Kajian Perbandingan Respon Dinamik Linier Dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) Mengunakan Modal Analisis (Mode Superposition Method) Dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method)

(1)

KAJIAN PERBANDINGAN RESPON DINAMIK LINIER

DENGAN ANALISIS RIWAYAT WAKTU (TIME HISTORY

ANALYSIS) MENGUNAKAN MODAL ANALISIS (MODE

SUPERPOSITION METHOD) DAN INTEGRASI LANGSUNG

(DIRECT TIME INTEGRATION METHOD)

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

disusun oleh :

09 0404 138

KEVIN

BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

(2)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur saya ucapkan kepada Allah SWT, karena atas rahmat karunia-Nya, serta dukungan dari berbagai pihak, sehingga saya dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik. Sholawat dan Salam tidak lupa pula saya curahkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, yang telah membawa kita menuju alam yang terang benderang akan ilmu pengetahuan seperti saat ini.

Tugas Akhir ini berjudul “KAJIAN PERBANDINGAN RESPON DINAMIK LINIER DENGAN ANALISIS RIWAYAT WAKTU (TIME HISTORY ANALYSIS) MENGUNAKAN MODAL ANALISIS (MODE SUPERPOSITION METHOD) DAN INTEGRASI LANGSUNG (DIRECT TIME INTEGRATION METHOD)”. Tugas akhir ini disusun sebagai salah satu syarat menempuh jenjang pendidikan Strata Satu (S-1) pada Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

Untuk dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, tentunya tidak dapat terlepas dari segala hambatan dan rintangan, namun berkat bantuan moril maupun materil dari berbagai pihak serta dukungan dan saran dari berbagai pihak, akhirnya Tugas Akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk tidak berlebihan kiranya dalam kesempatan ini saya mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Ir. Sanci Barus, MT. dan Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT., selaku dosen pembimbing yang telah memberikan begitu banyak ilmu yang tak ternilai harganya serta masukan-masukan, tenaga, pikiran yang dapat membimbing saya sehingga terselesaikannya Tugas Akhir ini.

(3)

2. Bapak Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan, selaku Ketua Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara

3. Bapak Ir. Syahrizal, MT, selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak/Ibu Dosen Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan banyak sekali ilmu yang bermanfaat selama saya menempuh pendidikan di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

5. Bapak/Ibu Staf TU Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan bantuan dalam proses administrasi selama saya menempuh pendidikan di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

6. Kedua orang tua saya yang tidak pernah lelah berdoa, memberikan semua yang terbaik, kasih sayang yang tak terhingga dan untuk abang dan adik yang selalu mendukung terima kasih banyak.

7. Teman mahasiswa seperjuangan 2009, terutama buat Agus Budiman Sikumbang dan Muhammad Multazam, buat Mia, Firdha, Dewi, Waida, Aya, Evi, Putri, Ryan, Ridho, Rahman, Aul, Irwan, Deko, Toni, Khairun, Benny, Lanacing, Asa, Ersha makasih ya dan buat stambuk 2009 yang tidak bisa di sebut satu-satu.

8. Abang dan Kakak mahasiswa stambuk 2006, 2007, 2008 yang telah banyak membantu memberikan informasi maupun memberikan dukungan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.

(4)

9. Adik-adik mahasiswa stambuk 2010, 2011, 2012, 2013 yang telah banyak membantu memberikan dukungan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. Saya menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari sempurna, sehingga saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk menambah pengetahuan dan wawasan saya di masa depan.

Akhirnya saya berharap semoga laporan ini dapat bermanfaat bagi saya dan rekan-rekan serta adik-adik di Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara.

Medan, 2014

(5)

ABSTRAK

Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Penyederhanaan yang dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA)

Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu.

Untuk menganalisis masalah dinamik linier riwayat waktu (time history) terdapat dua metode, yaitu Modal Analisis (Mode Superposition Method) dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method).

Pada tugas akhir ini dianjurkan untuk menggunakani Metode Modal Analisis, karena hasilnya lebih akurat walaupun pengerjaannya memerlukan waktu yang lama dibandingkan dengan Metode Integrasi langung baik menggunakan Metode Newmark maupun Metode Wilson yang hasilnya kurang akurat namun waktu pengerjaan yang lebih cepat.

Kata kunci : (Time History Analysis, THA), Direct Integration, Modal Analysis, Mode Superposition Method ,respon dinamik, Newmark, Wilson.

(6)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.……... i

ABSTRAK.……... iv

DAFTAR ISI.……... v

DAFTAR NOTASI.……... ix

DAFTAR TABEL.……... xii

DAFTAR GAMBAR.……... xiii

DAFTAR LAMPIRAN.……... xvii

BAB I Pendahuluan 1. 1. Latar Belakang Masalah..……... 1

1. 2. Perumusan Masalah………. 9

1. 3. Maksud dan Tujuan……….. 9

1. 4. Pembatasan Masalah……… 10

1. 5. Metodologi Penulisan………... 11

BAB II Tinjauan Pustaka 2. 1. Umum……….. 12

2. 2. Komponen Struktur………. 13

2. 3. Tinjauan Perencanaan Struktur Bangunan……….. 13

2. 3. 1. Metode Analisa Statik……… .……….…….. 13

(7)

2. 3. 3 Pembebanan……….…..….. 14

2. 4. Karakteristik Struktur Bangunan.……….…….…….. 16

2. 4. 1 Massa………...…….. 17

2. 4. 1. 1. Model lumped mass……….…….. 17

2. 4. 1. 2. Model consistent mass matrix.……….…….…….. 18

2. 4. 2. Kekakuan.……….…...….…….. 19

2. 4. 3. Redaman.………...…….…….…….. 19

2. 5. Simpangan (Drift) Akibat gaya Gempa.………..….…….. 20

2. 6. Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF) .………..…….. 21

2. 6. 1. Persamaan Differensial Struktur SDOF.……….. 22

2. 6. 2. Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion... 23

2. 6. 3. Persamaan differensial struktur MDOF.……….…….. 25

2. 6. 3. 1. Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman... 25

2. 6. 4 Getaran bebas pada struktur MDOF.……….…...….. 28

2. 6. 4. 1. Nilai karakteristik (eigenproblem) .……….…….. 28

2. 6. 4. 2. Frekuensi sudut (�) dan normal modes...…….……... 30

2. 6. 5. Getaran Bebas pada struktur MDOF.……….……... 33

2. 6. 5. 1. Modal Analisis (Mode Superposition Method) .……...…….. 33

2. 6. 5. 1. 1. Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier.……….. 34

2. 6. 5. 1. 1. 1. Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam.…..……. 34

2. 6. 5. 1. 1. 2. Persamaan Modal untuk sistem teredam…...…….…….. 37

2. 6. 5. 1. 1. 3. Respon perpindahan.………...….…….…….. 39

2. 6. 5. 1.1. 4. Gaya elemen .………...….…….…….. 40

2. 6. 5. 1. 2. Analisis Gempa Pada Sistem Linier.………..….. 41

2. 6. 5. 1. 2. 1. Analisis Modal (Response History Analysis).…….…... 41

(8)

2. 6. 5. 1. 2. 3. Ekspansi Modal dari perpindahan dan gaya .…….…….. 42

2. 6. 5. 1. 2. 4. Persamaan Modal .………...….…….……. 43

2. 6. 5. 1. 2. 5. Modal Response.……….…….…...….. 44

2. 6. 5. 1. 2. 6. Response Total.……….…….…... 45

2. 6. 5. 1. 2. 7. Intepretasi Analisis Modal.………....…….…….. 46

2. 6. 5. 1. 2. 8. Analysis of Response to Base Rotation.………….…….. 49

2. 6. 5. 1. 3 Persamaan Differensial Independen.………....…….. 49

2. 6. 5. 1. 4. Respon Struktur.……….…….……... 54

2. 6. 5. 1. 4. 1. Upperbound Response.……….…….……... 54

2. 6. 5. 1. 4. 2. Reasonable Response.……….……...…….. 57

2. 6. 5. 1. 5. Getaran bebas tanpa Redaman.……….…….….... 58

2. 6. 5. 1. 6. Getaran bebas dengan Redaman .………..…….…….…….. 59

2. 6. 5. 2. Persamaan differensial pada integrasi numerik.………..…….. 61

2. 6. 5. 2. 1. Penyelesaian Persamaan Differensial Gerakan.………..….. 62

2. 6. 5. 2. 2. Metode Time-stepping.……….…….…...…... 62

2. 6. 5. 2. 3. Analisis sistem linear dengan redaman nonclassical..……... 64

2. 6. 5. 2. 4. Metode �- Newmark.………...….…….…….. 67

2. 6. 5. 2. 5. Metode �- Wilson.………...………….…….……... 69

BAB III. Metodologi dan Analisa 3. 1. Perencanaan Struktur Gedung………... 72

3. 2. Langkah-langkah Perhitungan…..……….……... 73

3. 3. Metodologi Analisa...………....………....……... 85

BAB IV Perencanaan dan Pembahasan 4. I. Data Perencanaan………...………... 86

(9)

4. 1. 1. Perhitungan Pembebanan Lantai.……….….…….……. 91 4. 1. 2. Perhitungan Kekakuan Kolom.………....….…….……. 92 4. 1. 3. Perhitungan Massa.………...….…...….……. 93

4. 1. 4 Perhitungan Time History perpindahan, percepatan, interstory drift setiap lantai serta base shear total dengan metode analisis superposisi (Modal Analysis) .………... 94 4. 1. 5. Perhitungan Time History perpindahan, percepatan, interstory drift

setiap lantai serta base shear total dengan metode Integrasi Langsung (Direct Integration) .………... 107 4. 1. 5. 1. Metode Integrasi Langsung ( Newmark- �) .…..……... 107

4. 1. 5. 1. 1. Metode Integrasi Langsung dengan Constant Average

Acceleration Method ( Newmark- �) .……...…... 108 4. 1. 5. 1. 2. Metode Integrasi Langsung dengan Linear Acceleration

Method (Newmark- �) ...….……...……... 120 4.1.5.2 Metode Integrasi Langsung ( Wilson- �) .……..….…….…….. 130 4.1.5.2.1 Metode Integrasi Langsung dengan � = 1 (Wilson-�)…..….. 131 4.1.5.2.2 Metode Integrasi Langsung dengan � = 1,42 (Wilson-�) ... 145 4.2 Perencanaan Struktur 5 Lantai Dengan Program SAP 2000... 159 4.2.1 Pembebanan Perlantai.……..….…….……... 161

4. 2. 2 Perhitungan Perpindahan, Kecepatan, Percepatan dan Base Shear dengan Metode Modal Analisis dengan Program SAP... 164 4. 2. 3 Perhitungan Perpindahan, Kecepatan, Percepatan dan Base Shear

dengan Metode Intregrasi Langsung (Newmark-�) dengan Program SAP 2000.……...…... 171 4. 2. 3. 1 Metode Integrasi Langsung (Newmark- (�= 1

2) .…...…... 171

4. 2. 3. 2 Metode Integrasi Langsung (Newmark- (�= 1

6) .…...…... 180

4. 2. 4 Perhitungan Perpindahan, Kecepatan, Percepatan dan Base Shear dengan Metode Intregrasi Langsung (Wilson-�) dengan Program SAP 2000.……...…... 189 4. 2. 4. 1 Metode Integrasi Langsung (Wilson- (� = 1) .…...…... 189

(10)

4. 2. 4. 2 Metode Integrasi Langsung (Wilson- (� = 1,42) .…...…... 198

BAB V Kesimpulan dan Saran……… 207

5.1. Kesimpulan………... 208

5.2. Saran…….……….... 209

Daftar Pustaka Lampiran

(11)

DAFTAR NOTASI

a percepatan

An(t) response pseudo-acceleration c redaman struktur

[�] matriks redaman Dn(t) respons defornasi E modulus elastisitas f frekuensi getaran struktur fy tegangan leleh baja

Fn ` gaya gempa yang terjadi pada lantai ke-n Fn(t) gaya statik ekuivalen

g percepatan grafitasi h tinggi struktur bangunan I faktor keutamaan gedung

I inersia

k kekakuan kolom

[�] matriks kekakuan k, a dan b konstanta

Ln bentang bersih terpanjang m massa dari struktur SDOF [�] matriks massa

(12)

M momen

p gaya

P(t) gaya yang bekerja pada struktur yang berubah terhadap waktu Peff(t) gaya beban efektif

rn(t) respons mode ke-n sn distribusi gaya efektivitas t tebal pelat lantai atau pelat atap T waktu getar alami yang diperkirakan Ta waktu getar alami fundamental

Tcomputed nilai periode yang diperoleh dari eigen value

�(�) perpindahan yang berubah terhadap waktu

�̇(�) kecepatan yang berubah terhadap waktu

�̈(�) percepatan yang berubah terhadap waktu

�̈�(�) percepatan tanah akibat gempa

Vstatik gaya dasar nominal statik ekivalen

Vb base shear

WD Beban Mati

Wl Beban Hidup

Wn berat struktur pada lantai ke-n Wtotal berat total struktur

Wu Beban Terfaktor

� perpindahan

�̇ kecepatan

�̈ percepatan

(13)

Z modal amplitudo Det determinan matriks

ω frekuensi natural struktur

ξ redaman struktur

Γ ragam partisipasi getaran φn ragam getaran mode ke-n

Δ simpangan antar lantai (drift)

Δt beda waktu

Δp perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau

Δui perubahan simpangan ke-i

Δ�̇i perubahan kecepatan ke-i

Δ�̈i perubahan percepatan ke-i

Δyi perubahan simpangan ke-i

Δ�̇i perubahan kecepatan ke-i

Δ�̈i perubahan percepatan ke-i

ρ berat jenis beton

β perbandingan antara bentang bersih terpanjang dan bentang bersih terpendek

δ lendutan δmax lendutan maksimum

(14)

DAFTAR TABEL

BAB I BAB II BAB III BAB IV

Tabel 4.1 Tabel Hasil Amplitudo akibat Gempa Kobe... 100 Tabel 4.2 Respon Struktur MDOF dengan Metode Modal Analisis... 102 Tabel 4.3 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung

(Newmark) dengan Constant Acceleration Metho... 115 Tabel 4.4 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung

(Newmark) dengan Linear Acceleration... 127 Tabel 4.5 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung (Wilson

θ=1 ) ... 140 Tabel 4.6 Respon Struktur MDOF dengan Metode Integrasi langsung (Wilson

(15)

DAFTAR GAMBAR

BAB I BAB II

Gambar 2.1 Pemodelan struktur MDOF... 22

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion... 24

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan Fs, Fd dan F... 27

Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika... 30

Gambar 2.5 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami... 35

Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami... 39

Gambar 2.7 Konsep Modal Analysis... 48

Gambar 2.8 Prinsip Metode Superposisi... 51

Gambar 2.9 Kontribusi setiap mode pada simpngan pada masa ke-3... 56

Gambar 2.10 Prinsip Integrasi Wilson-θ... 70

BAB III Gambar 3.1 Perencanaan Struktur Gedung 2 lantai... 72

Gambar 3.2 Perencanaan Struktur Gedung 5 lantai... 72

Gambar 3.3 Grafik Average Acceleration... 78

Gambar 3.2 Grafik Linear Acceleration... 79

(16)

BAB IV

Gambar 4.1 Struktur Bangunan 2 Lantai (2dimensi)... 86

Gambar 4.2 Struktur Bangunan 2 Lantai (2dimensi)... 94

Gambar 4.3 Struktur Bangunan 2 Lantai (2dimensi)... 107

Gambar 4.4 Struktur Bangunan 2 Lantai (2dimensi)... 130

Gambar 4.5 Struktur Bangunan 5 Lantai (2dimensi)... 159

Gambar 4.6 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 164

Gambar 4.7 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 165

Gambar 4.8 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 165

Gambar 4.9 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000. 166 Gambar 4.10 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 167

Gambar 4.11 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 168

Gambar 4.12 Pemasukkan Beban Gempa Pada Program SAP 200... 169

Gambar 4.13 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 171

Gambar 4.14 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 172

Gambar 4.15 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 172

Gambar 4.16 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000 ... 173

Gambar 4.17 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 174

Gambar 4.18 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 175

Gambar 4.19 Pemasukkan Tipe Load Time History Linear Direct Integration pada Program SAP 2000... 176

Gambar 4.20 Pemasukkan nilai �= 1 2 dan � = 1 4 pada Program SAP 2000 ... 177 Gambar 4.21 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan

(17)

Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber:

Chopra, 1995) ... 178

Gambar 4.22 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 180

Gambar 4.23 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 181

Gambar 4.24 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 181

Gambar 4.25 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP 2000. 182 Gambar 4.26 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 183

Gambar 4.27 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 184

Gambar 4.28 Pemasukkan Tipe Load Time History Linear Direct Integration pada Program SAP 2000... 185

Gambar 4.29 Gambar IV.19 Pemasukkan nilai � =1 6 dan � = 1 4 pada Program SAP 2000... 186

Gambar 4.30 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan berdasarkan dari Eksperimental data Modal damping ratio Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber: Chopra, 1995... 187

Gambar 4.31 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 189

Gambar 4.32 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 190

Gambar 4.33 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 191

Gambar 4.34 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP2000.. 191

Gambar 4.35 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 192

Gambar 4.36 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 193

Gambar 4.37 Pemasukkan Tipe Load Time History Linear Direct Integration pada Program SAP 2000... 194

Gambar 4.38 Pemasukkan nilai � = 1 pada Program SAP 2000... 195

Gambar 4.39 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan berdasarkan dari Eksperimental data Modal damping ratio

(18)

Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber:

Chopra, 1995) ... 196

Gambar 4.40 Pendimensian Struktur Pada Program SAP 2000... 198

Gambar 4.41 Perletakan Struktur Pada Program SAP 2000... 199

Gambar 4.42 Penentuan Material Struktur Pada Program SAP 2000... 199

Gambar 4.43 Pendimensian Balok dan Kolom Pada Program SAP2000.. 200

Gambar 4.44 Pemasukkan Beban Hidup Dan Beban Mati Pada Program SAP 2000... 201

Gambar 4.45 Pemasukkan Akselerogram Gempa Kobe Pada Program SAP 2000... 202

Gambar 4.46 Pemasukkan Tipe Load Time History Linear Direct Integration pada Program SAP 2000... 203

Gambar 4.47 Pemasukkan nilai �= 1,42 pada Program SAP 2000... 204

Gambar 4.48 Pemasukkan Proposional redaman massa dan kekakuan berdasarkan dari Eksperimental data Modal damping ratio Vibration Properties of Millikan Library Building (sumber: Chopra, 1995) ... 205

(19)

DAFTAR LAMPIRAN

(20)

ABSTRAK

Untuk menganalisis masalah dinamik linier riwayat waktu (time history) terdapat dua metode, yaitu Modal Analisis (Mode Superposition Method) dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method).

Kata kunci : (Time History Analysis, THA), Direct Integration, Modal Analysis, Mode Superposition Method ,respon dinamik, Newmark, Wilson.

(21)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Indonesia adalah negara yang dilalui 2 jalur seismik. Hal ini menyebabkan gempa bumi sering terjadi di negara ini. Bagi seorang insinyur teknik sipil khususnya struktur, beban gempa menjadi aspek penting yang perlu diperhitungkan dalam mendesain bangunan terutama dari segi struktural. Gerakan tanah akibat gempa bumi umumnya sangat tidak teratur dan hanya terjadi beberapa detik sampai puluhan detik saja, walaupun kadang-kadang dapat terjadi lebih dari satu menit. Namun demikian gempa yang durasinya lebih dari satu menit ini sangat jarang terjadi, karena sifat getarannya yang acak dan tidak seperti beban statik pada umumnya maka efek beban gempa terhadap respon struktur tidaklah dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Hasil penelitian para ahli menyimpulkan bahwa massa bangunan akan berpengaruh terhadap percepatan tanah di bawah bangunan yang bersangkutan (umumnya lebih kecil). Penyederhanaan yang dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu

(22)

menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)

Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)

Analisis dinamik linier riwayat waktu (time history) sangat cocok digunakan untuk analisis struktur yang tidak beraturan terhadap pengaruh gempa rencana. Mengingat gerakan tanah akibat gempa di suatu lokasi sulit diperkirakan dengan tepat, maka sebagai input gempa dapat didekati dengan gerakan tanah yang disimulasikan. Dalam analisis ini digunakan hasil rekaman akselerogram gempa sebagai input data percepatan gerakan tanah akibat gempa. Rekaman gerakan tanah akibat gempa diambil dari akselerogram gempa Kobe yang direkam. Dalam analisis ini redaman struktur yang harus diperhitungkan dapat dianggap 5% dari redaman kritisnya. Faktor skala yang digunakan = g x I/R dengan g = percepatan grafitasi (g = 981 cm/det2).

(23)

Analisis dinamis Time History linier adalah suatu cara untuk menentu memerlukan solusi dari respons dinamis struktur yang berperilaku elastis penuh (linier) terhadap beban dinamis. Persamaan keseimbangan dinamis :

[�][�]̈ + [�] [�]̇ + [�][�] =�(�) ��. (�.�) Dengan M, C dan K berurut- turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. �,�̇ �� ̈ berturut-turut adalah matriks percepatan, matriks kecepatan dan matriks perpindahan dan P(t) adalah beban dinamik.

Untuk menganalisis masalah dinamik linier riwayat waktu (time history) terdapat dua metode, yaitu Modal Analisis (Mode Superposition Method) dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method).

Ada satu perbedaan mendasar antara solusi persamaan dinamis ekuilibrium dengan integrasi langsung dan dengan modal analisis. Dalam integrasi langsung, persamaan dinamis ekuilibrium yang terintegrasi langsung di dasar elemen hingga asli sedangkan sebelum memecahkan persamaan kesetimbangan, metode modal analisis membutuhkan transformasi ke dasar yang baru. Sebuah proporsi upaya komputasi dalam pendekatan modal analis diarahkan derivasi dari suatu himpunan vektor yang bersama-sama membentuk cocok dasar transformasi. Umumnya, eigen adalah vektor yang paling cocok , namun seperti dibahas secara rinci kemudian, serangkaian alternatif vektor terkadang komputasi lebih efisien.

Metode Modal Analisis adalah salah satu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan pada struktur bangunan derajat kebebasan (MDOF). Metode ini dipakai khusus untuk menyelesaikan problem

(24)

dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat itu adalah bahwa respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar mode shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping ini juga tidak mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur yang mempunyai standar mode shapes adalah struktur elastik dan struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa metode modal analisis ini juga memiliki kelemahan yaitu terletak pada penyelesaian Eigenproblem untuk mencari nilai koordinat mode shapes. Hal ini terjadi karena untuk struktur yang mempunyai banyak derajat kebebasan , bagian inilah yang memerlukan banyak usaha. Setelah nilai-nilai mode shapes diperoleh, maka proses transformasi dari coupled menjadi uncoupled dapat dilakukan. Karena persamaan menjadi uncoupled, maka tidak diperlukan matriks massa, redaman dan matriks kekakuan. Pada metode ini umumnya dipakai konsep ekivalen redaman yang nilainya sama untuk setiap mode. Lebih lanjut juga dikatakan bahwa persamaan diferensial dapat menjadi uncoupled apabila tipe dampingnnya proporsional.

Metode Integrasi Langsung adalah alternatif lain, yang mana penyelesaian persamaan dilakukan dengan cara integrasi langsung persamaan diferensial coupled. Pada metode ini matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan harus tersedia dan dipakai secara langsung. Matriks massa dan matriks kekakuan adalah sesuai model MDOF struktur. Namun demikian matriks redaman harus disususn secara khusus karena koefisien redaman umumnya bergantung pada mode. Dalam

(25)

konsep hal ini konsep ekivalen damping rasio tidak lagi dapat digunakan. Untuk dapat menyusun matriks redaman, maka masih diperlukan frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode.

Pada metode integarsi langsung ini, walaupun mode-shape tidak diperlukan namun demikian mencari nilai frekuensi sudut � sudah hampir sama dengan menghitung mode shapes. Dapat diartikan seperti itu karena mode-shapes/eigenvector nilai-nilainya akan bergantung pada eigenvalue yaitu nilai-nilai frekuensi sudut �. Karena diperlukan damping matriks, maka macam-macam jenis/tipe redaman dapat diakomodasi pada metode ini.

Metode Analisis Linier time history integrasi Langsung untuk menyelesaikan persamaan (1) , terdapat beberapa metode yaitu Metode �-Newmark dan Metode � -Wilson.

Banyak metode numerik saat ini tersedia untuk memecahkan persamaan (1) dengan integrasi langsung, sehingga bahwa masalah utama yang harus ditangani oleh peneliti adalah pemilihan skema yang efisien. Pilihan ini pada dasarnya didasarkan pada pertimbangan yang berkaitan dengan stabilitas, akurasi dan upaya komputasi. Pentingnya sifat algoritmik, bagaimanapun, sangat tergantung pada masalah khusus dipertimbangkan, karena prosedur solusi yang efisien harus benar mensimulasikan fitur utama dari masalah.

A.G.Gillies dan R. Shepherd (1983)[2] membahas Prediksi Respon Struktur Gempa Elastis dengan metode Modal Analisis (modal Superposisi). Untuk penentuan respon dinamik dari system struktur untuk gerakan tanah modal superposisi menawarkan pendekatan alternatif untuk metode integrasi langsung. Sedangkan

(26)

prinsip modal superposisi ditemui umumnya dalam analisis elastis, respon struktur menghasilkan diperkirakan hampir secara universal oleh integrasi langsung dari persamaan gerak linier. Dibahas juga prinsip modal superposisi yang diperluas ke dalam domain pasca-elastis. Di antara keuntungan yang diperoleh dari transformasi berbasis modal adalah potensial pengurangan jumlah dinamis derajat kebebasan yang ditelah diselesaikan, dan wawasan baru ke dalam respons struktur disediakan oleh sifat dinamis sesaat struktur. Dibahas juga prinsip modal superposisi, yang ditemui umumnya dalam menanggapi elastis time history, diperluas ke domain pasca-elastis. Peneliti sebelumnya cenderung mengabaikan pendekatan secara praktis, namun hal ini disampaikan bahwa dengan beberapa pemulihan dari mengkoordinasikan transformasi mendasar untuk pendekatan, modal superposisi dapat berhasil melampaui batas elastis dan skema yang dihasilkan adalah kompetitif dengan integrasi langsung. Sebuah keuntungan tambahan dari metode superposisi yang disediakan oleh time history sifat dinamis dari sistem yang dihasilkan dalam skema ini. Mengakses dengan frekuensi sesaat dan modus Bentuk struktur memberikan catatan sensitivitas dinamis untuk rekaman gempa tertentu.

Hans M. Hiber, Thomas J.R. Hughes dan Robert L. Taylor (1977)[2] menbahas Peningkatan disipasi numerik untuk waktu Algoritma integrasi dalam struktur dinamis.Dalam struktur banyak aplikasi dinamika hanya respon modus rendah yang menguntungkan. Untuk kasus penggunaan algoritma mutlak tanpa syarat stabil umumnya lebih disukai algoritma yang stabil. Sebuah hal baru tanpa syarat stabil metode time-step untuk integrasi langsung dari persamaan dinamika struktur diperkenalkan dan terbukti memiliki sifat yang lebih baik redaman algoritmik yang dapat dikendalikan. Hal baru dibandingkan dengan Newmark,

(27)

metode Houbolt dan Wilson. Hal baru tanpa syarat stabil time-step algoritma untuk dinamika struktur telah dikembangkan yang memiliki perbaikan sifat-sifat redaman algoritmik yang dapat dikendalikan berkelanjutan. Secara khusus adalah mungkin untuk mencapai nol redaman. Hal ini menunjukkan bahwa ada hal baru yang lebih akurat dalam metode yang lebih rendah daripada metode wilson, namun lebih kuat disipatif dalam mode yang lebih tinggi. Metode baru melibatkan penyimpanan sepadan bila dibandingkan dengan metode Newmark dan Wilson, dan tidak lebih sulit untuk diimplementasikan.. .

L. Brusa dan L. Nigro (1980)[3] mengkaji tentang evaluasi metode numerik untuk integrasi langsung pada persamaan struktural dinamis. Pemilihan prosedur integrasi langsung yang efisien untuk persamaan dinamika struktur gerak linier yang akan dibahas. Hal ini menunjukkan bahwa sebagai parameter akurasi kesalahan pemotongan pada istilah eksponensial terkandung dalam kontribusi modal dari solusi yang tepat diasumsikan. Kesalahan ini tidak selalu bertepatan dengan kesalahan pemotongan lokal. Pertimbangan ini digunakan untuk merancang sebuah tanpa syarat stabil metode time-step yang akurasi adalah O(h4). Perbandingan numerik dengan beberapa integrasi pada skema menunjukkan efisiensi metode yang diusulkan.

Masalah evaluasi tersebut telah dipertimbangkan. Telah dicatat juga bahwa kesalahan propagasi pada dasarnya karena akurasi yang mana istilah eksponensial adalah solusi yang tepat untuk didekati dengan skema numerik. Oleh karena itu, tampaknya masuk akal untuk mengevaluasi efisiensi metode bukan dalam hal lokal kesalahan pemotongan, tapi dalam hal akurasi dengan mana eigensystem dari matriks eksponensial terkait dengan persamaan gerak didekati oleh eigensystem terkait dengan skema numerik. Beberapa kelemahan metode tahapan linier satu derivatif dan

(28)

dua derivatif menunjuk keluar untuk masalah linier. Untuk metode yang lalu, kesalahan pemotongan lokal memiliki perintah yang sama sebagai kesalahan pada eksponensial, tetapi juga diketahui bahwa sebuah skema stabil tatanan yang lebih tinggi dari dua tidak dapat diperoleh. Metode dari kelas yang terakhir mungkin memiliki tatanan yang lebih tinggi dari dua, tapi ini tidak menjamin akurasi yang lebih baik seperti yang ditunjukkan pada metode Houboult dan �Wilson. Pertimbangan ini diterapkan dalam desain metode numerik yang mencoba mengatasi kekurangan yang disebutkan di atas. Efisiensi Metode telah dievaluasi oleh perbandingan numerik dengan beberapa prosedur integrasi banyak digunakan.

Maher N. Bismarck-Nasr dan A. Marmo De Oliveira (1991)[3] membahas tentang peningkatan akurasi pada masalah respon dinamik integrasi langsung. Peningkatan akurasi metode integrasi langsung digunakan dalam analisis respon struktur dinamis disajikan. Keakuratan dicapai dan diperoleh pada saat yang sama dengan biaya dari solusi masalah berkurang. Metode yang disajikan didasarkan pada teknik ekstrapolasi Richardson. Pendekatan yang berguna dengan menggunakan metode numerik integrasi langsung untuk solusi dari persamaan gerak linier. Metode ini didasarkan pada teknik ekstrapolasi Richardson. Metode yang diusulkan meningkatkan akurasi solusi dan biaya yang efisien.

(29)

1.2. Perumusan Masalah

Dalam tugas akhir ini, Penulis akan membandingkan dua metode dalam menganalisis respon dinamik linier riwayat waktu (time history) . Model analisis berupa portal 2D akan dianalisis menggunakan metode modal analisis dan metode integrasi langsung untuk memperoleh perpindahan, kecepatan dan percepatan dari struktur bangunan. Perpindahan, kecepatan dan percepatan atau disebut time history dari struktur bangunan akan dihitung melalui modal analisis dan integrasi langsung secara manual dan menggunakan bantuan program SAP2000.

1.3. Maksud dan Tujuan

Dalam tugas akhir ini penulis mempunyai maksud dan tujuan yaitu : “ Membandingkan Modal Analisis (Mode Superposition Method) dengan metode Integrasi Lansung (Direct Time Integration Method) pada respon dinamik linier analisis riwayat waktu (Time History) dengan hasil analitis dengan menggunakan bantuan program SAP 2000 dan hitung manual 1 lantai ”.

(30)

1.4. Pembatasan Masalah

Dengan banyaknya masalah dalam respon dinamik linier dengan analisis riwayat waktu, maka pembatasan masalah yang diambil dalam penulisan tugas akhir ini, yakni :

a. Peraturan pembebanan yang digunakan mengacu pada

b. Struktur bangunan yang dianalisis merupakan portal beton bertulang pemikul momen dua dimensi.

c. Rekaman Gempa yang digunakan dalam penelitian ini adalah dari akselerogram gempa Kobe di Jepang.

d. Menghitung Manual 2 Lantai

e. Model struktur bangunan yang akan di pakai adalah :

5 x 4 m

(31)

1.5. Metodologi Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah mengumpulkan teori dan rumus – rumus untuk perhitungan dari buku-buku dan peraturan yang berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini, serta masukan dari dosen pembimbing.

(32)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Umum

Gempa bumi, walaupun tidak termasuk kejadian sehari-hari juga dapat menimbulkan getaran-getaran. Energi mekanik akibat rusaknya struktur batuan pada peristiwa gempa bumi selanjutnya akan diubah menjadi energi gelombang yang menggetarkan batuan sekelilingnya. Getaran batuan akibat gempa bumi selanjutnya diteruskan oleh media tanah sampai pada permukaan tanah. Tanah yang bergetar akibat gempa akan mengakibatkan bangunan yang berada di atas tanah ikut bergetar. Kerusakan bangunan sering terjadi akibat peristiwa gempa bumi seperti ini, khususnya pada daerah-daerah tertentu. Gerakan tanah akibat gempa bumi umumnya sangat tidak teratur dan hanya terjadi beberapa detik sampai puluhan detik saja, walaupun kadang-kadang dapat terjadi lebih dari satu menit. Namun demikian gempa yang durasinya lebih dari satu menit ini sangat jarang terjadi, karena sifat getarannya yang acak dan tidak seperti beban statik pada umumnya maka efek beban gempa terhadap respon struktur tidaklah dapat diketahui dengan mudah. Oleh karena itu diperlukan usaha-usaha penyederhanaan agar model analisis pengaruh gempa terhadap respon struktur dapat diperhitungkan oleh kebanyakan insinyur. Gempa bumi umumnya direkam di permukaan tanah bebas (free field record) sedangkan fondasi bangunan terpendam di dalam tanah. Hasil penelitian para ahli menyimpulkan bahwa massa bangunan akan berpengaruh terhadap percepatan tanah di bawah bangunan yang bersangkutan (umumnya lebih kecil). Penyederhanaan yang

(33)

dipakai adalah bahwa rekaman dari free field dianggap sebagai rekaman di bawah fondasi bangunan (foundatian input motion). Terdapat beberapa penyederhanaan untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yaitu menggunakan Beban Ekivalen Statik, Spektrum Respon dan dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis, THA).(Widodo, 2001)

2.2 Konsep Perencanaan Struktur

Konsep perencanaan struktur diperlukan sebagai dasar teori bagi perencanaan dan perhitungan struktur. Konsep ini meliputi pemodelan struktur, pembebanan, pengaruh gempa pada struktur, pemodelan tanah sebagai tumpuan dasar, evaluasi parameter dan daya dukung tanah.

2.3 Tinjauan perencanaan struktur tahan gempa

Tinjauan ini diperlukan untuk mengetahui metode analisis yang akan digunakan untuk perencanaan struktur terhadap pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengaruh gempa. Metode analisis yang dapat digunakan untuk memperhitungkan pengauh beban gempa terhadap struktur adalah sebagai berikut :

2.3.1 Metode analisis statik

Metode perancangan struktur bangunan terhadap pegaruh beban gempa secara statis, pada prinsipnya adalah menggantikan gaya-gaya horizontal yang bekerja pada

(34)

struktur akibat pergerakan tanah dan gaya-gaya statis yang ekivalen, dengan tujuan peyederhanaan dan ke,udahan dalam perhitungan. Metode ini diasumsikan bahwa gaya horizontal akibat beban gempa yang bekerja pada suatu elemen struktur, besarnya ditentukan berdasarkan hasil perkalian antara suatu konstanta berat atau massadaari elemen struktur tersebut.

2.3.2 Metode analisis dinamis

Analisis dinamis untuk perancangan struktur tahan gempa dilakukan jika diperlukan evaluasi yang lebih akurat dari gaya-gaya gempa yang bekerja pada struktur, serta untuk mengetahui perilaku dari struktur akibat pengaruh gempa. Pada struktur bangunan tingkat tinggi atau struktur dengan bentuk atau konfigurasi yg tidak teratur. Analisis dinamis dapat dilakukan dengan cara elastis dibedakan Analisis Ragam Riwayat Waktu (Time History Modal Analysis), dimana pada cara ini diperlukan rekaman percepatan gempa, dan Analsis Ragam Spektrum Respon (Response Spectrum Modal Anaysis), dimana pada cara ini respon masksimum dari tiap ragam getar yang terjadi didapat dari Spektrum Respon Rencana (Design Spectra). Sedangkan pada analisis dinamis inelastis digunakan untuk mendapatkan respon struktu akibat pengaruh gempayang sangat kuat dengan cara integrasi langsung (Direct Integration Method).

(35)

2.3.3 Pembebanan

Besar dan macam beban yang bekerja pada struktur sangat tergantung dengan jenis struktur. Berkut ini akan disajikan jenis-jenis beban, data beban serta faktor-faktor dan kombinasi pembebanan sebagai dasar acuan bagi perhitungan struktur. Jenis-jenis beban yang biasa diperhitungkan dalam perencanaan struktur bangunan gedung adalah sebagai berikut :

1. Beban mati (Dead Load)

Beban mati merupakan beban yang bekerja akibat gravitasi yang bekerja tetap pada posisinya secara terus menerus dengan arah ke bumi tempat struktur didirikan. Yang termasuk beban mati adalah berat struktur sendiri dan juga semua benda yang tetap posisinya selama struktur berdiri

2. Beban hidup (Live Load)

Beban hidup merupakan beban yang terjadi akibat penghunian atau penggunaan suatu gedung dan barang-barang yang dapat berpindah, seperti mesin dan peralatan lain yang dapat digantikan selama umur gedung.

3. Beban gempa

Menurut Peraturan Pembebanan Indonesia tentang Gedung, pengertian mengenai beban angin dan gempa adalah beban angin ialah semua beban yang bekerja pada gedung atau bagian gedung yang disebabkan oleh selisih dalam tekanan udara dan Beban gempa ialah semua beban statik ekivalen yang bekerja pada gedung atau bagian

(36)

gedung yang menirukan pengaruh dari gerakan tanah akibat gempa itu. Dalam hal pengaruh gempa pada struktur gedung ditentukan berdasarkan suatu analisa dinamik, maka yang diartikan dengan beban gempa disini adalah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh gerakan tanah akibat gempa itu.

Untuk memperhitungkan efek gempa terhadap analisis struktur bangunan yang digunakan pada tugas akhir saya ialah Model Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) adalah dasar struktur bangunan digetar oleh gempa yang pada umumnya memakai rekaman gempa tertentu. Sebagaimana sifat beban dinamik maka penyelesaian/hitungan respon struktur tidak hanya dilakukan sekali tetapi dapat ratusan kali bahkan sampai ribuan kali. Untuk Keperluan itu, maka penyelesaian problem dinamik dengan memakai kalkulator tangan (hand calculator) dirasa tidak praktis bahkan dapat dikatakan rasa tidak mungkin. Peralatan komputer dan penguasaan integrasi numerik merupakan prasyarat untuk menyelesaikan problem dinamik dengan model analisis Time History Analysis (THA). (Widodo, 2001)

2.4 Karakteristik Struktur Bangunan

Pada persamaan differensial melibatkan tiga properti utama suatu struktur yaitu massa, kekakuan dan redaman. Ketiga properti struktur itu umumnya disebut dinamik karakteristik struktur. Properti-properti tersebut sangat spesifik yang tidak semuanya digunakan pada problem statik. Kekakuan struktur adalah salah

(37)

satu-satunya karakteristik yang dipakai pada problem statik, sedangkan karakteristik yang lainnya yaitu massa dan redaman tidak terpakai.

2.4.1 Massa

Suatu struktur yang kontinu kemungkinan mempunyai banyak derajat kebebasan karena banyaknya massa yang mungkin dapat ditentukan. Banyaknya derajat kebebasan umumnya berasosiasi dengan jumlah massa tersebut akan menimbulkan kesulitan. Hal ini terjadi karena banyaknya persamaan differensial yang sama.

Terdapat dua pemodelan pokok yang umumnya dilakukan untuk mendeskripsikan massa struktur.

2.4.1.1 Model lumped mass

Model pertama adalah model diskretisasi massa yaitu massa dianggap menggumpal pada tempat-tempat (lumped mass) joint atau tempat-tempat tertentu. Dalam hal ini gerakan /degree of fredom suatu join sudah ditentukan. Untuk titik model yang hanya mempunyai satu derajat kebebasan / satu translasi maka nantinya elemen atau struktur yang bersangkutan akan mempunyai matriks yang isinya hanya bagian diagonal saja. Clough dan Penzien (1993) mengatakan bahwa bagian off-diagonal akan sama dengan nol karena gaya inersia hanya bekerja pada tiap-tiap massa. Selanjutnya juga dikatakan bahwa apabila terdapat gerakan rotasi massa(rotation degree of freedom), maka pada model lumped mass ini juga tidak akan ada rotation moment of inertia. Hal ini terjadi karena pada model ini massa

(38)

dianggap menggumpal pada suatu titik yang tidak berdimensi (mass moment of inertia dapat dihitung apabila titik tersebut mempunyai dimensi fisik). Dalam kondisi tersebut terdapat matriks massa dengan diagonal mass of moment inertia sama dengan nol.

Pada bangunan gedung bertingkat banyak, konsentrasi beban akan terpusat pada tiap-tiap lantai tingkat bangunan. Dengan demikian untuk setiap tingkat hanya ada satu tingkat massa yang mewakili tingkat yang bersangkutan. Karena hanya terdapat satu derajat kebebasan yang terjadi pada setiap massa / tingkat, maka jumlah derajat kebebasan pada suatu bangunan bertingkat banyak akan ditunjukkan oleh banyaknya tingkat bangunan yang bersangkutan. Pada kondisi tersebut matriks massa hanya akan berisi pada bagian diagonal saja.

2.4.1.2 Model consistent mass matrix

Model ini adalah model yang kedua dari kemungkinan permodelan massa struktur. Pada prinsip consistent mass matrix ini, elemen struktur akan berdeformasi menurut bentuk fungsi (shape function) tertentu. Permodelan massa seperti ini akan sangat bermanfaat pada struktur yang distribusi massanya kontinu.

Apabila tiga derajat kebebasan (horizontal, vertikal dan rotasi) diperhitungkan pada setiap mode maka standar consistent mass matrix akan menghasilkan full-populated consistent matrix artinya suatu matriks yang off-diagonal matriksnya tidak sama dengan nol. Pada model lumped mass tidak akan terjadi ketergantungan antar massa (mass coupling) karena matriks massa adalah diagonal. Apabila tidak demikian maka mass moment of inertia akibat translasi dan rotasi harus diperhitungkan.

(39)

Pada bangunan bertingkat banyak yang massanya terkonsentrasi pada tiap-tiap tingkat bangunan, maka penggunaan model lumped mass masih cukup akurat. Untuk pembahasan struktur MDOF seterusnya maka model inilah (lumped mass) yang akan dipakai.

2.4.2 Kekakuan

Kekakuan adalah salah satu dinamik karakteristik struktur bangunan yang sangat penting disamping massa bangunan. Antara massa dan kekakuan struktur akan mempunyai hubungan yang unik yang umumnya disebut karakteristik diri atau eigenproblem. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut �, dan periode getar struktur T. Kedua nilai ini merupakan parameter yang sangat penting dan akan sangat mempengaruhi respon dinamik struktur.

Pada prinsip bangunan geser (shear building) balok pada lantai tingkat dianggap tetap horizontal baik sebelum maupun sesudah terjadi pergoyangan. Adanya plat lantai yang menyatu secara kaku dengan balok diharapkan dapat membantu kekakuan balok sehingga anngapan tersebut tidak terlalu kasar. Pada prinsip desain bangunan tahan gempa dikehendaki agar kolom lebih kuat dibandingkan dengan balok, namun demikian rasio tersebut tidak selalu linear dengan kekakuannya. Dengan prinsip shear building maka dimungkinkan pemakaian lumped mass model. Pada prinsip ini, kekakuan setiap kolom dapat dihitung berdasarkan rumus yang telah ada.

(40)

2.4.3 Redaman

Redaman merupakan peristiwa pelepasan energi (energy dissipation) oleh suatu struktur akibat adanya berbagai macam sebab. Beberapa penyebab itu antara lain adalah pelepasan energi oleh adanya gerakan antar molekul didalam material, pelepasan energi oleh gesekan alat penyambung maupun sistem dukungan, pelepasan energi oleh adanya gesekan dengan udara dan pada respon inelastik , pelepasan energi juga terjadi akibat adanya sendi plastis. Karena redaman berfungsi melepaskan energi maka hal ini akan mengurangi respon struktur.

2.5 Simpangan (Drift) Akibat Gaya Gempa

Simpangan (drift) adalah sebagai perpindahan lateral relatif anatara dua tingkat bangunan yang berdekatan atau dapat dikatakan simpangan mendatar tiap-tiap tingkat bangunan (horizontal story to story deflection).

Simpangan lateral dari suatu sistem struktur akibat beban gempa adalah angat penting yang dilihat dari tiga pandangan yang berbeda, menurut Farzat Naeim (1989):

1. Kestabilan struktur (structural stability)

2. Kesempurnaan arsitektural (architectural integrity) dan potensi kerusakan bermacam-macam komponen bukan struktur

3. Kenyamanan manusia (human comfort), sewaktu terjadi gempa bumi dan sesudah bangunan mengalami gerakan gempa.

(41)

Selain itu juga, Richard n. White (1987) berpendapat bahwa dalam perencanaan bangunan tinggi selalu dipengaruhi oleh pertimbangan lenturan (deflection), bukannya oleh kekuatan (strength).

Simpangan antar tingkat dari suatu titik pada suatu lantai harus ditentukan sebagai simpangan horizontal titik itu, relatif terhadap titik yang sesuai pada lantai yang berada dibawahnya. Perbandingan antar simpangan anatar tingkat dan tinggi tingkat yang bersangkutan tidak boleh melebihi 0,005 dengan ketentuan dalam segala hal simpangan tersebut tidak boleh lebih dari 2 cm. Terhadap simpangan antar tingkat telah diadakan pembatasan-pembatasan untuk menjamin agar kenyamanan bagi para penghuni gedung tidak terganggu dan juga untuk mengurangi momen-momen sekunder yang terjadi akibat penyimpangan garis kerja gaya aksial didalam kolom-kolom (yang lebih dikenal dengan P-delta)

Berdasarkan UBC 1997 bahwa batasan story drift atau simpangan antar tingkat adalah sebagai berikut:

Untuk periode bangunan yang pendek T < 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat

∆≤0,00251ℎ atau 2,5 % dari tinggi bangunan.

Untuk periode bangunan yang pendek T > 0,7 detik, maka simpangan antar tingkat

∆� ≤0,0021ℎ atau 2,0 % dari tinggi bangunan.

2.6 Derajat Kebebasan (Degree of Freedom, DOF)

Derajat kebebasan (degree of freedom) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada setiap saat. Pada masalah

(42)

dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negatif atau bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpngan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu u(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal (SDOF).

Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekauan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derajat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhrnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.6.1 Persamaan differensial pada struktur SDOF

Sistem derajat kebebasan tunggal (SDOF) hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah contoh derajat kebebasan tunggal.

Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF. Tampak bahwa P(t) adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti

(43)

yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom, dan redaman.

Gambar 2.1 Pemodelan struktur SDOF (sumber: Widodo, 2000)

Apabila beban dinamik P(t) bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti gambar 2.1.c. gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan,

�(�)− �_�− �_� = ��+�_�+�_� = �(�) (Pers. 2.1)

Dimana:

�� =�.�̇

�� = �.� (Pers. 2.2)

Apabila persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan (2.2), maka akan diperoleh:

(44)

Persamaan (2.3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). Pada problem dinamik, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah u(t).

2.6.2 Persamaan differensial struktur SDOF akibat base motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselerogram. Tanah ini bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar terutama struktur bangunan.

Untuk menyusun persamaan differensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan differensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2.

(45)

Gambar 2.2 Struktur SDOF akibat base motion (sumber: Widodo , 2000)

Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar diatas maka deformasi total yang terjadi adalah

��(�) =�(�) +�̈_�(�) (Pers. 2.4)

Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia �₁ tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi

��+��+�� = 0 (Pers. 2.5)

Dimana inersia adalah,

�� =�� (Pers. 2.6)

Dengan mensubsitusikan pers. (2.2) dan (2.3) ke (2.5) dan (2.4), sehingga diperoleh persamaannya sebagai berikut,

(46)

��̈+��̇+�� =−��̈_�(�) (Pers. 2.7)

Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas kanan pada pers. (2.7) disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa:

Peff(t) =−müg(t) (Pers. 2.8)

2.6.3 Persamaan differensial struktur MDOF

2.6.3.1 Matriks massa, matriks kekakuan dan matriks redaman

Untuk menyatakan persamaan differensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti pada prinsip shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.

Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan differensial gerakan tersebut umumnya

(47)

disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus. Masalah mode ini akan dibicarakan lebih lanjut pada pembahasan mendatang. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. Maka akan diperoleh:

�1�̈1+�1�̇1+�1�1− �2(�̇2− �̇1)− �1(�2− �1) =�1(�) (Pers. 2.9)

�2�̈2+�2(�̇2− �̇1) +�2(�2− �1)− �3(�̇3− �̇2)− �3(�3−(��2) =�2(�)(Pers. 2.10)

�₃�̈₃+�₃(�̇₃− �̇₂) +�₃(�₃− �₂) =�₃(�) (Pers.2.11)

Disederhanakan menjadi:

�1�̈1+ (�1+�2)�̇1−(�2�̇2) + (�1+�2)�1− �2�2 = �1(�)(Pers. 2.12)

�2�̈2+ (�2+�3)�̇2− �2�̇1− �3�̇3+ (�2+�3)�2− �2�1− �3�3=�2(�) (Pers. 2.13)

�₃�̈₃+�3�̇3 − �3�̇2+�3�3− �3�2 = �3(�) (Pers. 2.14)

Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

��1

0 0

0 �2 0

0 0 �3

� ��̈�̈12

�̈3

�+�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�3 �3

� ��̇�̇12

�̇3

�+�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�3 �3

� ��12

�3

�=� �1(�)

�2(�)

�3(�)

�

(Pers. 2.15)

Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,

[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = {�(�)} (Pers. 2.16)

Yang mana [�], [�] �� [�] berturut-turut adalah matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,

[�] =�

�1 0 0

0 �2 0

0 0 �₃

�, [�] =�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃

�,[�] =�

�1+�2 −�2 0

−�2 �2+�3 −�3

0 −�₃ �₃

(48)

(Pers .2.17)

Sedangkan {�̈}, {�̇}, {�} ��{�(�)} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,

{�̈} =�

�̈1

�̈2

�̈3

�, {�̇} = �

�̇1

�̇2

�̇3

�, {�} =�

�1

�2

�3

�,��{�(�)} =�

�1(�)

�2(�)

�3(�)

� (Pers .2.18)

Secara visual Chopra (1995) menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan �_�,�_�,��_� (Sumber: Chopra, 1995)

2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF

2.6.4.1 Nilai karakteristik (eigenproblem)

Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas (free vibration system) pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang

(49)

bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut

�, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.

Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas kanan sama dengan nol,

[�]��̈�+ [�]��̇�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.19)

Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman (damped frequency) �_� nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman �. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio � relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers (2.19) akan menjadi,

[�]��̈�+ [�]{�} = 0 (Pers .2.20)

Karena pers. (2.19) adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,

�̈= {Φ}_�sin⁡(��)

�̇ =−� {Φ}_�cos(��)

(50)

Yang mana {Φ}_� adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.(2.21) kedalam pers. (2.20) selanjutnya akan diperoleh,

−�2_[_�_]{_Φ_}

�sin(��) + [�] sin(��) = 0

{[�]− �2_[_�_]}{_Φ_}

� = 0 (Pers .2.22)

Pers. (2.22) adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. (2.22) tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Φ}_� adalah nol, sehingga,

{[�]− �2_[_�_{]} = 0}_{(Pers .2.23)}

Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis / pola / ragam getaran / goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan (dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang

(51)

berhubungan langsung dengan jenis/ nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang selanjutnya akan menhasilkan �_�2 untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing-masing frekuensi �_� maka akan diperoleh nilai-nilai Φ₁,Φ2, … . ,Φ�.

2.6.4.2 Frekuensi sudut (�) dan normal modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika (sumber: Widodo, 2000)

Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam/ pola goyangan. Normal modes adalah

(52)

suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.

Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan differensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.4.c dan diperoleh,

�1�̈1+�1�1− �2(�2− �1) = 0

�2�̈2+�2(�2− �1) = 0 (Pers. 2.24)

Pers. (2.24) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,

�1�̈1 + (�1+�2)�1− �2�2 = 0 (Pers. 2.25)

�2�̈2− �2�1+�2�2 = 0) (Pers. 2.26)

Pers. (2.25) dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,

��1 0

0 �2� ��̈ 1

�̈2�+�

(�₁+�₂) −�₂

−�2 �2 � �

�1

�2�=�

0� (Pers. 2.27)

Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. (2.26) adalah,

�(�1+�2)− �2�1 −�2

−�2 �2− �2�2� �� 1

�2�= �

0� (Pers. 2.28)

Dengan Φ₁ adalah suatu nilai / ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. (2.28) akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan,

�(�1+�2)− �2�1 −�2

−�2 �2− �2�2

(53)

Apabila pers. (2.29) tersebut diteruskan nilai determinannya adalah,

�1�2�4−{(�1+�2)�2−�2�1}�2+ (�1+�2)�2− �22 = 0 (Pers. 2.30)

Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan (ingat �_� < � sehingga �< �_�).

Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai masssa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat ki tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah:

a. Bebas dari pengaruh redaman, b. Bebas dari pengaruh waktu,

c. Bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. Hanya untuk struktur yang elastik.

(54)

II.6.5 Getaran bebas pada struktur MDOF

II.6.5.1 Modal Analisis (Mode Superposition Methods)

Modal Analsis adalah salah satu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan pada struktur bangunan derajat kebebasan (MDOF). Metode ini dipakai khusus untuk menyelesaikan problem dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah bahwa respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar modes shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur mempunyai standar modes shapes adalah struktur elastik dan struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.

Penyelesaian persamaan diferensial gerakan struktur MDOF dengan cara ini, pertama-tama yang harus dicari adalah nilai-nilai koordinat modes shapes ɸ_��. Dengan memakai prinsip-prinsip hubungan orthogonal maka persamaan diferensial coupling atau persamaan diferensial dependent dapat ditransfer menjadi persamaan diferensial yang independent atau persamaan diferensial uncoupling. Dengan berubahnya sifat persamaan tersebut maka penyelesaian persamaan untuk massa dan mode tertentu akan saling independen terhadap persamaan yang lain. Persamaan diferensial tiap mode yang saling independen akan seperti persamaan diferensial struktur SDOF.

(55)

Simpangan struktur total merupakan kontribusi dari respon setiap mode (modal displacement). Simpangan kontribusi setiap mode dapat dihitung dengan melalui integrasi numerik atas persamaan independen seperti disampaikan diatas. Apabila simpangan untuk setisp mode pada massa tertentu sudah diperoleh maka simpangan total massa yang bersangkutan merupakan superposisi atau penjumlahan dari simpangan tiap-tiap mode tersebut. Simpangan massa yang lain dapat dicari dengan cara yang sama.

2.6.5.1.1 Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier

2.6.5.1.1.1 Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam

Pesamaan gerak untuk sistem linear MDOF tanpa teredam diturunkan dalam :

��̈+��̇=�(�) (Pers. 2.31) Solusi simultan dari persamaan gerak coupled yang telah dijelaskan sebelumnya untuk sistem dua –DOF mengalami gerak harmonik yang tidak efisien untuk sistem DOF yang banyak, juga tidak layak untuk sistem yang baik oleh jenis kekuatan yang lain. Akibatnya, hal ini menguntungkan untuk mengubah persamaan ini ke koordinal modal, seperti yang akan kita liat selanjutnya.

Seperti yang telah dijelaskan, perpindahan u dari sistem MDF dapat diperluas dalam hal kontribusi modal. Dengan demikian respon dinamik dari sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:

(56)

Menggunakan persamaan ini, coupled persamaan (2.1) pada uj(t) dapat diubah menjadi satu set persamaan uncoupled dengan koordinat modal qn(t) yang diketahui. Memasukkan pers.(2.2) kedalam pers.(2.1) memberikan

∑Nr=1�ϕr q̈r(t)+∑Nr=1�ϕr qr(t)=�(t)

Perkalian setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ_nT memberikan

∑Nr=1ϕnT�ϕr q̈r(t)+ ∑Nr=1ϕTn �ϕrqr(t)= ϕnT�(t)

Karena hubungan orthogonal, semua persyaratan disetiap penjumlahan menjadi hilang, kecuali panjang r = n,maka persamaan ini menjadi:

(ϕ_nT_�_ϕ

n) q̈n(t) = (ϕnT�ϕn)qn(t) = ϕnT�(t) (Pers. 2.33)

Atau

�n q̈n(t) +�nqn(t) = �n(t) (Pers. 2.34)

Dimana:

M_n = ϕ_nT�ϕ_n

�n =ϕnT�ϕn (Pers. 2.35)

�n(t) =ϕnT�(t)

(57)

Persamaan (2.33) dapat ditafsirkan sebagai persamaan yang mengatur respon qn(t) dari sistem SDF ditunjukkan dalam pers.(2.35) dengan massa Mn, kekakuan Kn, dan kekuatan yang menarik �_n(t). Oleh karena itu, Mn disebut massa umum untuk mode alami n, Kn kekakuan umum untuk mode n, �n(t) kekuatan umum untuk mode

n. Parameter ini hanya tergantung pada mode n. Jadi jika kita hanya mengetahui mode n, kita bisa menulis persamaan untuk qn dan menyelesaikannya tanpa mengetahui mode lain. Membaginya dengan Mn dan menggunakan pers.(2.33) dapat ditulis kembali menjadi:

q̈n +ωn2 qn = Pn(t)

Mn )

(Pers. 2.36)

Persamaan (2.33) atau (2.35) mengatur nilai n koordinat modal qn(t), hanya diketahui dari persamaan, dan ada persamaan seperti N, satu untuk setiap mode. Jadi susunan N digabungkan ke persamaan differensial (2.31) dalam perpindahan nodal u_j(t)− j = 1,2, … , N− telah berubah ke susunan dari persamaan uncoupled (2.33) dalam koordinat-koordinat modal q_n(t)−n = 1,2, … , N. Ditulis dalam bentuk matriks susunan kedua dari persamaan adalah

��̈+��= �(t) (Pers. 2.37)

Dimana M adalah matriks diagonal massa modal umum M. K adalah matriks diagonal dari Kekakuan modal umum K , dan P ( t ) adalah vektor kolom pasukan modal umum P.

(58)

2.6.5.1.1.2 Persamaan Modal untuk Sistem teredam

Ketika redaman disertakan , persamaan gerak untuk sistem MDF adalah

��̈+��̇+��= �(�) (Pers. 2.38)

Menggunakan transformsi dari pers.(2.32), dimana ϕ_r adalah mode alami dari sistem tanpa redaman, persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk koordinat modal. Berbeda dengan kasus sistem undamped, persamaan modal dapat ditambah melalui persyaratan redaman. Namun, untuk bentuk-bentuk tertentu redaman yang bersifat ideal wajar untuk struktur yang banyak , persamaan menjadi uncoupled, seperti untuk sistem teredam. Kita harus menunjukkan kesalahannya berikutnya .

Dengan mensubstitusi persamaan(2.32 ) dalam Pers.(2.28) memberikan

� �ϕr q̈r(t) N

r=1

+� �ϕ_r q̇_r(t)

r=1

= +� �ϕ_r q_r(t)

r=1

= �(t)

Mengalikan setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ_nT menjadi

� ϕnT�ϕr q̈r(t) N

r=1

+� ϕnT�ϕr q̇r(t) N

r=1

= +� ϕnT�ϕr qr(t) N

r=1

= ϕnT�(t)

Yang dapat ditulis kembali sebagai

�n q̈n+∑Nr=1Cnr q̇r + Knqn = Pn(t) ) (Pers. 2.39)

Dimana Mn, Kn, dan �_n(t) didefinisikan dalam Pers .( 2.34) dan

(59)

Persamaan (2.39) ada untuk setiap n = 1 sampai N dan set N persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks :

��̈+��̇+�� =�(�) (Pers. 2.41)

Dimana M, K dan P(t) diperlihatkan dalam Pers . (2.36) dan C adalah matriks yang tidak diagonal dari koefisien Cnr. persamaan dalam koordinat N modal qn(t) digabungkan melalui redaman karena Persamaan (2.39) berisi lebih dari

satu kecepatan modal .

Persamaan modal akan uncoupled jika sistem memiliki redaman klasik. Untuk sistem seperti ini, Cnr = 0 jika n≠ r dan Persamaan (2.39) tereduksi menjadi

�_n q̈n +�n q̇n + Knqn = Pn(t) (Pers. 2.42)

Dimana umum redaman Cn didefinisikan oleh Persamaan sebelumnya. Persamaan ini mengatur respon sistem SDF ditunjukkan dalam gambar II.7 . Membagi Persamaan (2.42) oleh M memberikan

q̈n + 2 ξωn q̇n +ωn2 qn = Pn(t)

(Pers. 2.43)

Dimana ζ_n adalah rasio redaman untuk mode n . Rasio redaman biasanya tidak dihitung dengan menggunakan Persamaan namun diperkirakan berdasarkan data eksperimental untuk struktur yang mirip dengan salah satu yang sedang dianalisis. Persamaan (2.42) mengatur n modal koordinat qn(t), dan parameter

Mn, Kn, Cn dan Pn(t) hanya tergantung pada modus n ϕn, bukan pada mode lainnya.

(60)

untuk setiap mode alami . Singkatnya, himpunan N ditambah persamaan diferensial (2.38) di nodal perpindahan u_j(t) telah berubah ke set dari N uncoupled pers.(2.42) dalam koordinat modal qn(t).

Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami (sumber: Chopra, 1995)

2.6.5.1.1.3 Respon Perpidahan

Untuk memberikan kekuatan dinamik eksternal yang didefinisikan oleh p(t), respon dinamik dari sistem MDF dapat ditentukan dengan memecahkan persamaan(2.42) atau (2.43) untuk koordinat modal q_n(t). Setiap persamaan modal adalah dalam bentuk yang sama dengan persamaan gerak untuk sistem SDF . Dengan demikian metode solusi dan hasil yang tersedia untuk sistem SDF dapat disesuaikan untuk mendapatkan solusi q_n(t) untuk persamaan modal . Setelah koordinat modal q_n(t) telah ditentukan , Persamaan(2.43) menunjukkan bahwa kontribusi mode n dengan perpindahan u (t) adalah

�_n(t) = ϕ_n qn (t) (Pers. 2.44)

(61)

�(t) = � �_n(t)

n=1

+� ϕ_n qn (t) N

n=1

(��.�.��)

Prosedur ini dikenal sebagai analisis modal klasik atau metode superposisi modus klasik karena individu (uncoupled) persamaan modal yang diselesaikan untuk menentukan koordinat modal qn(t) dan respon modal�n(t), dan latterare

dikombinasikan untuk mendapatkan total respon �(t) Lebih tepatnya , metoda yang ini disebut modus metode superposisi perpindahan klasik karena perpindahan modal yang disuperposisikan . Untuk singkatnya kita biasanya merujuk pada prosedur ini sebagai metode analisis modal dibatasi untuk linear systemswith redaman klasik. Linearitas sistem ini implisit i menggunakan prinsip superposisi , Persamaan. (2.32) . Redaman harus dari bentuk klasik untuk mendapatkan persamaan modal yang uncoupled, fitur utama dari analisis modal.

2.6.5.1.1.4 Gaya elemen

Dua prosedur yang tersedia untuk menentukan gaya dalam berbagai elemen - balok , kolom , dinding, dll - struktur pada waktu t instan dari perpindahan u ( t ) pada saat yang bersamaan . Dalam modal anakisis ini adalah instruktif untuk menentukan kontribusi dari mode yang individu ke kekuatan elemen. Pada prosedur pertama, kontribusi mode n �_n(t) untuk kekuatan elemen �(�) ditentukan dari pemindahan modal un(t) menggunakan sifat kekakuan elemen . Kemudian gaya

elemen mempertimbangkan kontribusi dari semua mode adalah

�(�) = � �_n(t)

(62)

Pada prosedur kedua , kekuatan statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n didefinisikan dengan menghapus subskrip : f_n(t) = ku_n(t). Subsitusikan pers. (2.44) dan menggunakan Persamaan sebelumnya memberikan:

�n(t) =ωn2 �ϕ_r qn (��.�.��)

Analisis statis dari struktur mengalami gaya-gaya eksternal pada setiap waktu yang singkat memberikan gaya elemen �_n(t). Kemudian gaya total �_n(t) diberikan oleh Pers.(2.46).

2.6.5.1.2 Analisis Gempa pada Sistem Linier

2.6.5.1.2.1 Analisis Modal (Response History Analysis)

Pada bagian ini kita mengembangkan prosedur analisis modal untuk menentukan respon struktur terhadap gempa yang disebabkan gerakan tanah ü_g(t), identik pada semua titik dukung struktur.

2.6.5.1.2.2 Persamaan gerak

Persamaan diferensial yang mengatur respon sistem MDOF gempa yang disebabkan gerakan tanah:

(63)

dimana

�eff(t) =−��üg(t) (��.�.��)

Massa dan kekakuan matriks , m dan k , dan vektor pengaruh ι ditentukan oleh metode sebelumnya . Redaman matriks c tidak akan diperlukan dalam analisis modal respon gempa , melainkan rasio redaman modal cukup dan nilai-nilai numerik nya. Prosedur analisis modal yang untuk memecahkan pers.( 2.38) berlaku untuk solusi dari pers.(2.52 ) .

2.6.5.1.2.3 Ekspansi Modal dari Perpindahan dan gaya

Perpindahan �sistem N - DOF dapat dinyatakan , seperti dalam persamaan (2.32) , sebagai superposisi dari kontribusi modal :

u(t) = �ϕ_nqn(t) N

r=1

(��.�.��) Distribusi spasial dari gaya gempa efektif �_eff(t)adalah didefinisikan oleh �= ��.

Distribusi gaya ini dapat diperluas sebagai penjumlahan inersia modal untuk distribusi �_�.

��= �Γn�ϕ_n N

n=1

(��.�.��)

Dimana,

Γn =

M_n

(1)

Tabel L.19 Perpindahan Tiap Joint Hasil Analisis Program SAP 2000

TABLE: Joint Displacements

Joint OutputCase CaseType StepType U1

Text Text Text Text m

1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0

1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min 0

2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,01739

2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,017166 3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,043919 3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,043235 4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,067325 4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,066759 5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,083996 5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,085573 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,093035 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,09625

7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0

7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min 0

8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,017431 8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,017206 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,043915 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,04323 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,067315 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,066749 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,083993 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,085572 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,093017 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,096229

13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0

13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min 0

14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,017444 14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,017218 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,043915 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,043229 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,067312 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,066747 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,083993 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,085572 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,093011 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,096222

(2)

19 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min 0 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,017431 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,017206 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,043915 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,04323 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,067315 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,066749 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,083993 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,085572 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,093017 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,096229

25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0

25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min 0

26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,01739 26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,017166 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,043919 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,043235 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,067325 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,066759 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,083996 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,085573 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,093035 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,09625

(3)

Tabel L.20 Kecepatan Tiap Joint Hasil Analisis Program SAP 2000

TABLE: Joint Velocities - Absolute

Joint OutputCase CaseType StepType U1

Text Text Text Text m/sec

1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,3172 1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,6932

2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,437

2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,74

3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,5928 3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,9451 4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,7039

4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,14

5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,8651 5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,2835 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,9545 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,3614 7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,3172 7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,6932 8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,4373 8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,7402 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,5928 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,9451 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,7038 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,14 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,8651 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,2835 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,9543 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,3612 13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,3172 13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,6932 14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,4373 14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,7403 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,5928 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,9451 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,7038 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,1399 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,8651 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,2835 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,9542 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,3612 19 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,3172

(4)

19 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,6932 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,4373 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,7402 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,5928 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,9451 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,7038 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,14 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,8651 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,2835 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,9543 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,3612 25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,3172 25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,6932 26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,437 26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,74 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,5928 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -0,9451 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,7039 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,14 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,8651 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,2835 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 0,9545 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -1,3614

(5)

Tabel L.21 Percepatan Tiap Joint Hasil Analisis Program SAP 2000

TABLE: Joint Accelerations - Absolute

Joint OutputCase CaseType StepType U1

Text Text Text Text m/sec2

1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,31321 1 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -13,83544 2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 5,96709 2 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -6,21409 3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 9,69902 3 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -7,45014 4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,26841 4 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -9,03801 5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,29538 5 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -10,26561 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 14,76673 6 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -11,77224 7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,31321 7 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -13,83544 8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 5,94699 8 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -6,20015 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 9,71145 9 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -7,44748 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,25885 10 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -9,03531 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,29696 11 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -10,26478 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 14,76173 12 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -11,77014 13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,31321 13 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -13,83544 14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 5,94069 14 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -6,19596 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 9,71503 15 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -7,44706 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,25629 16 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -9,03459 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,29744 17 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -10,26464 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 14,76033 18 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -11,76953 19 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,31321

(6)

Tabel L.22 Base Shear Hasil Analisis Program SAP 2000

TABLE: Base Reactions

OutputCase CaseType StepType GlobalFX

Text Text Text Kgf

TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 74584,42 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -75427,75

19 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -13,83544 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 5,94699 20 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -6,20015 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 9,71145 21 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -7,44748 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,25885 22 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -9,03531 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,29696 23 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -10,26478 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 14,76173 24 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -11,77014 25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,31321 25 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -13,83544 26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 5,96709 26 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -6,21409 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 9,69902 27 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -7,45014 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,26841 28 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -9,03801 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 11,29538 29 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -10,26561 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Max 14,76673 30 TH WILSON 1,42 LinDirHis Min -11,77224

Kajian Perbandingan Respon Dinamik Linier Dengan Analisis Riwayat Waktu (Time History Analysis) Mengunakan Modal Analisis (Mode Superposition Method) Dan Integrasi Langsung (Direct Time Integration Method)