BAB II EKSTREM FUNGSI
SATU VARIABEL DAN DUA VARIABEL
Ada dua hal mendasar yang muncul ketika berbicara tentang nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f. Pertama, apakah fungsi f mempunyai
nilai maksimum atau minimum. Kedua, jika fungsi f mempunyai nilai maksimum atau minimum, di titik-titik di mana f mencapai nilai maksimum atau minimum
dan berapa nilai maksimum atau minimumnya. Dalam bab ini akan ditentukan titik tertinggi dan titik terendah dari grafik
suatu fungsi.
A. Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel
Definisi maksimum dan minimum suatu fungsi dengan satu variabel diberikan sebagai berikut.
Definisi 2.1
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada titik c
x = jika untuk sebarang
ε yang
diberikan akan dapat ditentukan δ
sedemikian hingga jika δ
− c x
maka ε
− c
f x
f .
Definisi 2. 2
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka jika f kontinu di
setiap titik pada interval tersebut.
, b
a
Definisi 2.3 Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup
[ ]
b a,
jika f kontinu di setiap titik dari
dan jika
, b
a lim
a f
x f
a x
=
+
→
dan
lim b
f x
f
b x
=
−
→
atau disebut kekontinuan kanan di titik a dan kekontinuan kiri di titik b.
Definisi 2.4
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di c jika terdapat interval sedemikian hingga
untuk setiap x dalam interval . Jika hubungan
berlaku untuk setiap x dalam domain f, maka f disebut mempunyai nilai maksimum mutlak di c.
, δ
c δ
c +
− x
f c
f ≥
, δ
c δ
c +
− x
f c
f ≥
Definisi 2.5
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di c jika terdapat interval sedemikian hingga
, δ
c δ
c +
− x
f c
f ≤
untuk setiap x dalam interval . Jika hubungan
, δ
c δ
c +
− x
f c
f ≤
berlaku untuk setiap x dalam domain f, maka f disebut mempunyai nilai minimum mutlak di c.
Bila fungsi f mempunyai maksimum atau minimum relatif di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem relatif di c dan bila fungsi f
mempunyai maksimum atau minimum mutlak di c, maka dikatakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrem mutlak di c. Untuk lebih jelasnya perhatikan grafik di bawah
ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
a b
c
1
c
2
c
3
c
4
x y
y = f x
maks multak maks relatif
min multak min relatif
f c
1
f c
3
f c
2
f c
4
Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya
dari suatu fungsi f x dalam interval [a, b]
Dari grafik di atas tampak bahwa: • nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c
1
• nilai maksimum relatif dicapai pada x = c
3
dan x = b • nilai minimum mutlak dicapai pada x = c
4
• nilai minimum relatif dicapai pada x = c
2
dan x = a
Contoh 2.1
Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik
fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka
. Akan tetapi
3
1 −
= x x
f
2
1 3
− =
′ x
x f
1 =
′ f
x f
, jika 1
x dan
, jika . Jadi f tidak
mempunyai ekstrem relatif di titik satu.
x f
1 x
Kategori