Getaran bebas pada struktur MDOF .1 Nilai karakteristik
47
Pers .2.17
Sedangkan { �̈}, {�̇}, {�} ���{��} masing-masing adalah vektor percepatan, vektor
kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,
{ �̈} = �
�̈
1
�̈
2
�̈
3
� , {�̇} = � �̇
1
�̇
2
�̇
3
� , {�} = � �
1
�
2
�
3
� , ���{��} = � �
1
� �
2
� �
3
�
� Pers .2.18
Secara visual Chopra 1995 menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam dan gaya inersia seperti pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan
�
�
, �
�
, ��� �
�
Sumber: Chopra, 1995
2.6.4 Getaran bebas pada struktur MDOF 2.6.4.1 Nilai karakteristik
eigenproblem
Sebagaimana disebut di atas bahwa walaupun getaran bebas free vibration system pada kenyataannya jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi membahas
jenis getaran ini akan diperoleh suatu besarankarakteristik dari struktur yang
Universitas Sumatera Utara
48
bersangkutan yang selanjutnya akan sangat berguna untuk pembahasan-pembahasan respon struktur berikutnya. Besaran-besaran tersebut terutama adalah frekuensi sudut
�, periode getar T, frekuensi alam f dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF, maka natriks persamaan differensial gerakannya adalah dengan nilai ruas
kanan sama dengan nol, [
�]��̈� + [�]��̇� + [�]{�} = 0 Pers .2.19
Telah dibahas sebelumnya bahwa frekuensi sudut pada struktur dengan redaman damped frequency
�
�
nilainya hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman
�. Hal ini akan diperoleh apabila nilai damping ratio
� relatif kecil. Apabila hal ini diadopsi untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka untuk nilai C = 0, pers 2.19 akan menjadi,
[
�]��̈� + [�]{�} = 0 Pers .2.20
Karena pers. 2.19 adalah persamaan differensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka sebagaimana penyelesaian persamaan
differensial yang sejenis pada pembahasan-pembahasan di depan, maka penyelesaian persamaan tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
�̈ = {Φ}
�
sin ��
�̇ = −� {Φ}
�
cos ��
� = −�
2
{ Φ}
�
sin
�� Pers .2.21
Universitas Sumatera Utara
49
Yang mana { Φ}
�
adalah suatu koordinat masa pada mode yang ke-i. Substitusi pers.2.21 kedalam pers. 2.20 selanjutnya akan diperoleh,
−�
2
[ �]{Φ}
�
sin �� + [�] sin�� = 0
{[ �] − �
2
[ �]}{Φ}
�
= 0 Pers .2.22
Pers. 2.22 adalah suatu persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan eigenproblem atau karakteristik problem atau ada juga yang menyebut
eigenvalue problem. Pers. 2.22 tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan
persamaan simultan tersebut adalah dengan memakai dalil Cramer 1704-1752. Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika yang berasal dari Swiss. Dalil
tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor
{ Φ}
�
adalah nol, sehingga, {[
�] − �
2
[
�]} = 0 Pers .2.23
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode itu sendiri adalah jenis pola ragam
getaran goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari properti dinamik dari struktur yang bersangkutan dalam hal ini adalah hanya massa
dan kekakuan tingkat dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan
yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis mode gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang
Universitas Sumatera Utara
50
berhubungan langsung dengan jenis nomor mode nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka akan menghasilkan suatu polinominal pangkat n yang
selanjutnya akan menhasilkan �
� 2
untuk i = 1,2,3,...n. Selanjutnya, substitusi masing- masing frekuensi
�
�
maka akan diperoleh nilai-nilai Φ
1
, Φ
2
, … . , Φ
�
.