Aplikasi Program Integer pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

 

 

SKRIPSI

ERLINA

070803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ERLINA 070803054

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

  PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA

PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

Kategori : SKRIPSI

Nama : ERLINA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803054

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2013

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si Dra. Elly Rosmaini, M.Si

NIP. 19530303 198303 1 002 NIP 19600520 19803 2 002

Diketahui/ Disetujui oleh:

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 19620911 198803 1 002

PERNYATAAN

ANALISIS KOMPONEN UTAMA SEBAGAI METODE UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINEARITAS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2012

SILVIA HARLENI 080803010

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan segala rahmat dan hidayah-Nya, dan yang telah memberi kekuatan akal dan fikiran sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul Aplikasi Program Integer pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada Dra. Elly Rosmaini, M.Si. selaku pembimbing I dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si pembing II yang telah menyediakan waktunya untuk membimbing dan memberikan pengarahan kepada penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan. Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc dan Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku dosen penguji penulis yang telah banyak memberi masukan yang sangat berarti sehingga selesainya skripsi ini. Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., Ph.D M.Sc dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam beserta Civitas Akademi Universitas Sumatera Utara

Kedua orang tua saya Bapak H. Murti dan Ibu Hj. Saidah Siregar, kakak dan abang penulis yang senantiasa memberikan dukungan doa dan materi kepada penulis. Seluruh teman-teman kuliah dan junior matematika, khususnya kepada stambuk 2007 Aida, Pita, Minda, Erna, Nisa dan teman-teman yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu yang telah memberikan dorongan semangat serta saran dalam pengerjaan skripsi ini.

Dengan segala kerendahan hati Penulis menyadari banyak kekurangan dan ketidaksempurnaan pada skripsi ini. Oleh karena itu, Penulis sangat mengharapkan dan berterimakasih untuk semua bentuk saran dan kritikan yang membangun demi menambah wawasan dan pengetahuan Penulis Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi yang memerlukannya.

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

ABSTRAK

Rumah tipe 65(X1) dan tipe 45(X2) akan dimodelkan ke dalam model matematika

berupa integer peogramming yang merupakan bagian dari masalah pemrograman linier, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan bulat. Masalah integer

programming akan diselesaikan menggunakan metode branch and bound yang

terlebih dahulu merubah masalah integer programming ke bentuk pemrograman linier, kemudian digunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier tersebut. Fungsi tujuan memaksimalkan penjualan rumah Z = 180.000.000X1 +

140.000.000X2 dan fungsi kendala bahan-bahan bangunan. Jumlah rumah untuk tipe

65 adalah 36 unit dan tipe 45 sebanyak 62 unit.

APPLICATION OF INTEGER PROGRAMMING TO PERUMAHAN BUMI SERGAI IN SEI RAMPAH

ABSTRACT

A housing will be built in Sei Rampah the Earth Housing Sergai, with two types. Type 65 (X1) and type 45 (X2). This problem will be modeled in the form of mathematical

models peogramming integer that is part of a linear programming problem, where the decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved using the branch and bound method to first change the integer programming problem into a linear programming form, then use the simplex method to solve the linear programming problem. With the objective function of the selling price of the house Z = 180.000.000X1 + 140.000.000X2 and constraint functions of building materials. The

number of homes for Type 65 are 36 units and type 45 as many as 62 units.

DAFTAR ISI Halaman Persetujuan i Pernyataan ii Penghargaan iii Abstrak iv Absract vi

Daftar Isi vi

Daftar Tabel vii

Daftar Gambar viii

Daftar Lampiran ix

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Batasan Masalah 4

1.4 Tinjauan Pustaka 5

1.5 Tujuan Penelitian 7

1.6 Kontribusi Penelitian 7

1.7 Metode Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Linear Programming 8

2.1.1 Model Linier Programming 8

2.1.2 Asumsi-Asumsi Linear Programming 13

2.1.3 Terminologi Linier Programming 14

2.1.4 Unsur-unsur Linier Programming 15

2.2 Pemrograman Bilangan Bulat (Integer Programming) 19

2.3 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) 27

Bab 3 Pembahasan

3.1 Pengumpulan Data 36

3.2 Hasil Pengumpulan Data 36

3.3 Perumusan Data ke dalam Model Matematika 38

3.4 Pengolahan Data 40

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 49

4.2 Saran 49

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

2.1 Tabel Linear Programming 12

3.1 Data Perumahan Bumi Sergai 40

3.2 Tabel Simpleks 42

3.3 Tabel Simpleks I 42

3.4 Tabel Simpleks II 43

3.5 Tabel Simpleks III 43

3.6 Tabel Alternatif Pembulatan Jumlah Tipe Setiap Rumah

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP

Optimasi Maksimum 32

2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP

Optimasi Minimum 33

2.3 Skema Pengolahan Data 35

3.1 Diagram Branch and Bound Perumahan Bumi Sergai

(Titik X1 yang dicabangkan) 46

3.2 Diagram Branch and Bound Perumahan Bumi Sergai

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lamp

1 Tabel QM 1 52

2 Tabel QM 2 53

3 Data Perumahan Bumi Sergai 55

4 Surat keputusan pengambilan data 56

5 Surat keputusan telah melakukan riset

Di Perumahan Bumi Sergai 57

6 Brosur Perumahan Bumi Sergai 58

APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH

ABSTRAK

Rumah tipe 65(X1) dan tipe 45(X2) akan dimodelkan ke dalam model matematika

berupa integer peogramming yang merupakan bagian dari masalah pemrograman linier, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan bulat. Masalah integer

programming akan diselesaikan menggunakan metode branch and bound yang

terlebih dahulu merubah masalah integer programming ke bentuk pemrograman linier, kemudian digunakan metode simpleks untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier tersebut. Fungsi tujuan memaksimalkan penjualan rumah Z = 180.000.000X1 +

140.000.000X2 dan fungsi kendala bahan-bahan bangunan. Jumlah rumah untuk tipe

65 adalah 36 unit dan tipe 45 sebanyak 62 unit.

APPLICATION OF INTEGER PROGRAMMING TO PERUMAHAN BUMI SERGAI IN SEI RAMPAH

ABSTRACT

A housing will be built in Sei Rampah the Earth Housing Sergai, with two types. Type 65 (X1) and type 45 (X2). This problem will be modeled in the form of mathematical

models peogramming integer that is part of a linear programming problem, where the decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved using the branch and bound method to first change the integer programming problem into a linear programming form, then use the simplex method to solve the linear programming problem. With the objective function of the selling price of the house Z = 180.000.000X1 + 140.000.000X2 and constraint functions of building materials. The

number of homes for Type 65 are 36 units and type 45 as many as 62 units.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Optimasi adalah suatu proses pencarian hasil terbaik. Proses ini dalam analisis sistem diterapkan terhadap alternatif yang dipertimbangkan, kemudian dari hasil tersebut dipilih alternatif yang menghasilkan keadaan terbaik, yaitu dengan mencari solusi optimum (maksimum atau minimum) sesuai dengan fungsi tujuan dan kendala yang ada. Karena optimasi mencakup usaha untuk menemukan cara terbaik dalam melakukan sesuatu pekerjaan dan cara terbaik dalam memecahkan suatu persoalan, maka aplikasinya meluas pada hal-hal praktis dalam dunia industri, produksi, perdagangan dan sebagainya.

Pertumbuhan jumlah penduduk yang terus meningkat berakibat kepada kebutuhan akan rumah juga meningkat. Melihat keadaan ini banyak pengembang yang bermunculan untuk menyediakan rumah tempat tinggal. Rumah yang dikembangkan mulai dari rumah tipe sangat sederhana sampai tipe rumah mewah. Pengembang biasanya lebih tertarik mengembangkan tipe rumah mewah karena keuntungan marginalnya lebih bagus dibandingkan jika mengembangkan tipe rumah sederhana. Namun disisi lain masyarakat lebih banyak membutuhkan tipe rumah sederhana sesuai kemampuan mereka.

Menurut Lewis (1984 dalam Suparlan) masyarakat berpenghasilan rendah adalah kelompok masyarakat yang mengalami tekanan ekonomi, sosial, budaya dan politik yang cukup lama dan dapat menimbulkan budaya miskin. Sedangkan menurut

Asian Development Bank (ADB) masyarakat berpenghasilan rendah adalah

masyarakat yang tidak memiliki akses dalam menentukan keputusan yang menyangkut kehidupan mereka; secara sosial mereka tersingkir dari institusi

masyarakat; rendahnya kualitas hidup; buruknya etos kerja dan pola pikir mereka serta lemahnya akses mereka terhadap aset lingkungan seperti air bersih dan listrik.

Kebutuhan akan rumah merupakan salah satu kebutuhan dasar (home needs) bagi manusia setelah pangan dan sandang. Setiap individu manusia akan mengutamakan pemenuhan kebutuhan dasar daripada kebutuhan sekundernya. Begitu pula dengan kebutuhan akan rumah, setiap orang akan berusaha memenuhi kebutuhan akan rumah dalam setiap tingkat kehidupan masyarakat dengan memperhatikan selera dan kemampuan yang ada. Namun, tidak semua masyarakat bisa dengan mudah membangun rumah, diperlukan berbagai hal sehingga rumah itu bisa didirikan dan ditempati. Misalnya, tanah, kepemilikan tanah, struktur bangunan, tes kelayakan dan perizinan pendirian bangunan. Banyak masyarakat yang tidak ingin direpotkan dengan hal seperti itu, karena itu masyarakat yang ingin membangun atau membeli rumah menempuh cara yang lebih efektif dan tidak menyita banyak waktu, yaitu dengan cara membeli rumah sebuah agen rumah atau perumahan yang biasa disebut dengan developer dan pembayarannya pun bisa dilakukan dengan cara tunai ataupun kredit melalui sebuah lembaga perbankan yang sudah ditunjuk.

Rumah adalah bangunan yang berfungsi sebagai tempat tinggal atau hunian dan sarana binaan keluarga. (Turner, 1972) menyatakan bahwa rumah mengandung arti sebagai komoditi dan sebagai proses. Sebagai komoditi, rumah merupakan produk yang bersifat ekonomis dan dapat diperjualbelikan berdasarkan permintaan dan penawaran. Sebagai proses, rumah menggambarkan aktivitas manusia yang menjadi proses penghuni rumah tersebut, yang dapat meningkat sesuai dengan kondisi sumber daya yang ada serta pandangan atas kebutuhan sesuai persepsinya. Dalam hal ini rumah tidak dapat dipandang sebagai bangunan fisik saja, namun lebih merupakan bagaimana rumah tersebut digunakan penghuninya untuk saling berinteraksi dalam suatu proses yang panjang.

Rumah merupakan salah satu bagian terpenting dalam kehidupan masyarakat. Oleh sebab itu pemerintah akan selalu mengusahakan dalam tingkat kehidupan setiap orang dengan memperhatikan selera dan kemampuan yang ada (Tito Soetalaksana, 2000). Perumahan adalah sekelompok rumah yang telah dilengkapi sarana dan

prasarana. Bila telah dapat menunjang kehidupan dan perikehidupan manusia maka disebut sebagai permukiman.

Sebuah perumahan akan dibangun di daerah Sei Rampah, Perumahan itu diberi nama Bumi Sergai. Rumah-rumah yang akan dibangun mempunyai beberapa tipe, yaitu tipe 45 dan tipe 65. Masalah yang akan dibahas adalah pengoptimalan pemakaian bahan-bahan bangunan yang akan digunakan untuk membangun rumah-rumah tersebut. Bahan-bahan tersebut terdiri dari semen, batu bata, pasir, seng, kayu, gypsum, besi, paku, keramik dan batu koral. Agar pembangunan perumahan untuk setiap tipe mencapai optimal maka digunakan sebuah metode branch and bound

dengan formulasi program integer ( program linier integer).

Program integer adalah program linear (Linear Programming) di mana variabel-variabelnya bertipe integer. Program integer digunakan untuk memodelkan permasalahan yang variabel-variabelnya berupa bilangan yang tidak bulat (bilangan

real). Program integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan dengan variabel berupa bilangan real yang mana dalam memodelkan permasalahan menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnyakeuntungan produksi 3 pesawat dibandingkan dengankeuntungan produksi 3,5 pesawat akan menghasilkan selisih keuntungan yang signifikan.

Model Program integer biasanya dipilih untuk permasalahan yang variabel-variabelnya tidak dimungkinkan bertipe bilangan tidak bulat, misalnya: variabel jumlah orang. Program integer dapat diselesaikan dengan banyak cara, antara lain : menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi dan sebagainya. Salah satu cara yang cukup efektif untuk menyelesaikan program integer adalah dengan mengaplikasikan algoritma Branch and Bound (Shieny, 2007).

Algoritma Branch and Bound adalah metode algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai permasalahan optimasi, terutama untuk optimasi diskrit dan kombinatorial. Sebagaimana pada algoritma runut-balik (Backtracking), algoritma

Branch and Bound juga merupakan metode pencarian di dalam ruang solusi secara

membedakan keduanya adalah bila pada algoritma runut-balik (Backtracking), ruang solusi dibangun secara dinamis berdasarkan skema DFS (Depth First Search), maka pada algoritma Branch and Bound ruang solusi dibangun dengan skema BFS (Breadth First Search) (Shieny, 2007).

Algoritma Branch and Bound banyak digunakan untuk memecahkan berbagai macam permasalahan antara lain : persoalan Knapsack 0/1, Travelling Salesman

Problem (TSP), The N-Queens Problem (Persoalan N-Ratu), Graph Colouring

(Pewarnaan Graf), Sirkuit Hamilton, Integer Programming, Nonlinear Programming,

Quadratic Assignment Problem (QAP), Maximum Satisfiability Problem

(MAX-SAT), dan lain sebagainya. Berdasarkan kondisi-kondisi di atas maka penulis mengambil judul tugas akhir ini sebagai : “APLIKASI PROGRAM INTEGER PADA PERUMAHAN BUMI SERGAI DI SEI RAMPAH”.

1.2Perumusan Masalah

Permasalahan dalam tulisan ini menentukan jumlah tipe rumah yang akan dibangun sehingga memenuhi aspek pasar dalam penyediaan rumah sederhana, terjangkau dan sesuai dengan kemampuan pembeli.

1.3Batasan Masalah

Banyak metode yang ada untuk menentukan penyelesaian integer programming. Namun agar penyelesaian permasalahan tidak menyimpang dari pembahasan, penulis merasa perlu membuat pembatasan permasalahan yaitu:

1. Hanya membahas metode branch and bound sebagai penyelesaian integer programming.

2. Memaksimalkan penjualan rumah dengan fungsi kendala bahan bangunan. 3. Solusi optimum variabel keputusan harus bernilai integer

4. Model matematika diperoleh dari data yang diambil dari Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah.

5. Asumsikan bahan bangunan yang dijadikan fungsi kendala yang parameternya tidak harus berupa integer dan hanya sebagian yang dijadikan kendala ke

dalam model matematika. Bahan bangunan tersebut yaitu semen, pasir dan keramik.

1.4Tinjauan Pustaka

Istilah integer programming atau integer linear programming berhubungan dengan masalah program linier (linear programming) yang domain dari semua atau sebagian variabel-variabel masalah dibatasi integer (Paul R. Thie, 1979).

Integer programming merupakan sebuah formulasi dalam operasi riset, yang

mempunyai potensi untuk diaplikasikan. Model-model integer programming muncul di setiap aplikasi-aplikasi pemrograman matematis (mathematical programming), seperti penganggaran modal, penempatan gudang dan penjadwalan ( Charles S. Beighler dkk, 1979).

Program linier merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyelesaikan suatu problem program linier di mana nilai variabel keputusan yang penyelesain optimalnya harus merupakan bilangan bulat. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan bulat (integer) seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain-lain (Parlin Sitorus, 1997).

Program integer atau dikenal dalam bahasa inggris dengan integer programming merupakan bentuk khusus atau variasi dari program linear atau program non linear, di mana satu atau lebih dari peubah-peubahnya dalam vektor penyelesainnya memiliki nilai-nilai bukan pecahan atau angka bulat yang disebut integer (Nasendi, B. D. dan Affendi Anwar, 1984).

Pemrograman linier integer adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang memakai model matematika. Tujuannya adalah untuk mencari, memilih, dan menentukan alternatif yang terbaik dari antara sekian alternatif layak yang tersedia. Dikatakan linier karena peubah-peubah yang membentuk model pemrograman dianggap linier. Pemrograman linier pada hakekatnya merupakan suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis dengan tujuan menemukan kombinasi

alternatif pemecahan masalah, kemudian dipilih mana yang terbaik diantaranya dalam menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan optimal.

Maksimumkan

Kendala

Metode yang sangat berguna dalam memecahkan masalah pemrograman matematis adalah branch and bound. Algoritma branch and bound, digunakan untuk memecahkan masalah pemrograman integer. Algoritma ini berasal dari karya Land dan Doig, diterbitkan pada tahun 1960 (Paul R. Thie, 1979).

Branch and bound pada dasarnya adalah strategi "membagi dan

menaklukkan". Idenya adalah untuk mempartisi daerah layak dalam subdivisi dan kemudian dikelola lagi, jika diperlukan, untuk partisi lebih lanjut(Bradley dkk, 1977).

Awalnya algoritma branch and bound dipahami sebagai pemrograman mundur(backtracking), namun telah ditemukan cara yang lebih umum dalam pengaplikasian solusi integer dan mixed integer programming. Perhatikan bahwa diperlukan batas atas dan bawah pada semua variabel. Kemudian dapat diasumsikan bahwa semua batas bawah adalah nol karena transformasi sederhana akan selalu mengubah semua variabel kembali ke asal. Jika N adalah nol, maka itu adalah integer linear programming; jika semua variabel dibatasi dengan nol-satu, maka itu disebut program bilangan bulat biner. Semua himpunan masalah dapat diselesaikan dengan menggunakan prosedur branch and bound. Konsep yang mendasari strategi branch

berikut

[ ]

x_j +1≥x_j ≥

[ ]

x_j . Dimana [xj] adalah bilangan bulat (integer) yang lebih

besar, kurang dari atau sama dengan nilai xj (Charles S. Beighler dkk, 1979).

1.5Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk memformulasikan jumlah berbagai tipe rumah yang dibangun dalam pembangunan perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah sehingga mencapai solusi optimum dengan kendala berupa bahan bangunan yang variabel keputusannya harus berupa bilangan bulat.

1.6Kontribusi Penelitian

Tulisan ini dapat menambah referensi yang berhubungan dengan masalah integer

programming dengan pendekatan algoritma branch and bound, dan menjadi bahan

pertimbangan untuk membangun perumahan Bumi Sergai tersebut.

1.7Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam masalah ini adalah :

1. Melakukan studi yang berhubungan dengan Integer Programming menggunakan algoritma Branch and Bound berupa jurnal, artikel dan buku. 2. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang

berkaitan dengan topik penelitian. Data yang diambil:

a. Bahan-bahan yang digunakan yaitu: batu bata, semen, pasir, seng, besi, batu koral, gybsum, paku, kayu dan keramik.

b. Harga jual rumah per unit c. Luas bangunan

3. Mengolah data yang diperoleh dari Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah, memformulasikannya ke model matematika.

4. Kesimpulan dari hasil pengolahan data secara optimal dengan menggunakan pendekatan algoritma branch and bound.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Linear Programming

2.1.1 Model Linier Programming

Pemrograman linier adalah sebuah model matematik untuk menjelaskan suatu persoalan optimasi. Istilah linier menunjukkan bahwa seluruh fungsi matematik di dalam model harus berupa fungsi linier; sedang kata pemrograman dalam istilah ini pada hakekatnya sinonim dengan perencanaan. Oleh karena itu, Pemrograman linier mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk memperoleh hasil optimal, yaitu hasil yang memberikan nilai tujuan terbaik ( Siswanto, 1990).

Pemrograman linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dapat dilakukan (Dimyati dan A. Dimyati, 1987).

Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah dirumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya adalah menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika, yang terang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi ( Siagian, 1987).

Sebagai contoh dari pemecahan masalah dengan menggunakan program linier adalah keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan-batasan faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah dan sebagainya

untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal (Subagyo et al., 1990).

Linier programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Linier programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan masalah yang dihadapi. Linier memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus merupakan fungsi-fungsi linier, sedangkan programming/pemrograman dapat diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linier programming dapat didefinisikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya-sumber daya yang terbatas secara optimal.

Model pemrograman linier memiliki tiga unsur dasar, yaitu (1) variabel keputusan merupakan variabel yang akan dicari dan memberi nilai yang paling baik bagi tujuan yang hendak dicapai (2) fungsi tujuan menunjukkan fungsi matematik yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan dan mencerminkan tujuan yang hendak dicapai, dan (3) fungsi kendala menunjukkan fungsi matematik yang menjadi kendala bagi usaha untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan dan mewakili kendala-kendala yang harus dihadapi oleh organisasi (Siswanto, 1990).

Model dasar atau Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut :

Cari nilai-nilai yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi optimum (maksimum atau minimum) dari :

Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala sebagai berikut:

. . . .

. . . .

. . . .

atau dalam bentuk umumnya :

optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) :

dengan syarat ikatan :

Untuk:

= Parameter yang dijadikan kriteria optimasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan.

= Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

= Koefisien peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke-i.

= Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i.

= Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.

Konsep linier programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh

George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah linier programming

dengan banyak variabel keputusan. Kemudian banyak ahli yang bergabung dengan Dantzig dalam konsep pengembangan linier programming. Paper pertamanya adalah metode solusi yang bernama metode simplex. Dalam pengembangan linier programming, Dantzig bekerjasama dengan Marshal Wood dan Alex O, dan masih banyak para ahli yang lainnya ikut. Kemudian, setelah berhasil diterapkan pada sektor pemerintah dan swasta, akhirnya disadari bahwa linier programming merupakan masalah yang sangat membantu dalam analisis bidang bisnis.

Model Linier Programming ini merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik linier programming. Dalam model linier programming dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu : 1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan

tujuan/sasaran di dalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. 2. Fungsi Batasan (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis

batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Tabel 2.1 Tabel Linier Programming

1 2 3 4 5

1

0 0 0 0 2

1 0 0

0 0 0

. . . 3

0 1 0

. . .

0 0 1

Kolom 1 : Faktor prioritas dan bobot untuk setiap variabel deviasi positif (yakni variabel basis) dan memasukkan variabel deviasi artificial seperti ditampilkan dalam kolom 2

Kolom 2 : Nilai total deviasi absolut, yang mewakili jumlah total deviasi dari semua tujuan untuk tiap table sebagai iterasi proses pendapatan

Kolom 3 : Koefisien variabel keputusan

Kolom 4 : Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif

Kolom 5 : Nilai sebelah kanan

Baris 1 : Variabel keputusan dan variabel deviasi

Baris 2 : Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan

Baris 3 : Bobot untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam fungsi objektif

Bentuk standard dari pemrograman linier menurut Taha (1982) mempunyai karakteristik :

1. Seluruh fungsi pembatas nilai ruas kanannya tidak bernilai negatif 2. Seluruh variabel keputusan tidak bernilai negatif

3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi

2.1.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming

Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming adalah sebagai berikut :

1. Kesebandingan (Proportionality)

Asumsi ini menyatakan bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (propotional) dengan perubahan tingkat kegiatan.

Contoh :

a.

Setiap pertamabahan 1 unit akan menaikkan Z sebesar

b.

Setiap pertama bahan 1 unit akan menaikkan penggunaan sumber sebesar

2. Penambahan (Additivity)

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat

independent (bebas/tidak saling bergantung) dan dalam linier programming

dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.

misalnya :

dengan = 10 ; = 2 sehingga Z = 30 + 10 = 40

Andaikan bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2 ( ). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara dan .

3. Pembagian (Divisibility)

Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka pecahan.

Misalnya :

Dari hasil perhitungan didapat nilai = 4,5 ; = 7,25 dan Z = 85.000,25.

Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan menggunakan integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak mungkin dalam bentuk pecahan.

4. Kepastian (Deteministic)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model linier programming yang berupa , dan dapat diketahui secara pasti.

2.1.3 Terminologi Linier Programming

Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi itu. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Linier Programming.

1. Variabel Keputusan (decision variable)adalah seperangkat variabel yang tidak diketahui (dilambangkan , dengan j = 1, 2, . . . , n) yang akan dicari nilainya (varibel keputusan)

2. Nilai Sebelah Kanan (Right hand side value) adalah nilai-nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya (dilambangkan dangan ) yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya ( nilai sisi kanan ). 3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari

persamaan.

4. Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

5. Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

6. Angka kunci (pivot) merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci.

2.1.4 Unsur-Unsur Linier Programming

Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala.

Fungsi Tujuan

Adapun tujuan dalam linier programming, yaitu: Minimumkan/Maksimumkan

Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah peubah-peubah slek dan surplus.

Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan diselesaikan secara tidak langsung melalui minimisasi/maksimasi deviasi negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier programming mencari nilai solusi secara langsung melalui minimisasi/maksimasi deviasi-deviasi dari nilai RHSnya.

Kendala Tujuan

Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel deviasi yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak memiliki variabel deviasi. Kendala-kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1 maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier maksimasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥ pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan deviasi dua arah yaitu

≤ dan ≥, tetapi persamaan ini mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel

, seperti pada persamaan keempat.

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan pemrograman linier ini, yaitu cara grafis dan metode simpleks (Dimyati dan A.Dimyati, 1992).

1. Metode Grafik

Metode grarik dapat digunakan pada pemrograman linier jika masalah yang dihadapi mengandung tidak lebih dari dua variabel (Taha, 1982).

Menurut Dimyati dan A.Dimyati (1992), metode grafik telah memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan persoalan-persoalan pemrograman linier, hanya perlu memperhatikan titik ekstrem (titik terjauh) pada ruang solusi atau daerah fisibel.

2. Metode Simpleks

Metode simpleks adalah prosedur pemecahan pemrograman linier yang lebih efisien daripada metode grafik. Penerapan metode simpleks pada masalah program linier dikembangkan untuk pertama kali oleh George Dantzig pada tahun 1947 (Hiller dan Liberman, 1980).

Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan pemrograman linier yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar (Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Perhitungan metode simpleks merupakan proses iterasi. Hal ini berarti bahwa untuk mencapai solusi yang optimal, perhitungan dilakukan berulang-ulang mengikuti pola standard secara sistematik. Karakteristik lain pada metode simpleks adalah pada nilai fungsi tujuannya akan sama atau lebih besar pada solusi terbaru dibandingkan dengan solusi terdahulu (Levin et el, 1982).

Di dalam menyelesaikan persoalan pemrograman linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standard (Dimyati dan A. Dimyati).

Menurut Gillet (1976), untuk mengubah suatu bentuk formulasi pemrograman linier yang belum standard ke dalam bentuk standard dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut :

a. Peubah tambahan (slack variable)

Konversi fungsi ketidaksamaan lebih kecil sama dengan (≤) pada fungsi pembatas memerlukan tambahan suatu peubah yang disebut peubah tambahan, peubah ini menggambarkan tingkat pengangguran dari sumber daya. Jika ada m fungsi ketidaksamaan (≤) pada fungsi pembatas dan terdapat r peubah kebijaksanaan dalam formulasi permasalahan maka dengan penambahan peubah tambahan, fungsi pembatas mengalami perubahan sebagai berikut:

dimana adalah peubah tambahan (slack variable). Penambahan peubah tambahan juga akan mengubah fungsi tujuan menjadi :

maks / min b. Peubah buatan

Apabila dalam fungsi pembatas terdapat ketidaksamaan lebih besar sama dengan (≥) maka fungsi pembatas dapat diubah menjadi bentuk persamaan dengan mengurangi pertidaksamaan oleh sebuah peubah positif, sebagai berikut :

Peubah merupakan suatu peubah yang biasa disebut sebagai peubah tambahan. Metode simpleks belum dapat diterapkan dengan formulasi seperti di atas karena dalam metode simpleks dibutuhkan kondisi-kondisi berikut:

1. Semua konstanta pada sisi kanan persamaan bernilai lebih besar atau sama dengan nol.

2. Setiap persamaan harus mempunyai sebuah peubah

berkoefisien satu pada persamaan tersebut dan nol pada persamaan yang lain.

Persamaan di atas, agar dapat diselesaikan dengan metode simpleks, maka harus diubah menjadi :

Akibat penambahan peubah buatan maka perlu

penambahan suatu bilangan (-M) untuk masalah maksimasi pada fungsi tujuan, sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Pada fungsi pembatas yang berbentuk persamaan, peubah buatan perlu ditambahkan untuk memenuhi kondisi (2) pada metode simpleks. Perubahan fungsi pembatas yang berbentuk persamaan dengan adanya penambahan peubah buatan adalah sebagai berikut:

menjadi :

dan fungsi tujuannya menjadi :

2.2Pemrograman Integer (Integer Programming)

Persoalan Integer Programming (IP) adalah persoalan pemrograman

(programming) di mana pemecahan optimalnya harus menghasilkan bilangan

bulat (integer) jadi bukan pecahan. Dengan perkataan lain dari antara berbagai bilangan bulat, harus dicari nilai-nilai variabel yang fisibel dan membuat fungsi tujuan (Objective function) maksimum (Supranto, 1980).

Pemrograman integer (Integer Programming) adalah suatu model pemrograman linier dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat. jika semua variabel harus berupa bilangan bulat, maka masalah tersebut dinamakan

pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. Integer programming dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 integer programming (Garfinkel dan Nemhauser, 1972).

Program bilangan bulat adalah suatu bentuk dari program linier yang asumsi divisibilitasnya melemah. Bentuk ini muncul karena kenyataannya tidak semua variabel keputusan merupakan suatu angka pecahan (Dimyati dan A. Dimyati 1987).

Menurut Taha (1975), optimasi bilangan bulat bukan merupakan sebuah persoalan matematika baru, dan dalam penelitian operasional dikenal sejak tahun 1940. Optimasi bilangan bulat penting digunakan pada pemecahan masalah yang disusun sebagai sebuah hasil perkembangan pada bidang penelitian operasional, terutama sekali pada persoalan program linier. Hal itu diperlukan untuk pemecahan model penyusunan pada beberapa atau semua variabel keputusan agar

integer (bilangan bulat).

Pemrograman bilangan bulat (Integer programming)

dibutuhkan ketika keputusan harus dilakukan dalam bentuk bilangan bulat (bukan pecahan yang sering terjadi bila kita gunakan metode simpleks). Model matematis dari pemrograman bulat sebenarnya sama dengan model linear programming, dengan tambahan batasan bahwa variabel keputusannya harus bilangan bulat. Integer programming adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non negatif, tetapi tidak perlu bahwa parameter model juga bernilai bulat.

Secara umum menurut Dimyati dan A. Dimyati (1992), model persoalan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dapat diformulasikan sebagai berikut:

Maks/Min :

bilangan bulat (integer) untuk

Algoritma yang dianggap cukup baik untuk memberikan solusi optimum dalam pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) adalah pencabangan dan pembatasan (branch and bound) dan pemotongan bidang datar (cutting plane) (Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Ada berbagai pendekatan untuk masalah IP. Pendekatan yang akan dibahas di bawah ini termasuk Pembulatan (Rounding), Cabang dan Batas (Branch and Bound), Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane), Relaksasi Lagrangian (Lagrangian

Relaxation) dan Benders Dekomposisi (Benders Decomposition) (Bruce A. McCarl

dan T.H.Spreen, 1997).

a. Pemotongan Bidang Datar (Cutting Plane)

Ada berbagai algoritma yang tersedia untuk penyelesaian masalah IP. Alasan banyaknya inilah bahwa tidak ada algoritma telah terbukti secara komputasi yang efisien untuk semua masalah, dan dengan demikian pencarian kontinu untuk algoritma-algoritma yang lebih efektif. Berdasarkan masalah pure

integer programming, yaitu, masalah LP standar dengan pembatasan integer

pada semua variabel. Ide fundamental yang mendasari algoritma gomory’s cutting plane adalah untuk menambahkan kendala untuk masalah satu per satu sehingga akhirnya memiliki masalah LP dengan solusi optimal dengan koordinat integer (Paul R. Thie, 1979).

Pendekatan yang dilakukan dalam teknik pemotongan bidang datar

(Cutting plane) adalah dengan membuat pembatas tambahan yang memotong

ruang layak dari LP relaksasi sehingga dapat mengeliminasi solusi yang tidak integer . Proses pemotongan akan terus berlangsung sehingga diperoleh jawab dengan seluruh variabel (yang dikehendaki) berharga bilangan bulat (integer) (Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Menurut Dimyati dan A. Dimyati (1992), keberhasilan teknik ini sangat terbatas, bergantung pada struktur persoalan yang dihadapi. Artinya

hanya persoalan tertentu yang dapat diselesaikan dengan teknik ini. Karena itu, sekarang teknik ini hampir tidak pernah lagi digunakan.

Algoritma IP pertama kali diselesaikan dengan konsep cutting plane.

Cutting plane menghapus bagian dari daerah fisibel tanpa menghapus poin

solusi bilangan bulat. Ide dasar di balik sebuah cutting plane adalah bahwa titik bulat yang optimal dekat dengan solusi LP optimal, tetapi tidak jatuh di persimpangan kendala sehingga kendala tambahan perlu dipaksakan. Akibatnya, kendala yang ditambahkan untuk memaksa solusi LP integer menjadi tidak layak tanpa menghilangkan solusi bilangan bulat. Hal ini dilakukan dengan menambahkan kendala memaksa variabel nonbasis lebih besar dari nilai nol kecil (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Beberapa poin yang perlu diperhatikan untuk membuat pendekatan

Cutting plane. Pertama banyak pemotongan yang mungkin perlu diperbaiki

untuk memperoleh sebuah solusi integer. Kedua solusi integer pertama yang ditemukan adalah solusi optimal. Solusi ini ditemukan setelah pemotongan hanya ditambahkan ke daerah hasil solusi optimal. Akibatnya jika algoritma solusi ditemukan, keluar tanpa sebuah solusi yang dapat diterima (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Algoritma bekerja sebagai berikut, pertama-tama menyelesaikan masalah LP asli dengan mengabaikan pembatasan yang integer. Kemudian, jika solusi ini memiliki semua koordinat integer, maka itu merupakan solusi optimal untuk masalah IP, masalah selesai. jika tidak, buat kendala baru yang akan menambah masalah. Kendala ini akan memiliki dua sifat dasar: pertama, solusi optimal noninteger untuk masalah LP asli tidak akan memenuhi kendala ini, dan kedua, semua solusi layak integer masalah asli akan memenuhi kendala asli baru. Sehingga kendala ini pada dasarnya memotong subset dari himpunan solusi layak untuk masalah LP, tapi subset yang tidak berisi integer yang layak, tambahkan kendala baru lagi (Paul R. Thie, 1979).

Langkah-langkah dari algoritma gomory’s cutting plane untuk masalah IP murni:

1. Memecahkan masalah LP yang sesuai hanya mengabaikan pembatasan integer pada X. Jika solusi ini memiliki semua koordinat integer, maka itu adalah solusi optimal untuk masalah asli.

2. Jika tidak kendala baru ditambahkan ke masalah.

a) Untuk membangun kendala ini, memilih baris dari solusi akhir tabel optimal dari masalah LP dengan non terpisahkan konstan istilah bi. (menggunakan baris yang mengandung istilah konstan dengan nilai pecahan terbesar dapat mengurangi jumlah iterasi yang diperlukan untuk konvergensi.)

b) Seandainya baris ke-i dipilih dan persamaan yang sesuai adalah

Maka bentuk kendala

Dimana

fij = aij – [ aij ] = bagian pecahan dari aij

fi = bi – [ bi ] = bagian pecahan dari bi

x = sebuah variabel slack baru, terbatas menjadi nonnegatif dan integral

c) Tambahkan kendala ini ke masalah dan kembali ke langkah 1. (Paul R. Thie, 1979).

Kelemahan dari algoritma cutting plane adalah kesalahan-kesalahan pada pembulatan yang dilakukan dalam perhitungan dapat menghasilkan jawaban bilangan bulat yang salah. Selain itu jawaban dari persoalan masih belum fisibel berarti tidak ada jawaban bilangan bulat yang diperoleh sampai jawaban bilangan bulat yang optimal dicapai tadi, dan ini berarti bahwa tidak ada jawaban bilangan bulat yang baik jika perhitungan dihentikan lebih awal sebelum mencapai hasil jawaban yang optimal (Aswan, 1979).

Pembulatan adalah pendekatan yang paling naif untuk solusi masalah IP. Pendekatan pembulatan melibatkan pemecahan masalah sebagai masalah LP diikuti dengan upaya untuk membulatkan solusi ke solusi yang integer dengan: a) menghilangkan semua bagian pecahan, atau b) mencari tahu solusi yang memenuhi dimana nilai-nilai variabel yang disesuaikan dengan dekatnya lebih besar atau lebih kecil nilai integer. Pembulatan mungkin adalah pendekatan yang paling umum untuk memecahkan masalah IP. Masalah LP Sebagian besar melibatkan variabel dengan nilai pecahan solusi yang pada kenyataannya adalah integer (yaitu, kursi diproduksi, ayam dipotong). Istilah pecahan dalam solusi tidak masuk akal, tetapi kadang-kadang dapat diterima jika pembulatan memperkenalkan perubahan yang sangat kecil dalam nilai variabel (pembulatan yaitu 1003421,1-1.003.421 atau bahkan 1.003.420 mungkin dapat diterima) (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Secara umum, pembulatan sering praktis, tetapi harus digunakan dengan hati-hati. Salah satu harus membandingkan solusi yang dibulatkan dan tidak dibulatkan untuk melihat apakah setelah pembulatan: a) kendala memenuhi secara memadai, dan b) apakah perbedaan antara LP optimal dan pembulatan nilai fungsi objektif cukup kecil. Jika demikian IP biasanya tidak efektif dan solusi yang bulat dapat digunakan. Di sisi lain, jika ditemukan fungsi tujuan bulat diubah secara bermakna atau kendala melanggar dari sudut pandang pragmatis, maka latihan IP formal perlu dilakukan (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

c. Relaksasi Lagrangian (Lagrangian Relaxation)

Relaksasi Lagrangian (Geoffrion (1974), Fisher (1981, 1985)) merupakan salah satu bidang pengembangan algoritmik IP. Relaksasi Lagrangian mengacu pada prosedur dimana beberapa kendala yang direlaksasikan ke dalam fungsi tujuan menggunakan sebuah pendekatan yang dibentuk oleh pengganda Lagrangian. Bentuk dasar Relaksasi Lagrangian untuk program bilangan bulat campuran:

Maksimum CX + FY Kendala AX + GY ≤ b

X ≥ 0, Y ≥ 0 dan integer

melibatkan penemuan suatu himpunan Lagrange Multiplier untuk beberapa kendala dan merelaksasi himpunan kendala ke dalam fungsi tujuan. Mengingat bahwa yang dipilih untuk direlaksasi himpunan kedua kendala menggunakan lagrange multiplier masalah menjadi:

Maksimum CX + FY – λ( DH + HY – e ) AX + GY ≤ b

X ≥ 0, Y ≥ 0 dan integer

Ide utama adalah untuk menghilangkan kendala yang sulit dari masalah sehingga program integer jauh lebih mudah untuk dipecahkan. Masalah IP dengan struktur seperti itu dari masalah transportasi dapat langsung diselesaikan dengan LP. Caranya kemudian adalah memilih kendala yang tepat untuk direlaksasi dan untuk mengembangkan nilai-nilai untuk pengali lagrange mengarah ke solusi yang tepat.

Relaksasi Lagrangian telah digunakan dalam dua pengaturan: 1) untuk meningkatkan kinerja batas pada solusi, dan 2) untuk mengembangkan solusi yang dapat disesuaikan secara langsung atau melalui heuristik sehingga mereka layak dalam keseluruhan masalah (Fisher (1981, 1985)) . Sebuah hasil penting Relaksasi Lagrangian adalah merelaksasi masalah yang memberikan batas atas solusi untuk masalah yang tidak direlaksasi pada setiap tahap. Relaksasi Lagrangian telah banyak digunakan dalam algoritma cabang dan terikat untuk menurunkan batas atas untuk masalah untuk melihat apakah traversal bawah yang dicabangkan layak (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

d. Dekomposisi Bender (Benders Decomposition)

Algoritma lain untuk IP disebut Dekomposisi Bender. Algoritma ini memecahkan program bilangan bulat campuran melalui eksploitasi struktural. Benders mengembangkan prosedur, selanjutnya disebut Dekomposisi Bender, yang menguraikan masalah mixed integer menjadi dua masalah yang diselesaikan secara iteratif - masalah utama bilangan bulat dan subproblem linier.

Keberhasilan prosedur melibatkan struktur subproblem dan pilihan subproblem tersebut. Prosedur dapat bekerja sangat buruk untuk struktur tertentu.

Masalah dekomposisi mixed IP adalah: Maksimum FX + CZ

Kendala GX ≤ b1

HX + AZ ≤ b2

DZ ≤ b3

X integer, Z ≥ 0

Pengembangan dekomposisi masalah ini berlangsung dengan iteratif mengembangkan titik layak X* dan memecahkan subproblem yang:

Maksimum CZ

Kendala AZ ≤ b2 – HX* (α)

DZ ≤ b3 (γ)

Z ≥ 0

Solusi untuk subproblem ini menghasilkan variabel dual dalam tanda kurung. Q merupakan penafsiran dari CZ. Dalam mengubah "master" Masalah dibentuk sebagai berikut:

Maksimum FX + Q

X,α,γ,Q

Q ≤αi (b2 - HX) + γib3 i = 1, 2, . . . p

GX ≤ b1

X integer,

Q 0

Penggunaan dekomposisi Benders melibatkan penguraian masalah yang tepat dan / atau struktur masalah yang akan menuju kesatu titik dengan cepat. Pernyataan umum yang dapat dibuat adalah:

a) Metode dekomposisi tidak bekerja dengan baik ketika variabel X yang dipilih oleh masalah master tidak menghasilkan subproblem layak. Dengan demikian, semakin akurat kendala dalam masalah master menggambarkan kondisi subproblem, semakin cepat akan konvergensi. (Lihat Geoffrion dan Graves, Danok, McCarl dan White (1978), Polito, Magnanti dan Wong, dan Sherali untuk diskusi.)

b) Daerah feasible dari masalah master baik lebih dibatasi. (Lihat Magnanti dan Wong,. Dan Sherali)

c) Bila mungkin, kendala harus dimasukkan dalam masalah master menghalangi solusi layak yang belum realistis (suboptimal) untuk keseluruhan masalah. (Lihat kendala mesin minimum di Danok, McCarl dan White, 1978.)

(Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

2.3Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound)

Branch and bound bukan sebuah teknik solusi khusus terbatas untuk masalah integer

programming. Branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan

pada beberapa jenis masalah. Pendekatan Branch and bound didasarkan pada prinsip bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Ketika pendekatan Branch and bound diterapkan untuk masalah integer programming, akan digunakan konjungsi dengan pendekatan solusi noninteger yang normal (Paul R. Thie, 1979).

Menurut Taha (1975), untuk melaksanakan teknik pencabangan dan pembatasan (branch and bound) ada dua operasi dasar, yaitu:

1. Pencabangan (Branching), merupakan pembagian persoalan jawab kontinu menjadi subpersoalan di mana semuanya juga kontinu.

2. Pembatasan (Bounding), merupakan pembatasan setiap subpersoalan yang dibuat dengan pencabangan. Batas ini penting untuk tingkatan jawab optimal dari sub persoalan dan penemuan jawab optimal bilangan bulat.

Teknik pencabangan dan pembatasan (branch and bound) mencari solusi optimal dari suatu persoalan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dengan mengenumerasi titik-titik dalam daerah fisibel dari suatu subpersoalan (Dimyati dan A. Dimyati, 1992).

Branch and Bound adalah algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960.

Gagasan penting dari cabang-dan-terikat adalah untuk membagi daerah layak dan mengembangkan batas pada z*. Untuk masalah maksimisasi, batas bawah adalah nilai tertinggi dari setiap titik bulat layak yang diperoleh. Batas atas diberikan oleh nilai optimal dari program linier yang asli atau dengan nilai terbesar untuk fungsi tujuan pada setiap kotak yang "menggantung". Langkah selanjutnya, harus mencabangkan ke (pindah ke) subdivisi lain dan menganalisanya. Begitu selanjutnya, jika solusi belum diperoleh

i) Program linier atas Lj tidak layak

ii) Solusi optimal program linier atas Lj adalah integer; atau

iii) Nilai dari solusi program linier zj atas Lj memenuhi zj≤ (jika maksimasi),

maka Lj tidak perlu dibagi. Dalam kasus ini, IP terminologi mengatakan bahwa Lj

telah terukur (fathomed). kasus (i) disebut fathoming oleh ketidaklayakan, (ii)

fathoming oleh kebulatan dan (iii) fathoming oleh batas (Bradley dkk, 1977).

Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel suatu masalah program linier dengan membuat subproblem-subproblem. Ada dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound :

1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi

subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas (dalam

masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan program linier dari suatu masalah program integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal program linier integer. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada program liniernya kemudian diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk program linier integer lebih kecil sama dengan nilai fungsi objektif optimal untuk program linier (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal program linier merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer.

Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah program linier integer, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound :

1) Langkah 0

Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) program linier integer yang optimal. Pada awalnya ditetapkan z = -∞ dan i = 0.

2) Langkah 1

Subproblem program linier (PL)(i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya

untuk dipecahkan. Subproblem PL(i) diselesaikan.

a) Jika PL(i) terukur dan solusi program linier yang ditemukan lebih baik

maka batas bawah z diperbarui. Jika tidak bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah dipecahkan, maka proses dihentikan.

b) Jika PL(i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan

pencabangan PL(i)

Suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat kondisi sebagai berikut :

1. Subproblem tersebut tak fisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal untuk program linier integer.

2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini mempunyai nilai fungsi

objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah program linier integer pada saat itu. Bias jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimal untuk masalah program linier integer.

3. Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.

3) Langkah 2

Dipilih salah satu variabel xj yang nilai optimalnya adalah yang tidak

memenuhi batasan integer dalam solusi PL(i). Bidang

disingkirkan dengan membuat dua subproblem program linier, yaitu

dan , sehingga diperoleh kendala subproblem baru sebagai

berikut :

a. Subproblem baru 1 : kendala subproblem lama + kendala b. Subproblem baru 2 : kendala subproblem lama + kendala

dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan . Selanjutnya kembali ke langkah 1 (Winston, 1975).

Ringkasan langkah-langkah metode branch and bound dalam menentukan solusi integer optimal untuk model maksimisasi adalah sebagai berikut:

a) Dapatkan solusi simpleks optimal dari model program linear dengan batasan integer yang dilepaskan

b) Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1.

c) Pilih peubah dengan bagian pecahan yang terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk peubah ini yang mencerminkan pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan ≤ dan sebuah batasan ≥.

d) Ciptakan dengan node baru, satu dengan batasan ≤ dan satu dengan batasan ≥ e) Selesaikan model program linear relaxed dengan batasan baru yang

f) Solusi simpleks relaxed adalah merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi maksimum integer merupakan batas bawah dari node.

g) Jika proses ini menghasilkan solusi integer feasible dengan nilai batas atas terbesar pada akhir node mana saja, maka solusi integer optimal tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel, lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar.

h) Ulangi langkah c.

(Winston, 2004)

Suatu bentuk khusus dari algoritma cabang dan terikat untuk nol-satu program yang dikembangkan oleh Balas. Algoritma ini disebut enumerasi implisit. Metode ini juga telah diperluas untuk kasus bilangan bulat campuran seperti yang diterapkan di LINDO (Schrage, 1981b) (Bruce A. McCarl dan T.H.Spreen, 1997).

Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound

Mulai

Ambil submasalah

Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan

Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a < b?

Apakah variabel bertipe pecahan?

Apakah solusi bertipe integer?

Bunuh cabang

Buat cabang

b

b = maks Ya

Ya Tidak

Tidak

Tidak

Output solusi

Pohon kosong?

Ya

Akhir

Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi maksimum

Inisialisasi pohon ruang solusi Branch and bound

Mulai

Ambil submasalah

Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan Pohon kosong?

Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a > b?

Apakah variabel

Tidak

Ya

Bunuh cabang

Buat cabang

b

b = min(b,a) Tidak

Apakah solusi bertipe integer?

Ya

Output solusi

Akhir

Ya

Tidak

Gambar 2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi minimum

Keuntungan dari cara pencabangan dan pembatasan adalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban layak (fisibel), sedangkan kerugian cara ini adalah ia akan rnencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum (Aswan, 1979).

Mulai

Data harga perumahan dan ketersediaan bahan baku

Formulasi permasalahan penentuan peubah keputusan Sesuai dengan permasalahan

Formulasi fungsi tujuan Maksimasi keuntungan

Pemrograman linier

Solusi optimal dan non integer

Solusi integer

Ya

Pemograman Bilangan Bulat

(Integer Programming)

Metode Branch and Bound

Tidak

Selesai

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1Pengumpulan Data

Data yang ada adalah data yang diperoleh dari hasil pencatatan, dan wawancara dengan pihak Perumahan Bumi Sergai tentang hal-hal yang berhubungan dengan masalah data yang diperlukan dalam studi kasus skripsi ini.

Adapun data yang diperlukan sebagai berikut : a. Tipe rumah yang dibangun

b. Harga penjualan untuk setiap tipe perumahan c. Luas bangunan untuk setiap tipe rumah d. Luas tanah bangunan untuk setiap tipe rumah e. Bahan-bahan yang digunakan

f. Banyaknya bahan yang diperlukan untuk masing-masing tipe perumahan g. Perkiraan banyaknya rumah yang akan dibangun

3.2 Hasil Pengumpulan Data

Data yang diperoleh dari hasil pencatatan, dan wawancara dengan pihak Perumahan Bumi Sergai adalah sebagai berikut:

1. Tipe rumah yang dibangun di Perumahan Bumi Sergai ada dua yaitu tipe 65 dan tipe 45

2. Data harga penjualan dari masing-masing tipe rumah. Adapun rincian harga dari kedua tipe rumah yang akan menjadi fungsi objektif penelitian adalah sebagai berikut:

a. Tipe rumah 65 dengan harga penjualan Rp 180.000.000 b. Tipe rumah 45 dengan harga penjualan Rp 140.000.000

3. Luas bangunan unuk kedua tipe rumah masing-masing yaitu tipe 65 dengan luas 65 m2 dan tipe 45 dengan luas 45 m2

4. Luas tanah banguan untuk masing-masing tipe rumah yaitu 98 m2

5. Bahan-bahan yang digunakan batu bata, semen, pasir, besi, batu koral, seng, gypsum, paku, kayu, dan keramik

6. Banyaknya bahan yang diperlukan berdasarkan luas bangunan masing-masing tipe rumah, yaitu:

a. Tipe rumah 65/98, adalah:

Batu bata : 11.000 satuan per buah Semen : 120 satuan per sak

Pasir : 19 satuan per m3 Besi : 75 satuan per batang Batu koral : 6 satuan per m3 Seng : 45 satuan per lembar Gypsum : 20 satuan per lembar Paku : 20 satuan per kg

Kayu : 75 satuan per batang Keramik : 65 satuan per kotak b. Tipe rumah 45/98, adalah:

Batu bata : 9.000 satuan per buah Semen : 100 satuan per sak Pasir : 16 satuan per m3 Besi : 60 satuan per batang Batu koral : 5 satuan per m3 Seng : 35 satuan per lembar Gypsum : 18 satuan per lembar Paku : 17 satuan per kg

Kayu : 60 satuan per batang Keramik : 45 satuan per kotak

7. Banyaknya rumah yang diperkirakan akan dibangun adalah 100 rumah, sehingga perkiraan banyaknya bahan yang tersedia, yaitu :

Batu bata : 1.002.000 satuan per buah Semen : 13.000 satuan per sak

Pasir : 1680 satuan per m3 Besi : 6750 satuan per batang Batu koral : 560 satuan per m3 Seng : 4000 satuan per lembar Gypsum : 2000 satuan per lembar Paku : 1880 satuan per kg

Kayu : 6750 satuan per batang Keramik : 5150 satuan per kotak

3.3Perumusan Data ke dalam Model Matematika

Data tentang harga penjualan rumah, luas bangunan, luas tanah bangunan, banyaknya bahan yang diperlukan berdasarkan luas bangunan dan perkiraan banyaknya rumah yang akan dibangun diformulasikan ke dalam model matematika, sehingga dapat diketahui berapa banyak rumah yang dibangun untuk setiap tipe rumah. Salah satu metode penyelesaian permasalahan integer programming adalah dengan menggunakan metode branch and bound yang khusus dibahas dalam skripsi ini.

Penulis membentuk permasalahan tersebut ke dalam model matematika. Tujuannya memaksimumkan banyaknya rumah yang harus dibangun untuk setiap tipe rumah pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah.

Karena penulis mengasumsikan yang menjadi parameter untuk fungsi kendala adalah tidak integer dan hanya sebagian dari bahan bangunan yang akan dijadikan fungsi kendala. Maka penulis hanya menggunakan sebagian dari bahan tersebut, yaitu: pasir, semen dan keramik. Dengan syarat hasil optimal yang diperoleh menggunakan seluruh bahan menjadi kendala dengan metode simpleks sama dengan hanya menjadikan sebagian dari bahan bangunan menjadi kendala (lihat Lampiran).

Tabel 3.1 Data Perumahan Bumi Sergai No. Tipe Rumah Jumlah Tipe Rumah Harga Jual Per unit Pasir (m3)

Semen (sak)

Keramik (kotak)

1 65 X1 Rp 180.000.000,_ 19 120 65

2 45 X2 Rp 140.000.000,_ 16 100 45

Sumber: Brosur Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah (2011)

Untuk fungsi tujuan yang dimaksimalkan adalah harga penjualan rumah. Dengan masing-masing harga jual rumah seperti tabel 4.1 . Formulasi fungsi tujuan (Z) dengan memaksimalkan harga penjualan rumah adalah:

Maksimumkan : Z = 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Keterangan: X1 = Tipe rumah 65

X2 = Tipe rumah 45

180.000.000 = Harga jual tipe 65 per unit 140.000.000 = Harga jual tipe 45 per unit

Untuk fungsi kendala batasan yang digunakan adalah bahan bangunan. Bahan bangunan yang digunakan adalah semen, pasir, batu bata, seng, keramik dan sebagainya. Tapi penulis hanya mengambil semen, pasir dan keramik sebagai batasan, karena penggunaan seluruh atau sebagian bahan sebagai batasan tidak mempengaruhi nilai Z yang diperoleh setelah diselesaikan dengan QM. Berdasarkan luas lahan yang tersedia untuk mendirikan bangunan, maka maksimal bahan yang tersedia untuk pasir sebanyak 1680 m3. Sedangkan, menurut luas bangunan masing-masing tipe rumah, pasir yang diperlukan sebanyak 19 m3 untuk tipe 65 dan 16 m3 untuk tipe 45. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan pasir adalah:

19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

dengan: 19 = jumlah pasir yang digunakan untuk tipe 65 16 = jumlah pasir yang digunakan untuk tipe 45

1680 = jumlah pasir yang tersedia untuk kedua tipe rumah Untuk semen sebanyak 13000 sak, dengan 120 sak untuk tipe 65 dan 100 sak untuk tipe 45. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan semen yaitu: 120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

100 = jumlah semen yang digunakan untuk tipe 45

13000 = jumlah semen yang tersedia untuk kedua tipe rumah Untuk keramik sebanyak 5150 kotak, dengan 65 kotak untuk tipe 65 dan

45 kotak untuk tipe 45. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan keramik yaitu:

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

dengan: 65 = jumlah keramik yang digunakan untuk tipe 65 45 = jumlah keramik yang digunakan untuk tipe 45

5150 = jumlah keramik yang tersedia untuk kedua tipe rumah Berdasarkan uraian data diatas, dapat di modelkan menjadi sebagai berikut: Maksimumkan : Z = 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Dengan kendala :

19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 , X2≥ 0 dan integer

3.4Pengolahan Data

Langkah awal: Merubah model matematika menjadi bentuk baku simpleks dengan cara menambahkan batasan dengan variabel slack pada peridaksamaan lebih kecil sama dengan atau mengurangi dengan variabel surplus.

Pada pertidaksamaan lebih besar sama dengan : (+) Variabel slack pada batasan ≤

(-) Variabel surplus pada batasan ≥ Bentuk baku simpleks :

Maksimumkan : Z = 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2 + X3 + X4 + X5

Dengan kendala :

19 X1 + 16 X2 + X3 = 1680

120 X1 + 100 X2 + X4 = 13000

65 X1 + 45 X2 + X5 = 5150

Tabel 3.2 Tabel Simpleks

Variabel Basis

X1 X2 X3 X4 X5 Nilai

kanan

X3 19 16 1 0 0 1680

X4 120 100 0 1 0 13000

X5 65 45 0 0 1 5150

Zj - Cj -180.000.000 -140.000.000 0 0 0

Setelah diselesaikan dengan program QM maka diperoleh : X1 = 36,7568

X2 = 61,3514

Z = 15.205.405.381,81

Sedangkan jika diselesaikan dengan metode simpleks:

Tabel 3.3 Tabel Simpleks I

Variabel Basis

X1 X2 X3 X4 X5 Nilai Kanan

X3 19 16 1 0 0 1680

X4 120 100 0 1 0 13000

X5 65 45 0 0 1 5150

Zj - Cj -180.000.000 -140.000.000 0 0 0

Kolom Pivot (Peubah yang masuk) dan baris pivot (Peubah yang keluar). Pada tabel Simpleks I adalah kolom X1 yang memiliki nilai terkecil dan baris X5 yang memiliki

Tabel 3.4 Tabel Simpleks II

Variabel Basis

X1 X2 X3 X4 X5 Nilai

Kanan

X3 0 2,8462 1 0 -0,2923 174,6154

X4 0 16,9232 0 1 -1,8462 3492,3077

X1 1 0,6923 0 0 0,0154 79,2308

Zj - Cj 0 -154.384.620 0 0 2.769.230,8

Kolom Pivot (Peubah yang masuk) dan baris pivot (Peubah yang keluar) pada tabel simpleks II adalah X2 yang memiliki nilai terkecil dan X3 yang memiliki hasil bagi

terkecil.

Tabel 3.5 Tabel Simpleks III

Variabel Basis

X1 X2 X3 X4 X5 Nilai

Kanan

X2 0 1 0,3514 0 -0,1027 61,3504

X4 0 0 -5,9468 1 -0,1082 2454,0687

X1 1 0 -0,2433 0 0,0865 36,7578

Zj - Cj 0 0 5.406.155.,5 0 1.189.230,3

Tabel Simpleks III menjelaskan bahwa semua nilai tidak mengandung harga negatif lagi, sehingga hasil yang diperoleh sudah merupakan penyelesaian optimal. Dan diperoleh:

X1 = 36,7578

X2 = 61,3504

Z = 15.205.405.381,81

Tapi karena yang diinginkan solusi optimal yang berupa integer maka masalah ini belum selesai. Ini adalah pembulatan jumlah tipe rumah dengan cara coba-coba (trial error) dengan berbagai alternatif.

Tabel 3.6 Tabel alternatif pembulatan jumlah tipe setiap rumah dan keuntungannya

Alternatif Jumlah Keuntungan ( Rupiah )

Tipe 65 Tipe 45

1 36 61 15.020.000.000

2 36 62 15.160.000.000

3 37 61 15.200.000.000

4 37 62 15.340.000.000

Iterasi 1

Titik pertama mempunyai batas atas dan batas bawah, yaitu: BA = 15.205.405.381,81 (X1 = 36,7568 ; X2 = 61,3514), BB = 15.020.000.000 (X1 = 36 ; X2 = 61). Karena

pecahan yang paling besar adalah 0,7568 maka X1 yang dicabangkan menjadi X1≥ 37

dan X1 ≤ 36. Sehingga permasalahan di atas kemudian dibagi menjadi 2 subproblem,

A dan B. Dapat dilakukan pencabangan (branch) pada hasil dengan variabel tidak bulat (integer)

A

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≥ 37

B

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≤ 36

Dengan metode program linier sederhana diperoleh solusi :

Solusi optimal subproblem A: X1 = 37, X2 = 61,0625 , Z = 15.208.750.000

Karena solusi subproblem A salah satu variabelnya tidak integer dan Z yang diperoleh melebihi yang menjadi batas sebelumnya maka subproblem A infisibel. Sedangkan solusi subproblem B salah satu variabelnya juga belum bilangan bulat tapi Z yang diperoleh masih mendekati batas yang sebelumnya maka masih bisa diteruskan.

Iterasi 2

Batas atas dan bawah titik selanjutnya menjadi BA = 15.195.000.000 (X1 = 36, X2 =

62,25), BB = 15.160.000.000 (X1 = 36, X2 = 62). Subproblem B dicabangkan menjadi

2, menjadi subproblem C dan D dengan batasan tambahan untuk subproblem C adalah X2 ≥ 63 dan untuk subproblem D adalah X2 ≤ 62. Logika dari pengembangan

subproblem ini adalah karena solusi dari subproblem B X2 = 62,25 tidak fisibel, maka

solusi integer haruslah berada dalam wilayah X2≥ 63 atau X2≤ 62.

C

Maksimisasi : 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≤ 36

X2 ≥ 63

D

Maksimisasi : 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≤ 36

X2 ≤ 62

Subproblem C tidak mempunyai solusi karena dua batasan awal yang sebelumnya tidak terpenuhi lagi bila batasan tambahannya X2 ≥ 63, jadi cabang ini pun tidak

dilanjutkan. Sedangkan solusi untuk subproblem atau cabang D dengan menggunakan program linier sederhana maka X1 = 36,1 dan X2 = 62, Z menjadi 15.178.000.000 .

Karena subproblem D salah satu variabelnya masih belum bilangan bulat, yaitu X1 = 36,2 maka cabang ini harus dilanjutkan lagi sampai variabelnya berupa

bilangan bulat. Dengan BA = 15.178.000.000 (X1 = 36,1 dan X2 = 62), BB =

15.160.000.000 (X1 = 36, X2 = 62).

Iterasi 3

Dari subproblem D akan dicabangkan lagi menjadi dua subproblem, yaitu subproblem E dan subproblem F. Dengan batasan tambahan X1≥ 37 dan X1≤ 36.

E

Maksimisasi : 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≤ 36

X1 ≥ 37

X2 ≤ 62

Karena batasan X1 tidak fisibel di subproblem E maka cabang ini tidak bisa dijadikan

solusi optimal. F

Maksimisasi : 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X1 ≤ 36

X1 ≤ 36

X2 ≤ 62

Dengan program linier sederhana maka subproblem F adalah X1 = 36 dan X2 = 62 dan

X1 = 36,7568

X2 = 61,3514

Z =15.205.405.381,81

Iterasi 1

X1≥ 37 X1≤ 36

X2≥ 63 X2≤ 62

Iterasi 2

Solusi tidak feasible

X1 = 36

X2 = 62,25

Z = 15.195.000.000 X1 = 37

X2 = 61,0625

Z = 15.208.750.000

X1 = 36,1

X2 = 62

Z = 15.178.000.000

Iterasi 3 X1≥ 37 X1 ≤ 36

Solusi tidak feasible

X1 = 36

X2 = 62

Z = 15.160.000.000

Gambar 3.1 Diagram branch and bound Perumahan Bumi Sergai (Titik X1 yang dicabangkan)

Jika titik pertama yang dicabangkan adalah X2, maka: Iterasi 1

Titik pertama mempunyai batas atas dan batas bawah, yaitu: BA = 15.205.405.381,81 (X1 = 36,7568 ; X2 = 61,3514), BB = 15.020.000.000 (X1 = 36 ; X2 = 61). Maka X2

yang dicabangkan menjadi X2 ≥ 62 dan X2 ≤ 61. Sehingga permasalahan di atas

kemudian dibagi menjadi 2 subproblem, P dan Q. Dapat dilakukan pencabangan (branch) pada hasil dengan variabel tidak bulat (integer).

P

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X2 ≥ 62

Q

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X2 ≤ 61

Dengan metode program linier sederhana diperoleh solusi :

Solusi optimal subproblem P: X1 = 36,31; X2 = 62 , Z = 15.215.800.000

Solusi optimal subproblem Q: X1 = 37,05; X2 = 61 , Z = 15.209.000.000

Karena solusi subproblem P dan Q nilai Z yang diperoleh melebihi yang menjadi batas sebelumnya maka subproblem P dan Q infisibel. Sehingga pencabangan dari titik ini tidak dapat diteruskan lagi.

X2≥6

Solusi tidak feasible

X1 = 36,7568

X2 = 61,3514

Z =

15.205.405.381,81 Iterasi 1

X2≤6

Solusi tidak feasible

Gambar 3.2 Diagram branch and bound Perumahan Bumi Sergai (Titik X2 yang dicabangkan)

Maka penyelesaian optimal untuk Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah adalah : a. X1 ( jumlah tipe rumah 65 ) ialah 36 rumah

b. X2 ( jumlah tipe rumah 45 ) ialah 62 rumah

Total harga jual = ( 36 × Rp 180.000.000 ) + ( 62 × Rp 140.000.000 ) = Rp 6.480.000.000 + Rp 8.680.000.000

= Rp 15.160.000.000

Dari hasil perhitungan dengan metode branch and bound maka diperoleh jumlah untuk masing-masing tipe rumah, yaitu : tipe rumah 65 sebanyak 36 rumah sedangkan untuk tipe rumah 45 sebanyak 62 rumah. Serta total harga jual yang bisa diperoleh adalah Rp 15.160.000.000,_ . Jadi jumlah seluruh rumah yang bisa dibangun dari bahan-bahan bangunan yang ada ialah 98 rumah.

Sedangkan menurut perkiraan pihak pengembang yang membangun Perumahan jumlah seluruh rumah yang rencananya akan dibangun berdasarkan bahan-bahan yang tersedia adalah 100 rumah. Perbandingan banyaknya jumlah untuk masing-masing tipe yaitu: tipe 65 sebanyak 40 rumah, sedangkan tipe 45 sebanyak 60 rumah. Berdasakan ini, maka total harga jual yang diperoleh adalah Rp 15.600.000.000,_ .

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Dari uraian dan perhitungan analisa, maka dapat disimpulkan :

1. Pekiraan yang dilakukan oleh pihak pengembang perumahan ialah banyaknya rumah yang akan dibangun 100 unit, dengan jumlah untuk masing-masing tipe rumah, yaitu tipe rumah 65 ada 40 unit dan tipe rumah 45 ada 60 unit.

2. Penggunaan sebagian bahan bangunan dengan seluruh bahan bangunan sebagai fungsi kendala ke dalam model matematika tidak mempengaruhi solusi optimal. 3. Hasil perhitungan dengan menggunakan metode branch and bound, banyaknya

rumah untuk kedua tipe adalah tipe 65 berjumlah 36 unit dan tipe 45 berjumlah 62 unit.

4.2Saran

1. Hasil dari penelitian ini menjadi bahan pertimbangan dan informasi tambahan bagi Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah dalam menetapkan rencana banyaknya jumlah rumah yang akan dibangun.

2. Untuk peneliti selanjutnya sebaiknya menambahkan satu variabel lagi, karena hasil perhitungan ini berdasarkan dua variabel.

DAFTAR PUSTAKA

Aminuddin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Jakarta:Erlangga.

Aprilia, S. Aplikasi Algoritma Branch and Bound Untuk Menyelesaiakan Integer

Programming.

http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/2006-2007/Makalal_2007/MakalahStmik2007-076.pdf

Beightler, C.S., D.T. Philips, D.J. Wilde. 1979. Foundation of Optimization. Second Edition. Texas,USA: Prentice-Hall, Inc.

Bradley, S.P., A.C. Hax, T.L Magnanti. 1977. Applied Mathematical Programming. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Boen T. , dkk. 2009. Persyaratan Pokok Rumah yang Lebih Aman. JICA.

Dimyati, T.T dan Akhmad Dimyati. 1987. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru, Bandung.

Dimyati, T.T dan Akhmad Dimyati. 1992. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru, Bandung.

Garfinkel, R.S. & G.L. Nemhauser.1972. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons.

Gillet, B.E. 1976. Introduction to Operation Research. Tata McGraw-Hill Publishing Company LTD, New Delhi.

Hiller, F.S. dan G.J. Lieberman. 1980. Introduction to Operation Research. Holden-day, Inc, San Francisco.

Levin, R.I. dan C.A. Kirkpatrick. 1982. Quatitative Approaches to Management. Fourth Edition. McGraw-Hill Rogakusha, LTD., Tokyo.

Lewis Oscar, 1984, Kebudayaan Kemiskinandalam buku Kemiskinan Perkotaan, DR. Pasurdi Suparlan, Jakarta: Penerbit Sinar Harapan.

McCarl, A.B. and T.H. Spreen. 1997. Applied Mathematical Programming Using Algebraic Systems. USA:Agricultural Economics.

Mulyono, S. 2007. Riset Operasi. Edisi Revisi. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.

51

Siagian. P. 1987. Penelitian Operasional Teori dan Praktek. Jakarta:UI – Press.

Siswanto. 1990. Lindo Sistem Komputer Manajemen. Jakarta:Elex Media Komputindo.

Sitorus, Parlin. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti, Jakarta.

Subagyo, P., Marwan Asri dan T.H. Handoko. 1990. Dasar-dasar Operations Research. BPFE, Yogyakarta.

Sudarsana, D.K. 2009. Optimalisasi Jumlah Tipe Rumah Yang Akan Dibangun Dengan Metode Simpleks Pada Proyek Pengembangan Perumahan. Jurnal Ilmiah Teknik Sipil Vol. 13, No. 2.

Supranto, J. 1980. Linier Programming. Fakultas Ekonorni Universitas Indonesia, Jakarta .

Taha, H.A. 1975. Integer Programming Theory, Applications and Computations. Academic Press, New York.

Taha, H. A. 1982. Operations Research, An Introduction. Macmillan Publishing Co., Inc., New York.

Thie, P.R. 1979. An Introduciton to Linear Programming and Game Theory. Boston, USA: John Wiley & Sons.

Turner, J.F.C., 1972, Freedom to Build, London : Collier-Macmillan Limited.

Winston, W.L. 2004. Operation Research Applications and Algorthms. 4th edition. Duxbury, New York.

X1 = 36,7568

X2 = 61,3514

Z =15.205.405.381,81

Iterasi 1

X1≥ 37 X1≤ 36

X2≥ 63 X2≤ 62

Iterasi 2

Solusi tidak feasible

X1 = 36

X2 = 62,25

Z = 15.195.000.000 X1 = 37

X2 = 61,0625

Z = 15.208.750.000

X1 = 36,1

X2 = 62

Z = 15.178.000.000

Iterasi 3 X1≥ 37 X1 ≤ 36

Solusi tidak feasible

X1 = 36

X2 = 62

Jika titik pertama yang dicabangkan adalah X2, maka:

Iterasi 1

Titik pertama mempunyai batas atas dan batas bawah, yaitu: BA = 15.205.405.381,81 (X1 = 36,7568 ; X2 = 61,3514), BB = 15.020.000.000 (X1 = 36 ; X2 = 61). Maka X2

yang dicabangkan menjadi X2 ≥ 62 dan X2 ≤ 61. Sehingga permasalahan di atas

kemudian dibagi menjadi 2 subproblem, P dan Q. Dapat dilakukan pencabangan (branch) pada hasil dengan variabel tidak bulat (integer).

P

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X2 ≥ 62

Q

Maksimisasi: 180.000.000 X1 + 140.000.000 X2

Ditujukan pada : 19 X1 + 16 X2 ≤ 1680

120 X1 + 100 X2 ≤ 13000

65 X1 + 45 X2 ≤ 5150

X2 ≤ 61

Dengan metode program linier sederhana diperoleh solusi :

Solusi optimal subproblem P: X1 = 36,31; X2 = 62 , Z = 15.215.800.000

Solusi optimal subproblem Q: X1 = 37,05; X2 = 61 , Z = 15.209.000.000

Karena solusi subproblem P dan Q nilai Z yang diperoleh melebihi yang menjadi batas sebelumnya maka subproblem P dan Q infisibel. Sehingga pencabangan dari titik ini tidak dapat diteruskan lagi.

X2≥6

Solusi tidak feasible

X1 = 36,7568

X2 = 61,3514

Z =

15.205.405.381,81 Iterasi 1

X2≤6

Solusi tidak feasible

Gambar 3.2 Diagram branch and bound Perumahan Bumi Sergai (Titik X2 yang dicabangkan)

Maka penyelesaian optimal untuk Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah adalah : a. X1 ( jumlah tipe rumah 65 ) ialah 36 rumah

b. X2 ( jumlah tipe rumah 45 ) ialah 62 rumah

Total harga jual = ( 36 × Rp 180.000.000 ) + ( 62 × Rp 140.000.000 ) = Rp 6.480.000.000 + Rp 8.680.000.000

= Rp 15.160.000.000

Dari hasil perhitungan dengan metode branch and bound maka diperoleh jumlah untuk masing-masing tipe rumah, yaitu : tipe rumah 65 sebanyak 36 rumah sedangkan untuk tipe rumah 45 sebanyak 62 rumah. Serta total harga jual yang bisa diperoleh adalah Rp 15.160.000.000,_ . Jadi jumlah seluruh rumah yang bisa dibangun dari bahan-bahan bangunan yang ada ialah 98 rumah.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1Kesimpulan

Dari uraian dan perhitungan analisa, maka dapat disimpulkan :

1. Pekiraan yang dilakukan oleh pihak pengembang perumahan ialah banyaknya rumah yang akan dibangun 100 unit, dengan jumlah untuk masing-masing tipe rumah, yaitu tipe rumah 65 ada 40 unit dan tipe rumah 45 ada 60 unit.

2. Penggunaan sebagian bahan bangunan dengan seluruh bahan bangunan sebagai fungsi kendala ke dalam model matematika tidak mempengaruhi solusi optimal. 3. Hasil perhitungan dengan menggunakan metode branch and bound, banyaknya

rumah untuk kedua tipe adalah tipe 65 berjumlah 36 unit dan tipe 45 berjumlah 62 unit.

4.2Saran

1. Hasil dari penelitian ini menjadi bahan pertimbangan dan informasi tambahan bagi Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah dalam menetapkan rencana banyaknya jumlah rumah yang akan dibangun.

2. Untuk peneliti selanjutnya sebaiknya menambahkan satu variabel lagi, karena hasil perhitungan ini berdasarkan dua variabel.

DAFTAR PUSTAKA

Aminuddin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Jakarta:Erlangga.

Aprilia, S. Aplikasi Algoritma Branch and Bound Untuk Menyelesaiakan Integer Programming.

http://www.informatika.org/~rinaldi/Stmik/2006-2007/Makalal_2007/MakalahStmik2007-076.pdf

Beightler, C.S., D.T. Philips, D.J. Wilde. 1979. Foundation of Optimization. Second Edition. Texas,USA: Prentice-Hall, Inc.

Bradley, S.P., A.C. Hax, T.L Magnanti. 1977. Applied Mathematical Programming. USA: Addison-Wesley Publishing Company.

Boen T. , dkk. 2009. Persyaratan Pokok Rumah yang Lebih Aman. JICA.

Dimyati, T.T dan Akhmad Dimyati. 1987. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru, Bandung.

Dimyati, T.T dan Akhmad Dimyati. 1992. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru, Bandung.

Garfinkel, R.S. & G.L. Nemhauser.1972. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons.

Gillet, B.E. 1976. Introduction to Operation Research. Tata McGraw-Hill Publishing Company LTD, New Delhi.

Hiller, F.S. dan G.J. Lieberman. 1980. Introduction to Operation Research. Holden-day, Inc, San Francisco.

Levin, R.I. dan C.A. Kirkpatrick. 1982. Quatitative Approaches to Management. Fourth Edition. McGraw-Hill Rogakusha, LTD., Tokyo.

51

Siagian. P. 1987. Penelitian Operasional Teori dan Praktek. Jakarta:UI – Press.

Siswanto. 1990. Lindo Sistem Komputer Manajemen. Jakarta:Elex Media Komputindo.

Sitorus, Parlin. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti, Jakarta.

Subagyo, P., Marwan Asri dan T.H. Handoko. 1990. Dasar-dasar Operations Research. BPFE, Yogyakarta.

Sudarsana, D.K. 2009. Optimalisasi Jumlah Tipe Rumah Yang Akan Dibangun Dengan Metode Simpleks Pada Proyek Pengembangan Perumahan. Jurnal Ilmiah Teknik Sipil Vol. 13, No. 2.

Supranto, J. 1980. Linier Programming. Fakultas Ekonorni Universitas Indonesia, Jakarta .

Taha, H.A. 1975. Integer Programming Theory, Applications and Computations. Academic Press, New York.

Taha, H. A. 1982. Operations Research, An Introduction. Macmillan Publishing Co., Inc., New York.

Thie, P.R. 1979. An Introduciton to Linear Programming and Game Theory. Boston, USA: John Wiley & Sons.

Turner, J.F.C., 1972, Freedom to Build, London : Collier-Macmillan Limited.

Winston, W.L. 2004. Operation Research Applications and Algorthms. 4th edition. Duxbury, New York.