Teorema Taylor untuk Fungsi dengan Dua Variabel

⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ + + = dt dx dt y d y x f dt dy dt dx y x f dt x d y x f t F yyx xyx xxx 2 2 2 2 , , 2 , + ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ + + = dt dy dt y d y x f dt dy dt dx y x f dt x d y x f yyy xyy xxy 2 2 2 2 , , 2 , = ] [ + + + h y x f k y x hkf y x f h yyx xyx xxx , , 2 , 2 2 ] [ k y x f k y x hkf y x f h yyy xyy xxy , , 2 , 2 2 + + = + + + , , 2 , 2 2 3 y x hf k y x kf h y x f h yyx xyx xxx , , 2 , 3 2 2 y x f k y x f hk y x kf h yyy xyy xxy + + = . , , 3 , 3 , 3 2 2 3 y x f k y x f hk y x kf h y x f h yyy xyy xxy xxx + + + . . . Turunan fungsi di atas dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu : , , y f k x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 y f k y x f hk x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 3 3 , 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 y f k y x f hk y x f k h x f h y x f y k x h t F ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . . . , , y x f y k x h t F n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n y f k y x f hk C y x f k h C x f h ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ − − − − − L PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , 1 1 y x f y k x h t F n n + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡ n n n n n n n n n n n n n n y f k y x hk C y x f k h C x f h L Dapat digunakan rumus Maclaurin untuk fungsi Ft dan menghasilkan 1 1 3 2 1 3 2 + + + + + + + + + = n n n n t n t F t n F t F t F t F F t F θ L 3.21 dimana . 1 θ Ambil t = 1, maka diperoleh : 1 3 2 1 1 + θ + + + + + + = + n F n F F F F F F n n L 3.22 tetapi . , 1 k b h a f F + + = Jika t = 1 maka a x = dan b y = sehingga diperoleh , b a f F = , b a f y k x h F ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , , 2 , 2 2 b a f k b a hkf b a f h F yy xy xx + + = . , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a f y k x h b a f y k y x hk x h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = , , , 3 , 3 , 3 2 2 3 b a f k b a f hk b a kf h b a f h F yyy xyy xxy xxx + + + = , , , 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 3 b a f y k x h b a f y k y x hk y x k h x h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = M . , 1 1 k b h a f y k x h F n n θ θ θ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + Dari 3.22 diperoleh ⎟⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , , , y k y x hk x h b a f y k x h b a f k b h a f , 1 1 , 1 1 k b h a f y k x h n b a f y k x h n n n θ θ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + + + L 3.23 dimana . 1 θ Persamaan 3.23 merupakan fungsi , , , y x R y x y x f n n + = ρ di sekitar titik a,b dengan mengganti h a x + = , k b y + = dan h a a θ + = 1 , k b b θ + = 1 di mana , k b h a θ θ + + dalam suatu kitaran yang berpusat pada titik a,b dan . 1 θ

BAB IV PENGGUNAAN TEOREMA TAYLOR

UNTUK MENENTUKAN EKSTREM SUATU FUNGSI

A. Penyelesaian Ekstrem Fungsi

untuk Kasus = ′′ c f Misalkan adalah fungsi satu variabel yang mempunyai turunan pertama sampai dengan turunan ke – n yang bernilai nol di titik kritis c, dan kontinu di c dengan , maka dapat diuraikan menjadi deret Taylor dengan sisa di sekitar titik x f 1 x f n + 1 ≠ + c f n x f c x = , yaitu : 1 1 1 θh c f n h c f h c f n n + + = − + + + untuk suatu biangan θ dengan 1 θ . Berdasarkan sifat kekontinuan, maka tanda sama dengan tanda . 1 θh c f n + + 1 c f n + Apabilai n gasal maka: a. mencapai maksimum di c jika x f 1 + c f n b. mencapai minimum di c jika x f 1 + c f n Apabilai n genap maka tidak terjadi ekstrem di c. Contoh 4.1 Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 3 2 x x f = Penyelesaian: Turunan-turunan fungsi di titik kritis 3 2 x x f = = x adalah: 2 6 x x f = ′ = ′ f x x f 12 = ′′ = ′′ f Karena , maka selanjutnya memeriksa turunan ketiga dari fungsi di titik kritis = ′′ f 3 2 x x f = = x , dan didapat 12 = ′′′ x f 12 ≠ = ′′′ f Kemudian digunakan rumus Taylor dengan sisa di sekitar , yaitu: 3 x R = x 1 2 1 2 1 2 θh f h f h f + + = − + + + atau 3 3 θh f h f h f ′′′ = − di mana di dalam interval . θh δ,δ − Karena n genap dan maka tanda dari = c f n 3 3 θh f h f h f ′′′ = − berubah, yaitu: • Jika maka untuk setiap h h x = di dalam interval berlaku δ, − − f h f . • Jika maka untuk setiap h h x = di dalam interval berlaku , δ − f h f . Karena tanda dari 3 3 θh f h f h f ′′′ = − berubah-ubah, maka bukan merupakan nilai ekstrem. Jadi fungsi tidak memiliki nilai ekstrem. f 3 2 x x f = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 4.2 Periksa apakah fungsi mempunyai nilai ekstrem atau tidak. 4 x x f = Penyelesaian: Turunan-turunan fungsi di titik kritis 4 x x f = = x adalah: 3 4 x x f = ′ = ′ f 2 12 x x f = ′′ = ′′ f x x f 24 = ′′′ = ′′′ f 24 4 = x f 24 4 ≠ = f Karena diperoleh = ′′′ = ′′ = ′ f c f c f dan , maka digunakan rumus Taylor dengan sisa di sekitar 4 ≠ f 4 x R = x , yaitu: 1 3 1 3 1 3 θh f h f h f + + = − + + + 4 4 4 θh f h f h f = − di mana di dalam interval θh , δ δ − . Tanda dari akan sama dengan tanda dari . Karena , maka untuk setiap f h f − 4 θh f 4 θh f h x = di dalam interval berlaku . Jadi fungsi memiliki nilai ekstrem minimum. , δ δ − − f h f 4 x x f =