SYARAT PERLU UNTUK KONVERGENSI
=
1 2 1 2
− 1, = 0, 1, … , − 1. Berdasarkan 4.22 dan 4.23 dapat diambil kesimpulan bahwa
cos + � +
−1 −1
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos + 1 � +
cos � = 0 4.26
dan jika diturunkan terhadap diperoleh
−1
cos + � +
−1
− 1
−2
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos + 1 � = 0
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan , maka cos
+ � +
−1
− 1
−1
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos + 1 � = 0 4.27
Substitusikan 4.25 ke 4.16, maka
1 2
+
+
cos + � +
−1 1 2
+ − 1
+ −1
cos + −
1 � + ⋯ +
1 1 2
+ 1
+1
cos + 1 � +
1 2
cos � = 0
1 2
[ + cos
+ � +
−1
+ − 1
−1
cos + − 1 � +
⋯ +
1
+ 1 cos + 1 � + cos
�] = 0
1 2
[ cos
+ � +
−1 −1
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos +
1 � +
cos �] +
1 2
[ cos
+ � +
−1
− 1
−1
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos + 1 �] = 0
1 2
[ cos
+ � +
−1 −1
cos + − 1 � + ⋯ +
1
cos +
1 � +
cos �] +
1 2
[ cos
+ � +
−1
− 1
−1
cos +
− 1 � + ⋯ +
1
cos + 1 �] = 0 4.28
Berdasarkan 4.26 dan 4.27 maka ruas kiri dari 4.28 bernilai 0. Jadi terbukti
bahwa =
1 2
cos � merupakan penyelesaian dari 4.16.
Jika � = 0 atau � = , maka berdasarkan 4.25, dengan = , diperoleh
=
1 2 1 2
. 4.29 Karena
= 1, maka dari 4.29 dapat disimpulkan bahwa lim
→∞
= ∞, dimana kontradiksi dengan 4.17.
Di sisi lain, untuk =
−1 −1 2
=
−1 −1 2 1 2
cos �
= cos
� Jika
� ≠ 0 dan � ≠ , maka
2
−
+1 −1
sin
2
�
=
cos �
2
−
+1
cos +1 �
−1
cos −1�
sin
2
�
=
2
cos
2
� −
2
cos +1 � cos −1�
sin
2
�
=
2
[cos
2
� −cos +1� cos −1�] sin
2
�
=
2
[cos
2
� −cos � cos �−sin � sin �cos � cos �+sin � sin �] sin
2
�
=
2
[cos
2
� −cos
2
� cos
2
�−cos � cos � sin � sin �] sin
2
�
+
2
[cos � cos � sin � sin �+sin
2
� sin
2
�] sin
2
�
=
2
[cos
2
� −cos
2
� cos
2
�+sin
2
� sin
2
�] sin
2
�
=
2
[1 −sin
2
� −1−sin
2
� 1−sin
2
�+sin
2
� sin
2
�] sin
2
�
=
2
[1 −sin
2
� −1+sin
2
� +sin
2
�−sin
2
� sin
2
�+sin
2
� sin
2
�] sin
2
�
=
2
sin
2
� sin
2
�
=
2
Jadi
2
−
+1 −1
sin
2
�
=
2
. 4.30 Berdasarkan 4.17 maka
lim
→∞
= 0 sehingga ruas kiri dari 4.30 konvergen ke
0 ketika → ∞. Jadi hal yang sama juga harus berlaku untuk ruas kanan dari
persamaan tersebut. Akan tetapi ruas kanan dari 4.30 tidak konvergen ke ketika
→ ∞ karena = 1, sehingga terjadi kontradiksi. Jadi akar polinomial karakteristik pertama dari metode banyak langkah linear yang terletak pada
lingkaran satuan multiplisitasnya adalah satu. Sejauh ini telah dibuktikan bahwa akar polinomial karakteristik pertama dari metode banyak langkah linear terletak
di dalam dan pada lingkaran satuan dan jika akar tersebut terletak pada lingkaran satuan, maka multiplisitasnya adalah satu. Jadi berdasarkan Definisi 4.1.2 dan
Definisi 4.1.3, metode tersebut stabil nol. Oleh karena itu telah terbukti bahwa metode banyak langkah linear yang konvergen adalah stabil nol.
Teorema 4.2.2
Suatu metode banyak langkah linear yang konvergen adalah konsisten.
Bukti: Andaikan bahwa metode banyak langkah linear 4.1 adalah konvergen. Akan
dibuktikan bahwa metode tersebut adalah konsisten. Pertama akan dibuktikan bahwa
1 = 0. Diberikan masalah nilai awal
′
= 0, 0 = 1 pada interval 0, , 0, dimana penyelesaiannya adalah = 1. Terapkan metode
banyak langkah linear 4.1 terhadap masalah nilai awal tersebut, sehingga diperoleh
+
+
−1 +
−1
+ ⋯ +
1 +1
+ = 0. 4.31
Diambil nilai awal = 1, = 0, 1,
… , − 1. Karena metode tersebut konvergen, maka
lim
→0
= 1, = 4.32
atau dapat dinyatakan dengan lim
→∞
= 1. 4.33 Ketika limit
→ ∞ dikenakan terhadap 4.31 maka 1 +
−1
+ ⋯ +
1
+ = 0. 4.34
Jadi diperoleh bahwa 1 = 0.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ′ 1 = 1. Diberikan masalah nilai awal
′
= 1, 0 = 0 pada interval 0, , 0, dimana penyelesaiannya adalah = . Terapkan metode banyak langkah linear 4.1 terhadap masalah nilai
awal tersebut, sehingga
+
+
−1 +
−1
+ ⋯ +
1 +1
+ =
+
−1
+ ⋯ +
1
+ 4.35
dimana −
= − 0 =
dan 1
− . Setiap penyelesaian dari 4.35 untuk suatu metode yang konvergen memenuhi
lim
→0
= 0, = 0,1, … , − 1 4.36
dimana =
, = 0, 1, … , − 1, dan juga memenuhi
lim
→0
= , = . 4.37
Teorema 4.2.1 menyatakan bahwa metode banyak langkah linear yang konvergen adalah stabil nol, maka polinomial karakteristik pertama
dari metode tersebut tidak mempunyai akar yang multiplisitasnya leih dari satu pada lingkaran
satuan, yaitu = 1. Oleh karena itu,
′
1 = + − 1
−1
+ ⋯ +
1
≠ 0. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa barisan
=0
yang didefinisikan oleh =
, dimana =
+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
4.38 merupakan penyelesaian dari 4.35 dan memenuhi 4.36. Jadi,
=
+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
. 4.39 Substitusikan 4.39 ke 4.35, sehingga diperoleh
+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1 +
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
+ − 1 + ⋯ +
1 +
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
+ 1 +
+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
= +
−1
+ ⋯ +
1
+
+
−1
+ ⋯ +
1
+
+ +
−1
+ −1 +⋯+
1
+1 + +
−1
−1
+ ⋯+
1
= +
−1
+ ⋯ +
1
+ +
−1
+ ⋯ +
1
+
1+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
+ 1 = +
−1
+ ⋯ +
1
+ Berdasarkan 4.34, menjadi
+
−1
+ ⋯ +
1
+ 0 + 1 = +
−1
+ ⋯ +
1
+ +
−1
+ ⋯ +
1
+ =
+
−1
+ ⋯ +
1
+ .
Jadi terbukti bahwa =
+
−1
+ ⋯+
1
+ +
−1
−1
+ ⋯+
1
merupakan penyelesaian dari 4.35.
Sedangkan untuk = , 4.37 mengakibatkan bahwa
= = lim
→0
= lim
→0
= ,
sehingga = 1. Oleh karena itu, 4.38 menjadi
+ − 1
−1
+ ⋯ +
1
= +
−1
+ ⋯ +
1
+ atau
′ 1 = 1. Sejauh ini telah dibuktikan bahwa
1 = 0 dan ′ 1 = 1 maka berdasarkan Teorema 3.2.1 metode tersebut konsisten. Jadi terbukti bahwa metode banyak
langkah linear yang konvergen adalah konsisten.