41
dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi
hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif atau
bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpngan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu ut. Struktur seperti itu dinamakan
struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa
m, kekauan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan
atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom MDOF. Akhrnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah
jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.
2.6.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF
Sistem derajat kebebasan tunggal SDOF hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang
ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah contoh derajat kebebasan tunggal. Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF. Tampak bahwa Pt
adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak
pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti
Universitas Sumatera Utara
42
yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom, dan redaman.
Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF sumber: Widodo, 2000
Apabila beban dinamik Pt bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti gambar 2.1.c. gambar-gambar
tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,
�� − �
�
− �
�
= �� ���� �� + �
�
+ �
�
=
�� Pers. 2.1
Dimana: �
�
= �. � ̇
�
�
=
�. � Pers. 2.2
Apabila persamaan 2.1 disubstitusikan ke persamaan 2.2, maka akan diperoleh:
��̈ + ��̇ + �� = �� Pers. 2.3
Universitas Sumatera Utara
43
Persamaan 2.3 adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik pt. Pada problem dinamik, sesuatu
yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah ut.
2.6.2 Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi
bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselerogram. Tanah ini bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar
terutama struktur bangunan. Untuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah
maka anggapan diatas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung
bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan differensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan
dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.
Universitas Sumatera Utara
44
Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion sumber: Widodo , 2000
Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar diatas maka deformasi total yang terjadi adalah
�
�
� = �� + �̈
�
� Pers. 2.4
Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia �
1
tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi
�
�
+ �
�
+ �
�
= 0 Pers. 2.5
Dimana inersia adalah, �
�
= ��
�
Pers. 2.6
Dengan mensubsitusikan pers. 2.2 dan 2.3 ke 2.5 dan 2.4, sehingga diperoleh persamaannya sebagai berikut,
Universitas Sumatera Utara
45
��̈ + ��̇ + �� = −��̈
�
� Pers. 2.7
Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif.
Ruas kanan pada pers. 2.7 disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja
pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa:
P
eff
t = −mü
g
t Pers. 2.8
2.6.3 Persamaan differensial struktur MDOF 2.6.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman
Untuk menyatakan persamaan differensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada
struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti pada prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak
MDOF. Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik dynamic equilibrium pada suatu massa yang
ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung
dengan jumlahnya tingkat. Persamaan differensial gerakan tersebut umumnya
Universitas Sumatera Utara
46
disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan
lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. Maka akan diperoleh:
�
1
�̈
1
+ �
1
�̇
1
+ �
1
�
1
− �
2
�̇
2
− �̇
1
− �
1
�
2
− �
1
= �
1
� Pers. 2.9
�
2
�̈
2
+ �
2
�̇
2
− �̇
1
+ �
2
�
2
− �
1
− �
3
�̇
3
− �̇
2
− �
3
�
3
− ��
2
= �
2
�
Pers. 2.10
�
3
�̈
3
+ �
3
�̇
3
− �̇
2
+ �
3
�
3
− �
2
= �
3
�
Pers.2.11
Disederhanakan menjadi: �
1
�̈
1
+ �
1
+ �
2
�̇
1
− �
2
�̇
2
+ �
1
+ �
2
�
1
− �
2
�
2
= �
1
� Pers. 2.12
�
2
�̈
2
+ �
2
+ �
3
�̇
2
− �
2
�̇
1
− �
3
�̇
3
+ �
2
+ �
3
�
2
− �
2
�
1
− �
3
�
3
= �
2
�
Pers. 2.13
�
3
�̈
3
+ �
3
�̇
3
− �
3
�̇
2
+ �
3
�
3
− �
3
�
2
= �
3
� Pers. 2.14
Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
� �
1
�
2
�
3
� � �̈
1
�̈
2
�̈
3
� + � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� � �̇
1
�̇
2
�̇
3
� + � �
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
� � �
1
�
2
�
3
� = � �
1
� �
2
� �
3
� �
Pers. 2.15
Persamaan 2.15 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks, [
�]��̈� + [�]��̇� + [�]{�} = {��} Pers. 2.16
Yang mana [ �], [�] ��� [�] berturut-turut adalah matriks massa, matriks
redaman dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[ �] = �
�
1
�
2
�
3
�
,
[ �] = �
�
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
�
,
[ �] = �
�
1
+ �
2
−�
2
−�
2
�
2
+ �
3
−�
3
−�
3
�
3
�
Universitas Sumatera Utara
47
Pers .2.17
Sedangkan { �̈}, {�̇}, {�} ���{��} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor
kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,
{ �̈} = �
�̈
1
�̈
2
�̈
3
� , {�̇} = � �̇
1
�̇
2
�̇
3
� , {�} = � �
1
�
2
�
3
� , ���{��} = � �
1
� �
2
� �
3
�
� Pers .2.18
Secara visual Chopra 1995 menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan
�
�
, �
�
, ��� �
�
Sumber: Chopra, 1995
2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF 2.6.4.1 Nilai karakteristik
