Deret Taylor Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel

Berikut diberikan Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel. Teorema 3.1 Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Satu Variabel Jika fungsi berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam suatu interval yang memuat titik a dan x f n n n a x n a f a x a f a x a f a f x 2 2 − + + − + − + = L ρ adalah polinomial Taylor ke – n untuk f disekitar . a x = Maka untuk setiap x dalam interval, ada sekurang – kurangnya satu titik c antara a dan x sedemikian hingga 1 1 1 + + − + = − = n n n n a x n c f x x f x R ρ . 3.9 Bukti : Menurut hipotesis, f berturunan n + 1 kali pada setiap titik dalam interval yang memuat titik a . Pilih suatu titik b dalam interval ini dan kita anggap Andaikan . a b x n ρ adalah polinomial Taylor ke – n untuk f di sekitar a x = dan didefinisikan x x f x H n ρ − = 3.10 3.11 1 + − = n a x x G Karena f x dan x n ρ bernilai sama dan n turunan pertama juga sama di a x = , maka 3.12 = = = = = a H a H a H a H n L 1 + − = n a x x G 3.13 n a x n x G 1 − + = 3.14 = = = = = a G a G a G a G n L x G dan n turunan pertamanya tak nol bila a x ≠ . Secara langsung dapat diperiksa bahwa fungsi H dan G memenuhi hipotesis dari teorema Perluasan Nilai Tengah pada interval [ ] b a, , sehingga ada titik dalam interval sedemikian sehingga 1 c b a, 1 1 c G c H a G b G a H b H = − − 3.15 atau dari 3.12 dan 3.14 didapat 1 1 c G c H b G b H = 3.16 Jika digunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah untuk H dan atas interval , maka dapat diturunkan bahwa ada suatu titik dengan sedemikian hingga G [ 1 , c a ] 2 c b c c a 1 2 2 2 1 1 c G c H a G c G a H c H ′′ ′′ = ′ − ′ ′ − ′ atau dari 3.12 dan 3.14 didapat 2 2 1 1 c G c H c G c H ′′ ′′ = ′ ′ yang bila dikombinasikan dengan 3.16 akan menghasilkan 2 2 c G c H b G b H ′′ ′′ = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Sekarang jelaslah bahwa bila diteruskan dengan cara ini dan dengan menggunakan Teorema Perluasan Nilai Tengah dengan menurunkan berturut – turut H dan G, akhirnya diperoleh hubungan dalam bentuk 1 1 1 1 + + + + = n n n n c G c H b G b H 3.17 di mana . b c a n +1 Akan tetapi adalah polinomial berderajat n sehingga turunan tingkat adalah nol . x ρ n 1 + n Jadi dari 3.10 didapat . 3.18 1 1 1 1 + + + + = n n n n c f c H Juga dari 3.11 , turunan tingkat 1 + n dari Gx adalah konstan sehingga 1 + n 3.19 1 1 1 + = + + n c G n n Dengan subtitusi 3.18 dan 3.19 ke dalam 3.17 diperoleh 1 1 1 + = + + n c f b G b H n n . Dengan memisalkan dan dengan menggunakan 3.10 dan 3.11 berlakulah bahwa 1 + = n c c 1 1 1 + + − + = − n n n a b n c f b ρ b f Dan ini adalah tepat 3.9 dalam Teorema Taylor dengan pengecualian bahwa variabel disini bukan x . Jadi untuk menyelesaikannya perlu mengganti b dengan x. 1 1 1 + + − + = ρ − = n n n n a x n c f x x f x R Jika 3.9 ditulis kembali sebagai x R x x f n n + = ρ maka didapat hasil berikut yang disebut rumus Taylor dengan sisa : n n a x n a f a x a f a x a f a f x f 2 2 − + + − + − + = L 1 1 1 + + − + + n n a x n c f 3.20 dimana c diantara a dan x .

D. Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel

Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel merupakan perluasan dari Teorema Taylor untuk fungsi dengan satu variabel. Teorema 3.2 Teorema Taylor untuk fungsi dengan dua variabel Jika fx,y adalah fungsi dengan dua variabel yang mempunyai turunan parsial hingga pangkat ke- n + 1 yang kontinu pada suatu kitaran yang berpusat pada titik a,b dan Polinomial Taylor ke-n untuk f disekitar titik a,b adalah : ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + = 2 2 2 1 , , , x a x b a f b y a x b a f y x y x n ρ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ − − x a x n b a f y b y y x b y a x 1 ... , 2 2 2 2 , , b a f y b y n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ − maka untuk setiap x.y dalam kitaran, ada sekurang – kurangnya satu titik sedemikian hingga 1 , 1 b a . , , , , 1 1 1 b a f y b y x a x y x y x f y x R n n n ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = − = + ρ Bukti : Diketahui fx,y adalah fungsi dengan dua variabel x dan y yang terdefinisi Pada himpunan tertutup dan terbatas dan turunan parsial kontinu dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik a,b. 1 + n f Jika variabel t dikenalkan dengan bantuan relasi kt b y ht a x + = + = , dimana h dan k adalah konstanta, akan dihasilkan fungsi dari variabel tunggal t yaitu , , kt b ht a f y x f t F + + = = Dengan bantuan definisi turunan parsial diperoleh dt dy y x f dt dx y x f t F y x , , + = = . , , y x kf y x hf y x + ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤ + + ⎥⎦ ⎤ + = dt dy dt dy y x f dt dx y x f dt dx dt dy y x f dt dx y x f t F yy xy yy xx , , , , ] [ ] [ k y x kf y x hf h y x kf y x hf yy xy yx xx , , , , + + + = = , , , , 2 2 y x f k y x hkf y x hkf y x f h yy xy yx xx + + + = . , , 2 , 2 2 y x f k y x hkf y x f h yy yx xx + + ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ + + = dt dx dt y d y x f dt dy dt dx y x f dt x d y x f t F yyx xyx xxx 2 2 2 2 , , 2 , + ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ + + = dt dy dt y d y x f dt dy dt dx y x f dt x d y x f yyy xyy xxy 2 2 2 2 , , 2 , = ] [ + + + h y x f k y x hkf y x f h yyx xyx xxx , , 2 , 2 2 ] [ k y x f k y x hkf y x f h yyy xyy xxy , , 2 , 2 2 + + = + + + , , 2 , 2 2 3 y x hf k y x kf h y x f h yyx xyx xxx , , 2 , 3 2 2 y x f k y x f hk y x kf h yyy xyy xxy + + = . , , 3 , 3 , 3 2 2 3 y x f k y x f hk y x kf h y x f h yyy xyy xxy xxx + + + . . . Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu : , , y f k x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 y f k y x f hk x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 3 3 , 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 y f k y x f hk y x f k h x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . . . , , y x f y k x h t F n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n y f k y x f hk C y x f k h C x f h ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ − − − − − L PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI