1. Seluruh fungsi pembatas nilai ruas kanannya tidak bernilai negatif
2. Seluruh variabel keputusan tidak bernilai negatif
3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi
2.1.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming
Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming
adalah sebagai berikut : 1.
Kesebandingan Proportionality Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan
sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding propotional dengan perubahan tingkat kegiatan.
Contoh : a.
Setiap pertamabahan 1 unit akan menaikkan Z sebesar
b. Setiap pertama bahan 1 unit
akan menaikkan penggunaan sumber sebesar
2. Penambahan Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat independent bebastidak saling bergantung dan dalam linier programming
dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan Z yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai
kegiatan lain. misalnya :
Z = 3 + 5
Universitas Sumatera Utara
dengan = 10 ;
= 2 sehingga Z = 30 + 10 = 40
Andaikan bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama,
nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan dapat langsung
ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2
. Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara dan
.
3. Pembagian Divisibility
Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka pecahan.
Misalnya : Dari hasil perhitungan didapat nilai
= 4,5 ; = 7,25 dan Z =
85.000,25. Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan
menggunakan integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak mungkin dalam bentuk pecahan.
4. Kepastian Deteministic
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model linier programming yang berupa
, dan dapat diketahui secara pasti.
2.1.3 Terminologi Linier Programming
Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi
itu. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Linier Programming.
Universitas Sumatera Utara
1. Variabel Keputusan decision variable adalah seperangkat variabel yang tidak
diketahui dilambangkan , dengan j = 1, 2, . . . , n yang akan dicari nilainya varibel keputusan
2. Nilai Sebelah Kanan Right hand side value adalah nilai-nilai yang biasanya
menunjukkan ketersediaan sumber daya dilambangkan dangan yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya nilai sisi kanan .
3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari
persamaan. 4.
Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai
negatif dengan angka terbesar. 5.
Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara
membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.
6. Angka kunci pivot merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris
kunci. 2.1.4 Unsur-Unsur Linier Programming
Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala.
Fungsi Tujuan
Adapun tujuan dalam linier programming, yaitu: MinimumkanMaksimumkan
Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah peubah-peubah slek dan surplus.
Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan
diselesaikan secara tidak langsung melalui minimisasimaksimasi deviasi negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier programming mencari nilai solusi
secara langsung melalui minimisasimaksimasi deviasi-deviasi dari nilai RHSnya.
Universitas Sumatera Utara
Kendala Tujuan
Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat
jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel deviasi yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-
kendala yang tidak memiliki variabel deviasi. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1 maknanya
serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimasi.
Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah
program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan deviasi dua arah yaitu ≤ dan ≥, tetapi persamaan ini mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama
dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel
, seperti pada persamaan keempat.
Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pemrograman linier ini, yaitu cara grafis dan metode simpleks Dimyati dan
A.Dimyati, 1992.
1. Metode Grafik
Metode grarik dapat digunakan pada pemrograman linier jika masalah yang dihadapi mengandung tidak lebih dari dua variabel Taha, 1982.
Menurut Dimyati dan A.Dimyati 1992, metode grafik telah memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan persoalan-
persoalan pemrograman linier, hanya perlu memperhatikan titik ekstrem titik terjauh pada ruang solusi atau daerah fisibel.
2. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah prosedur pemecahan pemrograman linier yang lebih efisien daripada metode grafik. Penerapan metode simpleks pada masalah
program linier dikembangkan untuk pertama kali oleh George Dantzig pada tahun 1947 Hiller dan Liberman, 1980.
Universitas Sumatera Utara
Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan pemrograman linier yang
mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar Dimyati dan A. Dimyati, 1992.
Perhitungan metode simpleks merupakan proses iterasi. Hal ini berarti bahwa untuk mencapai solusi yang optimal, perhitungan dilakukan berulang-
ulang mengikuti pola standard secara sistematik. Karakteristik lain pada metode simpleks adalah pada nilai fungsi tujuannya akan sama atau lebih besar
pada solusi terbaru dibandingkan dengan solusi terdahulu Levin et el, 1982.
Di dalam menyelesaikan persoalan pemrograman linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk
standard Dimyati dan A. Dimyati.
Menurut Gillet 1976, untuk mengubah suatu bentuk formulasi pemrograman linier yang belum standard ke dalam bentuk standard dapat
dilakukan cara-cara sebagai berikut : a.
Peubah tambahan slack variable Konversi fungsi ketidaksamaan lebih kecil sama dengan
≤ pada fungsi pembatas memerlukan tambahan suatu peubah yang disebut
peubah tambahan, peubah ini menggambarkan tingkat pengangguran dari sumber daya. Jika ada m fungsi ketidaksamaan
≤ pada fungsi pembatas dan terdapat r peubah kebijaksanaan dalam formulasi permasalahan maka dengan penambahan peubah
tambahan, fungsi pembatas mengalami perubahan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
dimana adalah peubah tambahan slack variable.
Penambahan peubah tambahan juga akan mengubah fungsi tujuan menjadi :
maks min b.
Peubah buatan Apabila dalam fungsi pembatas terdapat ketidaksamaan lebih besar
sama dengan ≥ maka fungsi pembatas dapat diubah menjadi
bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan oleh sebuah peubah positif, sebagai berikut :
Peubah merupakan suatu peubah yang biasa disebut sebagai
peubah tambahan. Metode simpleks belum dapat diterapkan dengan formulasi seperti di atas karena dalam metode simpleks dibutuhkan
kondisi-kondisi berikut: 1.
Semua konstanta pada sisi kanan persamaan bernilai lebih besar atau sama dengan nol.
2. Setiap persamaan harus mempunyai sebuah peubah
berkoefisien satu pada persamaan tersebut dan nol pada persamaan yang lain.
Persamaan di atas, agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks, maka harus diubah menjadi :
Akibat penambahan peubah buatan maka perlu
penambahan suatu bilangan -M untuk masalah maksimasi pada fungsi tujuan, sehingga fungsi tujuannya menjadi :
Universitas Sumatera Utara
Pada fungsi pembatas yang berbentuk persamaan, peubah buatan perlu ditambahkan untuk memenuhi kondisi 2 pada
metode simpleks. Perubahan fungsi pembatas yang berbentuk persamaan dengan adanya penambahan peubah buatan adalah
sebagai berikut:
menjadi :
dan fungsi tujuannya menjadi :
2.2 Pemrograman Integer Integer Programming
