +
+ ξ
= t
, ,
= +
= ′
b a
kf b
a hf
F
y x
2.8 dan
yy xy
xx
f k
hkf f
h F
2 2
2 +
+ =
ξ ′′
2.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
di mana setiap turunan parsial kedua persamaan 2.9 dihitung di titik dengan
, kt
b ht
a +
+ 1
ξ
. Dengan memasukkan persamaan 2.8 dan 2.9 ke dalam persamaan 2.5
akan diperoleh: 2
, ,
2 2
2 1
yy xy
xx
f k
hkf f
h b
a f
k b
h a
f +
+ =
− +
+ 2.10
bentuk-bentuk di dalam tanda kurung pada persamaan 2.9 dapat ditulis sebagai:
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
= +
+
xx yy
xx xy
xx xy
xx xy
xx yy
xy xx
f f
k f
f k
f f
k f
f hk
h f
f k
hkf f
h
2 2
2 2
2 2
2 2
sehingga persamaan 2.10 dapat ditulis:
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ =
− +
+
2 2
2 2
2 ,
, k
f f
f f
f f
h f
b a
f k
b h
a f
xx xy
yy xx
xx xy
xx
2.11
Karena dihitung di titik
2 xy
yy xx
f f
f −
, kt
b ht
a +
+
, maka nilainya sama dengan
, ξ
+ ξ
+ φ
k b
h a
. Jadi akan diperleh bentuk di dalam kurung pada persamaan 2.10 akan bertanda positif. Selain itu karena
, ξ
+ ξ
+ k
b h
a f
xx
, maka dari persamaan 2.11 didapat bahwa bertanda positif.
, ,
b a
f k
b h
a f
− +
+
Terbukti bahwa
, ,
b a
f k
b h
a f
+ +
untuk setiap pada
. Kemudian dengan memakai Definisi 2.8
akan diperoleh bahwa merupakan nilai minimum relatif dari f.
, ,
b a
k b
h a
≠ +
+
1
B
, b
a f
2. Diketahui dan
, b
a φ
, b
a f
xx
, akan dibuktikan bahwa adalah nilai maksimum relatif. Langkah-langkah pembuktian merupakan
, b
a f
analogi dari langkah pembuktian pada kasus pertama. Karena
, ξ
+ ξ
+ k
b h
a
di dalam , maka
; ,
r b
a B
, ξ
+ ξ
+ k
b h
a f
xx
dan dari persamaan 10 didapat bahwa
, ,
b a
f k
b h
a f
− +
+
bertanda negatif.
Jadi terbukti bahwa
, ,
b a
f k
b h
a f
+ +
untuk setiap pada
. Kemudian dengan memakai Definisi 2.7
akan diperoleh bahwa merupakan nilai maksimum relatif dari f.
, ,
b a
k b
h a
≠ +
+
1
B
, b
a f
3. Diketahui ,
, .
, ,
2
− =
b a
f b
a f
b a
f b
a H
xy yy
xx
Dari persamaan 2.9 andaikan bahwa
yy xy
xx
f k
hkf f
h F
2 2
2 +
+ =
2.12 Atau dapat ditulis sebagai
, 2
1
2 2
2
≠ +
+ =
xx xx
yy xx
xy xx
xx
f f
f k
f hkf
f h
f F
[
, 1
2 2
2
≠ −
+ +
=
xx xy
yy xx
xy xx
xx
f f
f f
k kf
hf f
F
]
2.13 Tanda
dari F bergantung pada nilai h dan k.
Misalkan • diambil k = 0, maka
dan F akan mempunyai tanda yang sama dengan
.
xx
f h
F
2
=
xx
f • diambil
xy xx
f hf
k −
= ,maka
xx xx
xx
f f
H k
f H
k F
2 2
2
= =
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 2
xx
f H
k , untuk nilai
xy xx
f hf
k −
= dan F mempunyai tanda yang
berlawanan dengan .
xx
f Dari dua contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa titik kritisnya merupakan
titik pelana karena F tidak memberikan tanda yang sama untuk setiap yang diberikan.
, k
h
Jadi bukan merupakan nilai ekstrem.
, b
a f
4. Untuk akan diselesaikan
dengan deret Taylor yang akan dibahas pada bab selanjutnya. ■
, ,
. ,
,
2
= −
= b
a f
b a
f b
a f
b a
H
xy yy
xx
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem fungsi dengan dua variabel:
1. Menentukan dan ,
y x
f
x
, y
x f
y
2. Menentukan nilai-nilai x dan y di mana ,
= y
x f
x
dan
, =
y x
f
y
untuk mendapatkan nilai kritisnya. 3. Menentukan ,
, dan ,
y x
f
xx
, y
x f
xy
, y
x f
yy
4. Menentukan dan
pada titik kritis.
, ,
. ,
,
2
b a
f b
a f
b a
f b
a H
xy yy
xx
− =
, y
x f
xx
Contoh 2.9
Diketahui fungsi f yang didefinisikan oleh: y
x y
x y
x f
2 2
,
2 2
4
− −
+ =
Tentukan nilai ekstrem relatif dari f
Penyelesaian:
Tururan parsial pertama fungsi f adalah:
x x
y x
f
x
2 8
,
3
− =
2 2
, −
= y y
x f
y
Dari persamaan didapat
2 8
,
3
= −
= x
x y
x f
x 2
1
− =
x ,
= x
dan
2 1
= x
Dari persamaan
2 2
, =
− −
= y
y x
f
y
didapat
1 =
y
Diperoleh titik-titik kritis fungsi f yaitu 1
, ,
1 ,
2 1
− dan
1 ,
2 1
. Kemudian menentukan turunan parsial kedua dari f, yaitu;
2 24
,
2
− =
x y
x f
xx
2 ,
= y
x f
yy
, =
y x
f
xy
kemudian dihitung: 4
1 ,
2 1
= −
xx
f 8
2 .
4 1
, 1
, 1
, 1
,
2 1
2 2
1 2
1 2
1
= −
= −
− −
− =
−
xy yy
xx
f f
f H
.
Karena 1
,
2 1
− H
, maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik 1
,
2 1
− .
2 1
, −
=
xx
f PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4 2
. 2
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
2
− =
− −
= −
=
xy yy
xx
f f
f H
Karena , maka menurut Teorema 2.7 f tidak mencapai minimum
relatif di titik .
1 ,
H 1
,
4 1
,
2 1
=
xx
f 8
2 .
4 1
, 1
, 1
, 1
,
2 1
2 2
1 2
1 2
1
= −
= −
=
xy yy
xx
f f
f H
Karena 1
,
2 1
H , maka menurut Teorema 2.7 f mencapai minimum relatif di
titik 1
,
2 1
. Jadi dapat disimpulkan bahwa f mencapai nilai minimum relatif di titik
1 ,
2 1
− dan titik
1 ,
2 1
dengan nilai minimum relatif adalah
8 9
− .
Contoh 2.10
Tentukan nilai ekstrem relatif untuk fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: 1
2 ,
2 2
+ −
+ =
x y
x y
x f
Penyelesaian:
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah 2
2 ,
− = x
y x
f
x
y y
x f
y
2 ,
=
dengan menyelesaikan ,
= y
x f
x
dan
, =
y x
f
y
, maka akan didapat x = 1 dan y = 0.
Kemudian turunan parsial kedua adalah 2
, =
y x
f
xx
2 ,
= y
x f
yy
, =
y x
f
xy
pada titik 1,0 dipunyai . Karena
dan ,
maka dengan menggunakan Teorema 2.7 mempunyai nilai minimum
relatif dengan nilai minimum relatif sama dengan nol.
4 2
. 2
2
= −
= H
, y
x f
xx
H
, y
x f
Contoh 2.11
Tentukan nilai maksimum dan minimum relatif dari fungsi 20
12 3
,
3 3
+ −
− +
= y
x y
x y
x f
Penyelesaian :
Turunan parsial pertama dari fungsi di atas adalah
3 3
,
3
− = x
y x
f
x
12 3
,
2
− = y
y x
f
y
, =
y x
f
x
untuk 1
± =
x
, =
y x
f
y
untuk
2 ±
= y
Selanjutnya didapat empat titik kritis dari , yaitu:
, y
x f
1,2, -1,2, 1,-2 dan -1,-2 Kemudian turunan parsial kedua adalah
x y
x f
xx
6 ,
=
y y
x f
yy
6 ,
= ,
= y
x f
xy
Kemudian, Pada titik 1,2
6 ,
= y
x f
xx
dan , yang berarti bahwa titik 1,2
merupakan titik minimum relatif dari .
72 2
6 .
1 6
2
= −
= H
, y
x f
Pada titik -1,2 6
, −
= y
x f
xx
dan , yang berarti bahwa
tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik -1,2. 72
2 6
. 1
6
2
− =
− −
= H
, y
x f
Pada titik 1,-2 6
, =
y x
f
xx
dan yang berarti bahwa
tidak mempunyai nilai ekstrem pada titik 1,-2. 72
2 6
. 1
6
2
− =
− −
= H
, y
x f
Pada titik -1,-2 6
, −
= y
x f
xx
dan yang berarti bahwa titik
72 2
6 .
1 6
2
= −
− −
= H
-1,-2 merupakan titik maksimum relatif dari .
, y
x f
Pada fungsi dengan satu variabel, biasanya fungsi yang ingin dicari nilai maksimum atau minimum terdefinisi pada interval tertutup [a,b] sehingga fungsi
tersebut terdefinisi pada himpunan terbatas ℜ . Kemudian terdapat suatu teorema
yang menjamin tentang adanya nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan satu variabel yang kontinu pada interval tertutup [a,b].
Seperti halnya pada fungsi dengan satu variabel, teorema berikut, yang sangat sukar dibuktikan namun secara intuisi jelas, akan membantu dalam
menentukan nilai ekstrem mutlak suatu fungsi dengan dua variabel. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 2.8 Teorema Nilai Ekstrem
Jika fungsi f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas pada , maka f
mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada titik-titik di dalam .
ℜ
ℜ
Jika fungsi kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas
, y
x f
ℜ , maka teorema di atas menjamin adanya nilai maksimum dan minimum mutlak
fungsi pada
. Ekstrem mutlak ini dapat terjadi pada batas ℜ atau
dalam pedalaman , namun jika ekstrem mutlak yang terjadi pada titik
pedalaman, maka hal itu terjadi pada suatu titik kritis.
, y
x f
ℜ
1
ℜ
Teorema 2.9
Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada suatu titik di pedalaman
domainnya, maka ekstrem itu terjadi pada suatu titik kritis.
, y
x f
Bukti:
Jika fungsi mempunyai ekstrem mutlak pada titik
dalam pedalaman domain f, maka
merupakan nilai terbesar atau terkecil dalam pedalaman dmain f. Dengan demikian, ini dapat berarti bahwa nilai terbesar atau terkecil dari
f berada di sekitar titik . Atau dengan kata lain terdapat suatu kitaran yang
berpusat di titik yang menjadikan
adalah suatu nilai terbesar atau terkecil dalam kitaran tersebut. Jadi
mempunyai ekstrem relatif. Jika turunan-turunan parsial
ada pada titik , maka
dan
, y
x f
, b
a ,
b a
f
, b
a ,
b a
, b
a f
, y
x f
, y
x f
, b
a
, =
y x
f
x
, =
y x
f
y
. Menurut Teorema 2.8 maka titik merupakan titik kritis dari
. ■
, b
a ,
y x
f
Berikut merupakan langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrem mutlak dari fungsi
yang kontinu pada himpunan terbatas :
, y
x f
ℜ 1. Menentukan titik-titik kritis dari
yang terletak di dalam .
, y
x f
ℜ 2. Menentukan semua titik perbatasan.
3. Menghitung nilai pada titik-titik perbatasan dan titik-titik kritis,
nilai terbesar akan menjadi nilai maksimum mutlak dan nilai terkcil akan menjadi nilai minimum mutlak.
, y
x f
Contoh 2.12
Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak fungsi yang didefinisikan oleh
7 3
6 3
, +
− −
= y
x xy
y x
f
Pada daerah segitiga tertutup ℜ dengan koordinat-koordinat 0,0, 3,0 dan 0,5
Penyelesaian:
Daerah ℜ tampak pada gambar di bawah ini
x y
0,0 3,0
0,5
Gambar 2. 12 Domain fungsi 7
3 6
3 ,
+ −
− =
y x
xy y
x f
Turunan parsial pertama
7 3
6 3
, +
− −
= y
x xy
y x
f
6 3
, −
= y y
x f
x
3 3
, −
= x y
x f
y
Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dan
6 3
, =
− = y
y x
f
x
3 3
, =
− = x
y x
f
y
kemudian didapat x = 1 dan y = 2. Kemudian ditentukan lokasi titik-titik pada batas
ℜ di mana ekstrem mutlak terjadi. Batas-batas
ℜ terdari dari tiga buah ruas garis, yaitu: Ruas garis di antara titik 0,0 dan titik 3,0
Pada ruas garis ini dipunyai y = 0 dan dapat diubah menjadi fungsi
dengan satu variabel dalam x, yaitu
, y
x f
7 6
, +
− =
= x
x f
x u
dengan .
3 ≤
≤ x Fungsi
7 6
+ −
= x
x u
tidak mempunyai titik kritis karena
6 ≠
− =
′ x u
untuk semua x.
Jadi nilai ekstrem
7 6
+ −
= x
x u
terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara titik 0,0 dan titik 3,0.
Ruas garis di antara titik 0,0 dan titik 0,5 Pada ruas garis ini dipunyai x = 0 dan
dapat diubah menjadi fungsi dengan satu variabel dalam y, yaitu
, y
x f
7 3
, +
− =
= y
y f
y v
dengan .
5 ≤
≤ y
Fungsi
7 3
+ −
= y
y v
tidak mempunyai titik kritis karena
3 ≠
− =
′ x v
untuk semua y.
Jadi nilai ekstrem
7 3
+ −
= y
y v
terjadi pada titik-titik ujung ruas garis di antara titik 0,0 dan titik 0,5.
Ruas garis di antara titik 3,0 dan titik 0,5 Persamaan garis yang melalui titik 3,0 dan titik 0,5 adalah
5
3 5
+ −
= x
y dengan
3 ≤
≤ x . Kemudian fungsi
diubah menjadi fungsi dengan satu variabel dalam x, yaitu:
, y
x f
7 5
3 6
5 3
5 ,
3 5
3 5
3 5
+ +
− −
− +
− =
+ −
= x
x x
x x
x f
x w
8 14
5
2
− +
− =
x x
, dengan 3
≤ ≤ x
Kemudian turunan pertama dari adalah
x w
14 10
+ −
= ′
x x
w
Persamaan
14 10
= +
− =
′ x
x w
akan menghasilkan sebuah titik kritis yaitu
5 7
= x
. Nilai ekstrem terjadi pada titik kritis
x w
5 7
= x
atau titik-titik ujung, yaitu x = 0 dan x = 3.
Dengan memasukan
5 7
= x
ke dalam persamaan 5
3 5
+ −
= x
y , maka akan di dapat
3 8
= y
. Titik
3 8
5 7
, merupakan titik kritis dari
5
3 5
+ −
= x
y .
Kemudian mendaftar semua nilai pada titik kritis dan pada titik-titik batas
di mana ekstrem mutlak terjadi.
, y
x f
, y
x ,
y x
f
0,0 3,0
0.5
3 8
5 7
, 1,2
7 -11
-8
8 9
1
Dari tabel tampak bahwa nilai maksimum mutlak adalah 7 dan terjadi pada titik 0,0 dan nilai minimum mtlak adalah -11 dan terjadi pada titik 3,0. Gambar
berikut merupakan daerah domain
7 3
6 3
, +
− −
= y
x xy
y x
f
dan nilai kritisnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x y
0,0 3,0
0,5
1,2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
3 8
, 5
7
Gambar 2. 13 Domain fungsi 7
3 6
3 ,
+ −
− =
y x
xy y
x f
beserta nilai kritisnya
BAB III
TEOREMA TAYLOR
Salah satu awal penerapan kalkulus adalah perhitungan nilai- nilai fungsi seperti sin x, ln x, dan e .Ide ini muncul untuk mendekati fungsi yang diketahui
dengan suatu polinomial sedemikian rupa sehingga kesalahan dalam menentukan hasilnya cukup kecil atau masih dalam suatu batas toleransi tertentu.
x