Deret Pangkat Pembahasan ekstrem fungsi satu variabel dan dua variabel dengan teorema taylor.
Jadi menurut persamaan 3.3 didapat
. ,
, 3
, 2
, ,
3 2
1 n
n
a n
f a
f a
f a
f a
f =
= =
= =
L
Sehingga diperoleh ,
f a
= ,
1
f a
=
2
2
f a
= ,
, 3
3
f a
=
M .
n f
a
n n
=
Jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan 3.2, maka akan diperoleh suatu polinom Maclaurin untuk fungsi f.
Definisi 3.1
Jika fungsi f berturunan n kali =
x , maka polinomial Maclaurin ke-n untuk f
didefinisikan sebagai =
x
n
ρ
n n
x n
f x
f x
f x
f f
3 2
3 2
+ +
+ +
+ L
3.4
Polinom tersebut bersifat bahwa nilainya dan nilai – nilai n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai f x dan n turunan pertamanya pada
. =
x PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.1
Tentukan polinomial Maclaurin untuk
x
e
Penyelesaian:
Andaikan =
, maka
x f
x
e
x n
e x
f x
f x
f x
f =
= =
= =
L dan
. 1
= =
= =
= =
n
f f
f f
f L
Jadi didapat polinomial Maclaurin ke-n untuk adalah
x
e .
1 3
1 2
1 1
3 2
n n
x n
x x
x x
+ +
+ +
+ =
L
ρ
Contoh 3.2
Tentukan polinom Maclaurin untuk sin x
Penyelesaian:
Andaikan maka
,
x x
f sin
=
x x
f cos
=
. cos
, sin
x x
f x
x f
− =
− =
Sehingga . 1
, ,
1 ,
− =
= =
= f
f f
f Karena , maka pola 0,1,0,-1 akan berulang – ulang jika
berturut – turut menurunkan lagi di sin
4
x f
x x
f =
= =
x . Oleh karena itu akan diperoleh
polinomial Maclaurin untuk sin x adalah x
x x
= +
= 0
1
ρ ,
,
2
x x
x =
+ +
= ρ
, 3
3
3 3
3
x x
x x
x −
= −
+ +
= ρ
, 3
3
3 3
4
x x
x x
x −
= +
− +
+ =
ρ
, 5
3 5
3
5 3
5 3
5
x x
x x
x x
x +
− =
+ +
− +
+ =
ρ
, 5
3 5
3
5 3
5 3
6
x x
x x
x x
x +
− =
+ +
+ −
+ +
= ρ
M Jadi polinomial Maclaurin ke-n untuk sin x adalah
1 2
1 7
5 3
1 2
7 5
3 2
2 1
2
+ −
+ +
− +
− =
=
+ +
+
n x
x x
x x
x x
n n
n n
L ρ
ρ .
Jika berminat pada pendekatan polinom untuk pada suatu interval
dengan pusat
x f
a x
= , maka idenya adalah memilih polinomial
x
ρ pada
a x
= sehingga nilai – nilai
x
ρ dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan
nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada
x f
a x
= . Perhitungan paling sederhana bila pendekatan polinomial dinyatakan dalam bentuk :
3.5
n n
a x
c a
x c
a x
c a
x c
c x
ρ
3 3
2 2
1
− +
+ −
+ −
+ −
+ =
L ,
3 2
1 2
3 2
1 −
− +
+ −
+ −
+ =
n n
a x
nc a
x c
a x
c c
x L
ρ
, 1
2 .
3 2
2 3
2 −
− −
+ +
− +
=
n n
a x
c n
n a
x c
c x
L
ρ
, 2
1 2
. 3
3 3
−
− −
− +
+ =
n n
a x
c n
n n
c x
L
ρ M
. 2
1
n n
n
c n
c n
n n
x =
− −
= L
ρ untuk
a x
= diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c a
= ρ
, ,
,
1
c a
= ρ
2 2
2 2
c c
a =
= ρ
, 3
2 .
3
3 3
c c
a =
=
ρ M
. 3
2 1
n n
n
c n
c n
n n
n a
= −
− −
= L
ρ Jadi, bila diinginkan nilai dari
x
ρ dan n turunan pertamanya bersesuaian
dengan nilai – nilai dan n turunan pertamanya pada
x f
a x
= , akan diperoleh : ,
a f
c =
,
1
a f
c =
, 2
2
a f
c =
3
3
a f
c =
, M
. n
a f
c
n n
= Selanjutnya jika nilai – nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan 3.5 akan
diperoleh polinomial yang disebut polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar a
x = .
Definisi 3.2
Jika fungsi f berturunan n kali pada a
x = , maka polinomial Taylor ke – n
disekitar a
x = didefinisikan sebagai :
L +
− +
− +
− +
=
3 2
3 2
a x
a f
a x
a f
a x
a f
a f
x ρ
n
n n
a x
n a
f −
+ 3.6
Contoh 3.3
Tentukan Polinom Taylor
4
x ρ
untuk disekitar
x
e
1 =
x .
Penyelesaian:
Andaikan diperoleh
x
e x
f =
x
e x
f x
f x
f x
f =
= =
=
4
dan .
e f
f f
f f
= =
= =
= 1
1 1
1 1
4
Jadi polinomial Taylor ke – 4 untuk disekitar
x
e
1 =
x adalah
4 4
3 2
4
1 4
1 1
3 1
1 2
1 1
1 1
− +
− +
− +
− +
= x
f x
f x
f x
f f
x ρ
4 3
2 4
1 4
1 3
1 2
1 −
+ −
+ −
+ −
+ =
x e
x e
x e
x e
e x
ρ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
− +
− +
− +
=
4 3
2 4
1 4
1 1
3 1
1 2
1 1
1 x
x x
x e
x
ρ .
Contoh 3.4
Tentukan polinomial Taylor
4
x ρ
untuk sin x disekitar
. 2
π
= x
Penyelesaian:
Andaikan maka diperoleh
x x
f sin
=
. sin
, cos
, sin
, cos
4
x x
f x
x f
x x
f x
x f
= −
= −
= =
dan
. 1
2 ,
2 ,
1 2
, 2
4
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
π π
π π
f f
f f
Jadi polinomial Taylor ke -4 untuk sin x disekitar
2
π
= x
adalah
3 2
4
2 2
3 1
2 2
2 1
2 2
2 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
π π
π π
π π
π ρ
x f
x f
x f
f x
4 4
2 2
4 1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+
π π
x f
=
4 2
2 4
1 2
2 1
1 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
−
π π
x x
.
Kadang – kadang dalam mempermudah penyajian untuk menyatakan rumus definisi polinomial Taylor dengan menggunakan notasi sigma. Untuk
melakukan hal ini digunakan notasi untuk menyatakan turunan tingkat k
dari f pada a
f
k
a x
= dan membuat penyajian tambahan bahwa menyatakan
Hal ini akan memungkinkan untuk menulis polinomial dalam bentuk : a
f
. a
f
n n
k k
n k
a x
n a
f a
x a
f a
x a
f a
f a
x k
a f
2
2
− +
+ −
+ −
+ =
−
∑
=
L
Karena nilai dari f dan n turunan pertamanya bersesuaian dengan nilai polinomial Taylor dan n turunan pertama pada
a x
= akan menjadi lebih baik PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dalam mendekati , sekurang – kurangnya dalam suatu interval yang
berpusat di
x f
a x
= .