Maksimum dan Minimum suatu Fungsi dengan Satu Variabel

a b c 1 c 2 c 3 c 4 x y y = f x maks multak maks relatif min multak min relatif f c 1 f c 3 f c 2 f c 4 Gambar 2.1 Nilai-nilai maksimum dan minimum serta jenisnya dari suatu fungsi f x dalam interval [a, b] Dari grafik di atas tampak bahwa: • nilai maksimum mutlak dicapai pada x = c 1 • nilai maksimum relatif dicapai pada x = c 3 dan x = b • nilai minimum mutlak dicapai pada x = c 4 • nilai minimum relatif dicapai pada x = c 2 dan x = a Contoh 2.1 Tinjau fungsi f yang didefinisikan oleh . Sket dari grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 2.2. Karena , maka . Akan tetapi 3 1 − = x x f 2 1 3 − = ′ x x f 1 = ′ f x f , jika 1 x dan , jika . Jadi f tidak mempunyai ekstrem relatif di titik satu. x f 1 x y x 1 Gambar 2.2 Grafik fungsi 3 1 − = x x f Contoh 2.2 Misalkan diketahui fungsi x x f 2 = . Keterangan dari grafik f pada selang [1, 4 diberikan pada Gambar 2.3. Fungsi f mempunyai nilai minimum mutlak sebesar 2 pada [1, 4 tetapi tidak mempunyai nilai maksimum mutlak pada interval [1, 4 karena untuk setiap 4 , 1 [ ∈ x selalu ada nilai x yang memberikan nilai yang lebih besar. x f 1 4 2 8 y x Gambar 2.3 Grafik fungsi x x f 2 = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.3 Diberikan fungsi . Sket dari grafik f pada selang -3, 2] diperlihatkan pada Gambar 2.4. Fungsi f mempunyai nilai maksimum mutlak sebesar 0 pada selang -3, 2]. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum mutlak pada selang -3, 2] karena untuk setiap 2 x x f − = ] 2 , 3 − ∈ x selalu ada nilai x yang memberikan nilai yang lebih kecil. x f -3 2 -4 -9 x y Gambar 2.4 Grafik fungsi 2 x x f − = Bagaimana dapat ditentukan di mana terjadinya ekstrem relatif suatu fungsi f ? Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai titik peralihan yang memisahkan daerah di mana grafik fungsi itu naik menjadi turun atau sebaliknya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Teorema berikut dapat digunakan untuk melokalisir kemungkinan nilai- nilai c yang memberikan ekstrem relatif. Teorema 2.1 Jika fungsi f kontinu pada interval [ ] b a, dan terdeferensial pada interval maka: , b a 1. fungsi f naik pada interval [ ] b a, jika ′ x f untuk semua titik dalam interval . , b a 2. fungsi f turun pada interval [ ] b a, jika ′ x f untuk semua titik dalam interval . , b a Ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi pada titik-titik di mana fungsi f berturunan pada titik-titik di mana garis singgung pada grafik adalah horisontal. Definisi 2.6 Titik kritis suatu fungsi f adalah nilai x di dalam domain di mana atau f tidak berturunan. Jika c adalah suatu titik di mana = ′ x f = ′ c f , maka c disebut titik stasioner. Dinamakan titik stasioner karena pada titik ini grafik fungsi f mendatar atau horisontal atau gais singgungnya mendatar. Ekstrem relatif dapat terjadi pada titik kritis. Pertama, jika fungsi f mempunyai turunan pertama di titik ekstremnya, misal titik c, maka garis singgung di titik tersebut adalah mendatar atau = ′ c f . Namun titik stasioner PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ini tidak selalu menjadi titik ekstrem, sebagai contoh fungsi . Dalam kasus ini , tetapi 0,0 bukan titik kritis dari grafik fungsi , seperti diperlihatkan dalam gambar di bawah ini. 3 x x f = = ′ c f 3 x x f = Gambar 2.5 Grafik fungsi 3 x x f = Keadaan di mana atau f tidak berturunan belum menjamin terjadinya ekstrem suatu fungsi. Untuk diperlukan suatu teorema yang menyatakan syarat perlu adanya ekstrem suatu fungsi. = ′ x f Teorema 2.2 Jika fungsi f mempunyai ekstrem pada c, maka = ′ c f atau f tidak berturunan. Bukti: Pada kasus ini terdapat dua kemungkinan, yaitu f berturunan pada c atau f tak berturunan. Pertama, jika f tak berturunan , maka c adalah titik kritis untuk f . Kedua, jika f berturunan pada c, maka harus diperlihatkan bahwa . = ′ c f a. Jika adalah maksimum relatif dari f, maka terdapat interval sedemikian sehingga jika c + h dalam interval dengan c f ] , [ δ c δ c + − ] , [ δ c δ c + − h c c + ≠ maka c f h c f + . i. Jika maka h − + h c f h c f ii. Jika maka h − + h c f h c f c c + h c + h δ − c δ + c x y fc h 0 h 0 Gambar 2.6 Jika berturunan pada x = c , maka ada dan x f c f ′ c f c f c f ′ = ′ = ′ − + , yaitu: lim ≤ − + = ′ + → + h c f h c f f h dan lim ≥ − + = ′ − → − h c f h c f f h Karena dan ≥ ′ − f ≤ ′ + f , maka = ′ c f . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI b. Jika adalah minimum relatif dari f, maka terdapat interval sedemikian sehingga jika c + h dalam interval dengan c f ] , [ δ c δ c + − ] , [ δ c δ c + − h c c + ≠ maka c f h c f + . i. Jika maka h − + h c f h c f ii. Jika h maka − + h c f h c f Jika berturunan pada x = c , maka ada dan x f c f ′ c f c f c f ′ = ′ = ′ − + , yaitu: lim ≥ − + = ′ + → + h c f h c f f h dan lim ≤ − + = ′ − → − h c f h c f f h Karena dan ≤ ′ − f ≥ ′ + f , maka = ′ c f . ■ c c + h c + h δ − c δ + c x y fc h 0 h 0 Gambar 2.7 Sifat suatu titik kritis sering ditentukan dengan naik turunnya kurva di sekitar titik kritis. Teorema 2.3 Teorema Nilai Rata-rata Jika fungsi f kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada titik a,b maka terdapat titik c di dalam interval a,b sedemikian sehingga a b a f b f c f − − = ′ . Bukti: Misal diberikan fungsi dan seperti gambar di bawah ini. x f x g x y fb fa a b y = fx sx x y = gx Gambar 2.8 Pembuktian berdasarkan pada analisis fungsi x g x f x s − = . Andaikan adala persamaan tali busur yang menghubungkan titik ke . Karena garis ini mempunyai kemiringan x g y = , a f a , b f b a b a f b f − − dan melalui PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , a f a , maka bentuk kemiringan untuk persamaannya adalah a x a b a f b f a f x g − − − = − atau a f a x a b a f b f x g + − − − = . Kemudian ini menghasilkan rumus untuk , yaitu: x s a x a b a f b f a f x f x g x f x s − − − − − = − = Tampak bahwa = = b s a s . Untuk setiap fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan terdeferensial pada interval a,b dan x s = = b s a s maka fungsi terdapat titik c di dalam interval a,b sedemikan sehingga x s = − − − ′ = ′ a b a f b f c f c s . Jadi terbukti bahwa a b a f b f c f − − = ′ . ■ Teorema 2.4 Teorema Uji Turunan Pertama untuk Nilai Ekstrem Relatif Andaikan fungsi f kontinu dan terdeferensial pada interval terbuka yang memuat titik kritis c, maka: , b a 1. adalah nilai maksimum relatif, jika c f ′ x f untuk semua x di dalam interval dan , c a ′ x f untuk semua x di dalam interval , b c 2. adalah nilai minimum relatif, jika c f ′ x f untuk semua x di dalam interval dan untuk semua x di dalam interval , c a ′ x f , b c 3. bukan nilai ekstrem relatif jika c f x f ′ bertanda sama pada kedua pihak c. Bukti: a Akan dibuktikan bahwa f mempunyai maksimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam a, b x f c f ≥ • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval a, c. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval a, c maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval x, c sedemikian sehingga ξ ′ = − − f x c x f c f atau ξ ′ − = − f x c x f c f − x c karena x c dan ξ ′ f karena f ′ positif dimana-mana pada interval a, c. Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval a, c. − x f c f x f c f • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval c, b. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval c, b maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval c, x sedemikian sehingga ξ ′ = − − f c x c f x f atau ξ ′ − = − f c x c f x f − c x karena c x dan ξ ′ f karena f ′ negatif dimana-mana pada interval c, b. Jadi − c f x f atau c f x f dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval c, b. Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval a, b. c f x f b Akan dibuktikan bahwa f mempunyai minimum relatif pada c dengan memperlihatkan bahwa untuk semua x di dalam a, b x f c f ≥ • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval a, c. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval a, c maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval x, c sedemikian sehingga ξ ′ = − − f x c x f c f atau ξ ′ − = − f x c x f c f − x c karena x c dan ξ ′ f karena f ′ negatif dimana-mana pada interval a, c. Jadi − x f c f atau x f c f dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval a, c. • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval c, b. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval c, b maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval c, x sedemikian sehingga ξ ′ = − − f c x c f x f atau ξ ′ − = − f c x c f x f − c x karena c x dan ξ ′ f karena f ′ positif dimana-mana pada interval c, b. Jadi − c f x f atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval c, b. c f x f Jadi berlaku untuk setiap x di dalam interval a, b. c f x f c Untuk membuktikan bagian ini akan ditinjau dalam dua kemungkinan, yaitu: i. Jika untuk semua x dalam a, c dan ′ x f ′ x f untuk semua x dalam c, b, maka bukan merupakan nilai ekstrem. c f • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval a, c. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval a, c maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval x, c sedemikian sehingga ξ ′ = − − f x c x f c f atau ξ ′ − = − f x c x f c f − x c karena x c dan ξ ′ f karena negatif di mana- mana pada interval a, c. f ′ Jadi − x f c f atau x f c f dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval a, c. • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval c, b. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval c, b maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval c, x sedemikian sehingga ξ ′ = − − f c x c f x f atau ξ ′ − = − f c x c f x f − c x karena c x dan ξ ′ f karena f ′ negatif di mana- mana pada interval c, b. Jadi − c f x f atau c f x f dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval c, b. Karena untuk setiap x di dalam interval a, c. dan untuk setiap x di dalam interval c, b, maka bukan merupakan nilai ekstrem relatif. x f c f c f x f c f ii. Jika untuk semua x dalam a, c dan ′ x f ′ x f untuk semua x dalam c, b, maka bukan merupakan nilai ekstrem. c f • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval a, c. Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval a, c maka teorema nilai rata-rata dipenuhi pada interval [x, c]. Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval x, c sedemikian sehingga ξ ′ = − − f x c x f c f atau ξ ′ − = − f x c x f c f − x c karena x c dan ξ ′ f karena f ′ positif di mana- mana pada interval a, c. Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval a, c. − x f c f x f c f • Andaikan x adalah sebarang titik dalam interval . Karena f kontinu pada c dan berturunan pada interval c, b maka Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi pada interval [c, x]. , b c Jadi terdapat suatu titik ξ di dalam interval c, x sedemikian sehingga ξ ′ = − − f c x c f x f atau ξ ′ − = − f c x c f x f − c x karena c x dan ξ ′ f karena f ′ positif di mana- mana pada interval c, b. Jadi atau dan dipenuhi untuk semua x di dalam interval c, b. − c f x f c f x f Karena untuk setiap x di dalam interval dan untuk setiap x di dalam interval , maka bukan merupakan nilai ekstrem relatif. ■ x f c f , c a c f x f , b c c f Teorema 2.5 Teorema Uji Turunan Kedua Andaikan f berturunan dua kali pada titik stasioner c, maka : a. Jika , maka f mempunyai minimum relatif pada titik c. ′′ c f b. Jika , maka f mempunyai maksimum relatif pada titik c. ′′ c f Bukti : Dengan menggunakan definisi turunan dapat dituliskan : c x c f c x c f x f i i c x ≠ = − − → , lim 2.1 a. Menurut hipotesis sehingga dapat memilih c f ε dalam definisi limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari 2.1 ada δ sedemikian hingga ε − − − c f c x c f x f bilamana − c x δ , c x ≠ atau ε ε + − − − c f c x c f x f c f ,bilamana x dalam interval . , , c x c c ≠ + − δ δ Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan ditunjukkan bahwa : - untuk semua x dalam , x f δ + c c, . - untuk semua x dalam , x f c c , δ − . Ini menyusul dari uji turunan pertama bahwa f memiliki minimum relatif pada c. Apabila ε 0 yang dipilih kurang dari maka c f c x c f x f − − terletak antara dua bilangan positif, yang artinya : − − c x c f x f bilamana . , , c x c c ≠ + − δ δ Selanjutnya dapat ditulis : − c f x f atau untuk semua x dalam c f x f δ + c c, dan atau untuk semua x dalam − c f x f c f x f c c , δ − . Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . = c f Ini berarti : - untuk semua x dalam x f δ + c c, . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - untuk semua x dalam x f c c , δ − . b. Menurut hipotesis sehingga dapat memilih c f ε dalam definisi limit. Sehingga berdasarkan kesimpulan dari 2.1 ada δ sedemikian hingga ε + − − c f c x c f x f bilamana − c x δ , c x ≠ atau ε ε + − − − − − c f c x c f x f c f ,bilamana x dalam interval . , , c x c c ≠ + − δ δ Untuk membuktikan bahwa f memiliki minimum relatif pada c akan diperlihatkan ditunjukkan bahwa : - untuk semua x dalam , x f δ + c c, . - untuk semua x dalam , x f c c , δ − . Karena ε yang dipilih merupakan bilangan positif yang sangat kecil maka c f x c x f − − terletak antara dua bilangan negatif, yang artinya : − − c x c f x f bilamana . , , c x c c ≠ + − δ δ Selanjutnya dapat ditulis : - atau untuk semua x dalam − c f x f \ c f x f δ + c c, . - atau untuk semua x dalam − c f x f c f x f c c , δ − . Menurut hipotesis, c merupakan titik stasioner dari f , jadi . = c f Ini berarti : - 0 untuk semua x dalam x f δ + c c, . - 0 untuk semua x dalam x f c c , δ − . ■ Contoh 2.4 Periksa nilai ekstrem untuk untuk setiap x dalam ℜ 5 6 2 + − = x x x f Penyelesaian : Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan maka untuk x = 3. Titik kritis fungsi di atas adalah 3 2 6 2 − = − = x x x f = x f 3 = x 2 = x f maka . 2 3 = f Jadi f mempunyai nilai minimum relatif dengan nilai minimum relatif adalah 4 3 − = f Contoh 2.5 Untuk , 4 3 3 1 2 3 + − − = x x x x f gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrem relatif fungsi tersebut Penyelesaian : Titik kritis fungsi didapat dengan menyelesaikan 3 1 3 2 2 − + = − − = x x x x x f maka untuk x = -1 dan x = 3. = x f 2 2 − = x x f . Karena dan maka 4 1 − = − f 4 3 = f PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI f -1 adalah nilai maksimum relatif dan f 3 adalah nilai minimum relatif.

B. Maksimum dan Minimum Fungsi dengan Dua Variabel

Dalam subbab sebelumnya telah dibahas tentang salah satu penggunaan turunan fungsi dengan satu variabel dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Dalam subbab ini, akan dibahas tentang perluasan untuk fungsi dengan dua variabel. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada fungsi dengan satu variabel. Pada fungsi dengan dua variabel peranan interval terbuka digantikan dengan cakram terbuka dan peranan interval tertutup digantikan dengan cakram tertutup. Definisi nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dengan dua variabel diberikan sebagai berikut: Definisi 2. 7 Misalkan adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram terbuka sedemikian sehingga yang terletak pada cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik dengan nilai maksimum . , y x f z = , b a ; , r b a B , , y x f b a f ≥ , b a , b a , b a f Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak dalam daerah definisi fungsi , , y x f b a f ≥ , y x , y x f z = , maka fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di titik dengan nilai maksimum . , b a , b a f Definisi 2. 8 Misalkan , y x f z = adalah fungsi dengan dua variabel yang terdefinisi pada suatu daerah di bidang yang memuat titik . Jika terdapat suatu cakram terbuka sedemikian sehingga , b a ; , r b a B , , y x f b a f ≤ yang terletak pada cakram terbuka yang berpusat di titik dengan jari-jari r, maka fungsi f dikatakan mencapai minumum relatif di titik dengan nilai minimum . , b a , b a , b a f Jika hubungan berlaku untuk setiap titik yang terletak dalam daerah definisi fungsi , , y x f b a f ≤ , y x , y x f z = , maka fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di titik dengan nilai minimum . , b a , b a f Kedua definisi di atas dapat diperlihatkan dalam ilustrasi di bawah ini. Gambar 2. 9 Nilai-nilai ekstrem dari fungsi dengan duavariabel , y x f z = Dari grafik tampak bahwa fungsi , y x f z = terdefinisi di dalam domainnya yaitu bidang persegi tertutup pada bidang –xy yang titik-titiknya memenuhi ketaksamaan 1 ≤ ≤ x , 1 ≤ ≤ y . Fungsi , y x f z = mempunyai maksimum relatif di titik B dan minimum relatif di titik A dan titik C. Fungsi juga mempunyai minimum mutlak di titik A dan maksimum mutlak di titik D. , y x f z = Jika f mempunyai nilai maksimum relatif atau minimum relatif di titik maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem relatif di titik dan jika mempunyai nilai maksimum mutlak atau minimum mutlak di titik maka dikatakan bahwa f mempunyai ekstrem mutlak di titik . , b a , b a , b a , b a Teorema 2.6 Misal terdefinisi pada semua titik pada cakram terbuka dan f mencapai mempunyai nilai ekstrem relatif pada titik serta turunan parsial tingkat pertama dari f ada pada titik , maka , y x f z = ; , r b a B , b a , b a , = b a f x dan , = b a f y . Bukti: Akan dibuktikan dalam dua kasus, yaitu jika adalah nilai maksimum relatif dan adalah nilai minimum relatif. , b a f , b a f i. Akan diperlihatkan bahwa jika f mempunyai nilai maksimum relatif pada dan ada, maka , b a , b a f x , = b a f x . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI