53
II.6.5 Getaran bebas pada struktur MDOF II.6.5.1 Modal Analisis
Mode Superposition Methods
Modal Analsis adalah salah satu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan pada struktur bangunan derajat
kebebasan MDOF. Metode ini dipakai khusus untuk menyelesaikan problem dinamik dengan beberapa syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah bahwa
respon struktur masih elastik dan struktur mempunyai standar modes shapes. Respon elastik berarti bahwa tegangan bahan belum mencapai tegangan leleh
dan implikasinya kekakuan struktur tidak mengalami perubahan selama pembebanan. Disamping itu juga tidak mengalami perubahan selama
pembebanan. Disamping itu juga mengalami perubahan massa dan koefisien redaman. Struktur mempunyai standar modes shapes adalah struktur elastik dan
struktur yang tidak memperhitungkan interaksi antara tanah dan fondasi struktur. Ini berarti bahwa bangunan dianggap dijepit pada dasarnya.
Penyelesaian persamaan diferensial gerakan struktur MDOF dengan cara ini, pertama-tama yang harus dicari adalah nilai-nilai koordinat modes
shapes ɸ
��
. Dengan memakai prinsip-prinsip hubungan orthogonal maka persamaan diferensial coupling atau persamaan diferensial dependent dapat
ditransfer menjadi persamaan diferensial yang independent atau persamaan diferensial uncoupling. Dengan berubahnya sifat persamaan tersebut maka
penyelesaian persamaan untuk massa dan mode tertentu akan saling independen terhadap persamaan yang lain. Persamaan diferensial tiap mode
yang saling independen akan seperti persamaan diferensial struktur SDOF.
Universitas Sumatera Utara
54
Simpangan struktur total merupakan kontribusi dari respon setiap mode modal displacement. Simpangan kontribusi setiap mode dapat dihitung
dengan melalui integrasi numerik atas persamaan independen seperti disampaikan diatas. Apabila simpangan untuk setisp mode pada massa tertentu
sudah diperoleh maka simpangan total massa yang bersangkutan merupakan superposisi atau penjumlahan dari simpangan tiap-tiap mode tersebut.
Simpangan massa yang lain dapat dicari dengan cara yang sama.
2.6.5.1.1 Analisis Dinamis dan Respon Sistem Linier
2.
6.5.1.1.1
Persamaan Modal untuk Sistem tidak teredam
Pesamaan gerak untuk sistem linear MDOF tanpa teredam diturunkan dalam : ��̈ + ��̇ = ��
Pers. 2.31
Solusi simultan dari persamaan gerak coupled yang telah dijelaskan sebelumnya untuk sistem dua –DOF mengalami gerak harmonik yang tidak efisien untuk sistem DOF yang
banyak, juga tidak layak untuk sistem yang baik oleh jenis kekuatan yang lain. Akibatnya, hal ini menguntungkan untuk mengubah persamaan ini ke koordinal modal, seperti yang
akan kita liat selanjutnya.
Seperti yang telah dijelaskan, perpindahan u dari sistem MDF dapat diperluas dalam
hal kontribusi modal. Dengan demikian respon dinamik dari sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:
ut = ∑
ϕ
r
q
r
t
N r=1
=
ɸ�t Pers. 2.32
Universitas Sumatera Utara
55
Menggunakan persamaan ini, coupled persamaan 2.1 pada u
j
t dapat diubah menjadi satu set persamaan uncoupled dengan koordinat modal q
n
t yang diketahui. Memasukkan pers.2.2 kedalam pers.2.1 memberikan
∑ � ϕ
r
q ̈
r
t
N r=1
+ ∑
� ϕ
r
q
r
t
N r=1
= �t
Perkalian setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ
n T
memberikan ∑
ϕ
n T
� ϕ
r
q ̈
r
t
N r=1
+ ∑
ϕ
n T
� ϕ
r
q
r
t
N r=1
= ϕ
n T
�t
Karena hubungan orthogonal, semua persyaratan disetiap penjumlahan menjadi hilang, kecuali panjang r = n,maka persamaan ini menjadi:
ϕ
n T
� ϕ
n
q ̈
n
t = ϕ
n T
� ϕ
n
q
n
t = ϕ
n T
�t Pers. 2.33
Atau �
n
q ̈
n
t + �
n
q
n
t = �
n
t Pers. 2.34
Dimana: M
n
= ϕ
n T
� ϕ
n
�
n
= ϕ
n T
� ϕ
n
Pers. 2.35
�
n
t = ϕ
n T
�t
Gambar 2.5 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami sumber: Chopra, 1995
Universitas Sumatera Utara
56
Persamaan 2.33 dapat ditafsirkan sebagai persamaan yang mengatur respon q
n
t dari sistem SDF ditunjukkan dalam pers.2.35 dengan massa M
n
, kekakuan K
n
, dan kekuatan yang menarik
�
n
t. Oleh karena itu, M
n
disebut massa umum untuk mode alami n, K
n
kekakuan umum untuk mode n, �
n
t kekuatan umum untuk mode n. Parameter ini hanya tergantung pada mode n. Jadi jika kita hanya mengetahui
mode n, kita bisa menulis persamaan untuk q
n
dan menyelesaikannya tanpa mengetahui mode lain. Membaginya dengan M
n
dan menggunakan pers.2.33 dapat ditulis kembali menjadi:
q ̈
n
+ ω
n 2
q
n
=
P
n
t M
n
Pers. 2.36
Persamaan 2.33 atau 2.35 mengatur nilai n koordinat modal q
n
t, hanya diketahui dari persamaan, dan ada persamaan seperti N, satu untuk setiap mode. Jadi susunan
N digabungkan ke persamaan differensial 2.31 dalam perpindahan nodal u
j
t −
j = 1,2, … , N − telah berubah ke susunan dari persamaan uncoupled 2.33 dalam
koordinat-koordinat modal q
n
t − n = 1,2, … , N. Ditulis dalam bentuk matriks
susunan kedua dari persamaan adalah ��̈ + �� = �t
Pers. 2.37
Dimana M adalah matriks diagonal massa modal umum M. K adalah matriks diagonal dari Kekakuan modal umum K , dan P t adalah vektor kolom pasukan
modal umum P.
Universitas Sumatera Utara
57
2.6.5.1.1.2 Persamaan Modal untuk Sistem teredam
Ketika redaman disertakan , persamaan gerak untuk sistem MDF adalah
��̈ + ��̇ + �� = �� Pers. 2.38
Menggunakan transformsi dari pers.2.32, dimana ϕ
r
adalah mode alami dari sistem tanpa redaman, persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk koordinat modal.
Berbeda dengan kasus sistem undamped, persamaan modal dapat ditambah melalui persyaratan redaman. Namun, untuk bentuk-bentuk tertentu redaman yang bersifat
ideal wajar untuk struktur yang banyak , persamaan menjadi uncoupled, seperti untuk sistem teredam. Kita harus menunjukkan kesalahannya berikutnya .
Dengan mensubstitusi persamaan2.32 dalam Pers.2.28 memberikan
� � ϕ
r
q ̈
r
t
N r=1
+ � � ϕ
r
q ̇
r
t
N r=1
= + � � ϕ
r
q
r
t
N r=1
= �t
Mengalikan setiap istilah dalam persamaan ini dengan ϕ
n T
menjadi
� ϕ
n T
� ϕ
r
q ̈
r
t
N r=1
+ � ϕ
n T
� ϕ
r
q ̇
r
t
N r=1
= + � ϕ
n T
� ϕ
r
q
r
t
N r=1
= ϕ
n T
�t
Yang dapat ditulis kembali sebagai �
n
q ̈
n
+ ∑
C
nr
q ̇
r
+ K
n
q
n N
r=1
= P
n
t Pers. 2.39
Dimana M
n
, K
n
, dan �
n
t didefinisikan dalam Pers . 2.34 dan C
nr
= ϕ
n T
� ϕ
r
Pers. 2.40
Universitas Sumatera Utara
58
Persamaan 2.39 ada untuk setiap n = 1 sampai N dan set N persamaan dapat ditulis dalam bentuk matriks :
��̈ + ��̇ + �� = �� Pers. 2.41
Dimana M, K dan Pt diperlihatkan dalam Pers . 2.36 dan C adalah matriks yang
tidak diagonal dari koefisien C
nr
. persamaan dalam koordinat N modal
q
n
t digabungkan melalui redaman karena Persamaan 2.39 berisi lebih dari
satu kecepatan modal .
Persamaan modal akan uncoupled jika sistem memiliki redaman klasik. Untuk sistem seperti ini,
C
nr
= 0 jika n ≠ r dan Persamaan 2.39 tereduksi menjadi
�
n
q ̈
n
+ �
n
q ̇
n
+ K
n
q
n
= P
n
t Pers. 2.42
Dimana umum redaman C
n
didefinisikan oleh Persamaan sebelumnya. Persamaan ini mengatur respon sistem SDF ditunjukkan dalam gambar II.7 . Membagi Persamaan
2.42 oleh M memberikan
q ̈
n
+ 2 ξ ω
n
q ̇
n
+ ω
n 2
q
n
=
P
n
t M
n
Pers. 2.43
Dimana ζ
n
adalah rasio redaman untuk mode n . Rasio redaman biasanya tidak dihitung dengan menggunakan Persamaan namun diperkirakan berdasarkan data
eksperimental untuk struktur yang mirip dengan salah satu yang sedang dianalisis. Persamaan 2.42 mengatur n modal koordinat
q
n
t, dan parameter M
n
, K
n
, C
n
dan P
n
t hanya tergantung pada modus n ϕ
n
, bukan pada mode lainnya. Dengan demikian kita memiliki N persamaan uncoupled seperti Pers. 2.42, satu
Universitas Sumatera Utara
59
untuk setiap mode alami . Singkatnya, himpunan N ditambah persamaan diferensial 2.38 di nodal perpindahan
u
j
t telah berubah ke set dari N uncoupled pers.2.42 dalam koordinat modal
q
n
t.
Gambar 2.6 Sistem SDOF umum pada mode ke-n alami sumber: Chopra, 1995
2.6.5.1.1.3
Respon Perpidahan
Untuk memberikan kekuatan dinamik eksternal yang didefinisikan oleh pt, respon dinamik dari sistem MDF dapat ditentukan dengan
memecahkan persamaan2.42 atau 2.43 untuk koordinat modal q
n
t. Setiap persamaan modal adalah dalam bentuk yang sama dengan persamaan
gerak untuk sistem SDF . Dengan demikian metode solusi dan hasil yang tersedia untuk sistem SDF dapat disesuaikan untuk mendapatkan solusi
q
n
t untuk persamaan modal . Setelah koordinat modal
q
n
t telah ditentukan , Persamaan2.43 menunjukkan bahwa kontribusi mode n dengan perpindahan
u t adalah �
n
t = ϕ
n
q
n
t Pers. 2.44
Dan menggabungkan kontribusi modal ini memberikan perpindahan total:
Universitas Sumatera Utara
60
�t = � �
n
t
N n=1
+ � ϕ
n
q
n
t
N n=1
����. �. ��
Prosedur ini dikenal sebagai analisis modal klasik atau metode superposisi modus klasik karena individu uncoupled persamaan modal yang diselesaikan untuk
menentukan koordinat modal q
n
t dan respon modal �
n
t, dan latterare dikombinasikan untuk mendapatkan total respon
�t Lebih tepatnya , metoda yang ini disebut modus metode superposisi perpindahan klasik karena perpindahan modal
yang disuperposisikan . Untuk singkatnya kita biasanya merujuk pada prosedur ini sebagai metode analisis modal dibatasi untuk linear systemswith redaman klasik.
Linearitas sistem ini implisit i menggunakan prinsip superposisi , Persamaan. 2.32 . Redaman harus dari bentuk klasik untuk mendapatkan persamaan modal yang
uncoupled, fitur utama dari analisis modal.
2.6.5.1.1.4
Gaya elemen
Dua prosedur yang tersedia untuk menentukan gaya dalam berbagai elemen - balok , kolom , dinding, dll - struktur pada waktu t instan dari perpindahan u t
pada saat yang bersamaan . Dalam modal anakisis ini adalah instruktif untuk menentukan kontribusi dari mode yang individu ke kekuatan elemen. Pada
prosedur pertama, kontribusi mode n �
n
t untuk kekuatan elemen �� ditentukan
dari pemindahan modal u
n
t menggunakan sifat kekakuan elemen . Kemudian gaya
elemen mempertimbangkan kontribusi dari semua mode adalah
�� = � �
n
t
N n=1
����. �. ��
Universitas Sumatera Utara
61
Pada prosedur kedua , kekuatan statik ekuivalen yang berhubungan dengan respon mode ke-n didefinisikan dengan menghapus subskrip :
f
n
t = ku
n
t. Subsitusikan
pers. 2.44 dan menggunakan Persamaan sebelumnya memberikan:
�
n
t = ω
n 2
� ϕ
r
q
n
����. �. ��
Analisis statis dari struktur mengalami gaya-gaya eksternal pada setiap waktu yang singkat memberikan gaya elemen
�
n
t. Kemudian gaya total
