Getaran bebas pada struktur MDOF .1 Nilai karakteristik

47 Pers .2.17 Sedangkan { �̈}, {�̇}, {�} ���{��} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, { �̈} = � �̈ 1 �̈ 2 �̈ 3 � , {�̇} = � �̇ 1 �̇ 2 �̇ 3 � , {�} = � � 1 � 2 � 3 � , ���{��} = � � 1 � � 2 � � 3 � � Pers .2.18 Secara visual Chopra 1995 menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3. Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan � � , � � , ��� � � Sumber: Chopra, 1995 2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF 2.6.4.1 Nilai karakteristik eigenproblem Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas free vibration system pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas jenis getaran ini akan diperoleh suatu besarankarakteristik dari struktur yang Universitas Sumatera Utara 48 bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut �, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes. Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF, maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas kanan sama dengan nol, [ �]��̈� + [�]��̇� + [�]{�} = 0 Pers .2.19 Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman damped frequency � � nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman �. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio � relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers 2.19 akan menjadi, [ �]��̈� + [�]{�} = 0 Pers .2.20 Karena pers. 2.19 adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk, �̈ = {Φ} � sin ⁡�� �̇ = −� {Φ} � cos �� � = −� 2 { Φ} � sin ⁡�� Pers .2.21 Universitas Sumatera Utara 49 Yang mana { Φ} � adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.2.21 kedalam pers. 2.20 selanjutnya akan diperoleh, −� 2 [ �]{Φ} � sin �� + [�] sin�� = 0 {[ �] − � 2 [ �]}{Φ} � = 0 Pers .2.22 Pers. 2.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut eigenvalue problem. Pers. 2.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer 1704-1752. Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor { Φ} � adalah nol, sehingga, {[ �] − � 2 [ �]} = 0 Pers .2.23 Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis pola ragam getaran goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang Universitas Sumatera Utara 50 berhubungan langsung dengan jenis nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang selanjutnya akan menhasilkan � � 2 untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing- masing frekuensi � � maka akan diperoleh nilai-nilai Φ 1 , Φ 2 , … . , Φ � .

2.6.4.2 Frekuensi sudut � dan normal modes

Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, didalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut: Gambar 2.4 Bangunan 2-DOF dan model matematika sumber: Widodo, 2000 Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam pola goyangan. Normal modes adalah Universitas Sumatera Utara 51 suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut diterjemahkan sebagai ragampola goyangan. Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan differensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram seperti pada gambar 2.4.c dan diperoleh, � 1 �̈ 1 + � 1 � 1 − � 2 � 2 − � 1 = 0 � 2 �̈ 2 + � 2 � 2 − � 1 = 0 Pers. 2.24 Pers. 2.24 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu, � 1 �̈ 1 + � 1 + � 2 � 1 − � 2 � 2 = 0 Pers. 2.25 � 2 �̈ 2 − � 2 � 1 + � 2 � 2 = 0 Pers. 2.26 Pers. 2.25 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu, �� 1 � 2 � ��̈ 1 �̈ 2 � + � � 1 + � 2 −� 2 −� 2 � 2 � � � 1 � 2 � = � 0� Pers. 2.27 Selanjutnya persamaan Eigenproblem atas pers. 2.26 adalah, � � 1 + � 2 − � 2 � 1 −� 2 −� 2 � 2 − � 2 � 2 � �� 1 � 2 � = � 0� Pers. 2.28 Dengan Φ 1 adalah suatu nilai ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragampola goyangan massa ke-i. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. 2.28 akan ada penyelesaiannya apabila dipenuhi nilai determinan, � � 1 + � 2 − � 2 � 1 −� 2 −� 2 � 2 − � 2 � 2 �=0 Pers. 2.29 Universitas Sumatera Utara 52 Apabila pers. 2.29 tersebut diteruskan nilai determinannya adalah, � 1 � 2 � 4 − {� 1 + � 2 � 2 −� 2 � 1 } � 2 + � 1 + � 2 � 2 − � 2 2 = 0 Pers. 2.30 Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan undamped free vibration periods. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan ingat � � � sehingga � � � . Selain daripada itu nilai-nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai masssa dan kekakuan tingkatnya tidak berubah. Karena nilai kekakuan tingkat k i tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai mode shapes. Juga tampak bahwa nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian apabila disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah: a. Bebas dari pengaruh redaman, b. Bebas dari pengaruh waktu, c. Bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. Hanya untuk struktur yang elastik. Universitas Sumatera Utara 53 II.6.5 Getaran bebas pada struktur MDOF II.6.5.1 Modal Analisis