SYARAT PERLU UNTUK KONVERGENSI

= 1 2 1 2 − 1, = 0, 1, … , − 1. Berdasarkan 4.22 dan 4.23 dapat diambil kesimpulan bahwa cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos � = 0 4.26 dan jika diturunkan terhadap diperoleh −1 cos + � + −1 − 1 −2 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � = 0 Kemudian kedua ruas dikalikan dengan , maka cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � = 0 4.27 Substitusikan 4.25 ke 4.16, maka 1 2 + + cos + � + −1 1 2 + − 1 + −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 1 2 + 1 +1 cos + 1 � + 1 2 cos � = 0 1 2 [ + cos + � + −1 + − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 + 1 cos + 1 � + cos �] = 0 1 2 [ cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos �] + 1 2 [ cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 �] = 0 1 2 [ cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos �] + 1 2 [ cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 �] = 0 4.28 Berdasarkan 4.26 dan 4.27 maka ruas kiri dari 4.28 bernilai 0. Jadi terbukti bahwa = 1 2 cos � merupakan penyelesaian dari 4.16. Jika � = 0 atau � = , maka berdasarkan 4.25, dengan = , diperoleh = 1 2 1 2 . 4.29 Karena = 1, maka dari 4.29 dapat disimpulkan bahwa lim →∞ = ∞, dimana kontradiksi dengan 4.17. Di sisi lain, untuk = −1 −1 2 = −1 −1 2 1 2 cos � = cos � Jika � ≠ 0 dan � ≠ , maka 2 − +1 −1 sin 2 � = cos � 2 − +1 cos +1 � −1 cos −1� sin 2 � = 2 cos 2 � − 2 cos +1 � cos −1� sin 2 � = 2 [cos 2 � −cos +1� cos −1�] sin 2 � = 2 [cos 2 � −cos � cos �−sin � sin �cos � cos �+sin � sin �] sin 2 � = 2 [cos 2 � −cos 2 � cos 2 �−cos � cos � sin � sin �] sin 2 � + 2 [cos � cos � sin � sin �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 [cos 2 � −cos 2 � cos 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 [1 −sin 2 � −1−sin 2 � 1−sin 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 [1 −sin 2 � −1+sin 2 � +sin 2 �−sin 2 � sin 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 sin 2 � sin 2 � = 2 Jadi 2 − +1 −1 sin 2 � = 2 . 4.30 Berdasarkan 4.17 maka lim →∞ = 0 sehingga ruas kiri dari 4.30 konvergen ke 0 ketika → ∞. Jadi hal yang sama juga harus berlaku untuk ruas kanan dari persamaan tersebut. Akan tetapi ruas kanan dari 4.30 tidak konvergen ke ketika → ∞ karena = 1, sehingga terjadi kontradiksi. Jadi akar polinomial karakteristik pertama dari metode banyak langkah linear yang terletak pada lingkaran satuan multiplisitasnya adalah satu. Sejauh ini telah dibuktikan bahwa akar polinomial karakteristik pertama dari metode banyak langkah linear terletak di dalam dan pada lingkaran satuan dan jika akar tersebut terletak pada lingkaran satuan, maka multiplisitasnya adalah satu. Jadi berdasarkan Definisi 4.1.2 dan Definisi 4.1.3, metode tersebut stabil nol. Oleh karena itu telah terbukti bahwa metode banyak langkah linear yang konvergen adalah stabil nol. Teorema 4.2.2 Suatu metode banyak langkah linear yang konvergen adalah konsisten. Bukti: Andaikan bahwa metode banyak langkah linear 4.1 adalah konvergen. Akan dibuktikan bahwa metode tersebut adalah konsisten. Pertama akan dibuktikan bahwa 1 = 0. Diberikan masalah nilai awal ′ = 0, 0 = 1 pada interval 0, , 0, dimana penyelesaiannya adalah = 1. Terapkan metode banyak langkah linear 4.1 terhadap masalah nilai awal tersebut, sehingga diperoleh + + −1 + −1 + ⋯ + 1 +1 + = 0. 4.31 Diambil nilai awal = 1, = 0, 1, … , − 1. Karena metode tersebut konvergen, maka lim →0 = 1, = 4.32 atau dapat dinyatakan dengan lim →∞ = 1. 4.33 Ketika limit → ∞ dikenakan terhadap 4.31 maka 1 + −1 + ⋯ + 1 + = 0. 4.34 Jadi diperoleh bahwa 1 = 0. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ′ 1 = 1. Diberikan masalah nilai awal ′ = 1, 0 = 0 pada interval 0, , 0, dimana penyelesaiannya adalah = . Terapkan metode banyak langkah linear 4.1 terhadap masalah nilai awal tersebut, sehingga + + −1 + −1 + ⋯ + 1 +1 + = + −1 + ⋯ + 1 + 4.35 dimana − = − 0 = dan 1 − . Setiap penyelesaian dari 4.35 untuk suatu metode yang konvergen memenuhi lim →0 = 0, = 0,1, … , − 1 4.36 dimana = , = 0, 1, … , − 1, dan juga memenuhi lim →0 = , = . 4.37 Teorema 4.2.1 menyatakan bahwa metode banyak langkah linear yang konvergen adalah stabil nol, maka polinomial karakteristik pertama dari metode tersebut tidak mempunyai akar yang multiplisitasnya leih dari satu pada lingkaran satuan, yaitu = 1. Oleh karena itu, ′ 1 = + − 1 −1 + ⋯ + 1 ≠ 0. Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa barisan =0 yang didefinisikan oleh = , dimana = + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 4.38 merupakan penyelesaian dari 4.35 dan memenuhi 4.36. Jadi, = + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 . 4.39 Substitusikan 4.39 ke 4.35, sehingga diperoleh + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 + + −1 + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 + − 1 + ⋯ + 1 + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 + 1 + + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 = + −1 + ⋯ + 1 + + −1 + ⋯ + 1 + + + −1 + −1 +⋯+ 1 +1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 = + −1 + ⋯ + 1 + + −1 + ⋯ + 1 + 1+ −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 + 1 = + −1 + ⋯ + 1 + Berdasarkan 4.34, menjadi + −1 + ⋯ + 1 + 0 + 1 = + −1 + ⋯ + 1 + + −1 + ⋯ + 1 + = + −1 + ⋯ + 1 + . Jadi terbukti bahwa = + −1 + ⋯+ 1 + + −1 −1 + ⋯+ 1 merupakan penyelesaian dari 4.35. Sedangkan untuk = , 4.37 mengakibatkan bahwa = = lim →0 = lim →0 = , sehingga = 1. Oleh karena itu, 4.38 menjadi + − 1 −1 + ⋯ + 1 = + −1 + ⋯ + 1 + atau ′ 1 = 1. Sejauh ini telah dibuktikan bahwa 1 = 0 dan ′ 1 = 1 maka berdasarkan Teorema 3.2.1 metode tersebut konsisten. Jadi terbukti bahwa metode banyak langkah linear yang konvergen adalah konsisten.

C. SYARAT CUKUP UNTUK KONVERGENSI

Pada subbab ini akan ditunjukkan bahwa metode yang stabil nol dan konsisten adalah konvergen. Pernyataan tersebut akan dituangkan pada Teorema 4.3.1. Lemma 4.3.1 Andaikan bahwa semua akar polinomial = + ⋯ + 1 + terletak dalam lingkaran satuan tertutup 1 dan yang terletak pada lingkaran satuan = 1 adalah sederhana. Andaikan juga bahwa , = 0, 1, 2, … didefinisikan oleh 1 1+ ⋯+ 1 −1 + = + 1 + 2 2 + ⋯ Maka, Γ ≡ sup ∞. Bukti: Misalkan = 1 , maka = 1 + ⋯ + 1 1 + = 1 + ⋯ + 1 −1 + Berdasarkan pengandaian mengenai akar-akar dari , maka fungsi 1 = 1 1+ ⋯+ 1 −1 + terdiferensial dalam lingkaran satuan terbuka 1. Kemudian, seperti akar-akar 1 , 2 , … , dari yang pada = 1 adalah sederhana, maka hal yang sama juga berlaku untuk 1 , dan ada konstanta 1 , … , sedemikian sehingga fungsi = 1 − 1 − 1 1 − ⋯ − − 1 4.40 terdiferensial pada 1 dan untuk semua 1. Andaikan = 1 − 1 = − − 1 −1 , maka ketika = 0 ekspansi Taylor untuk adalah sebagai berikut = + ′ 1 − + ′′ 2 − 2 + ⋯ = + 2 − 0 + 2 3 2 − 0 2 + ⋯ = + 2 + 2 3 + ⋯ = +1 ∞ =0 , = 1, 2, … , Berdasarkan Teorema A.8 lihat Lampiran A, adalah terbatas. Ketika − − 1 = +1 ∞ =0 , = 1, 2, … , terbatas dan 1, maka dari 4.40 dapat disimpulkan bahwa 1 juga terbatas. Karena 1 = 1 1+ ⋯+ 1 −1 + terbatas, maka , = 0, 1, 2, … juga terbatas. Oleh karena itu, terbukti bahwa Γ ≡ sup ∞. Sekarang terapkan Lemma 4.3.1 untuk menentukan penyelesaian dari persamaan berikut ini + + −1 + −1 + ⋯ + = , + + −1, + −1 + ⋯ + 0, + � 4.41 yang hasilnya dinyatakan dalam lemma di bawah ini. Lemma 4.3.2 Andaikan bahwa semua akar polinomial = + ⋯ + 1 + terletak dalam lingkaran satuan 1 dan yang terletak pada lingkaran satuan = 1 adalah sederhana. Misalkan ∗ dan Λ menyatakan konstanta tak negatif, sedangkan adalah konstanta positif sedemikian sehingga , + −1, + ⋯ + 0, ∗ , , � Λ, = 0, 1, … , dan misalkan −1 . Maka setiap penyelesaian dari 4.41 dimana �, = 0, 1, … , − 1 memenuhi ∗ ∗ , = 0, 1, … , dimana ∗ = Γ ∗ ∗ , ∗ = Γ ∗ Λ + � , Γ ∗ = Γ 1 −h k −1 . Γ telah didefinisikan pada Lemma 4.3.1, dan = + −1 + ⋯ + . Bukti: Diberikan bilangan , = 0, 1, … , − yang didefinisikan pada Lemma 4.3.1. Kalikan ruas kiri dari 4.41 untuk = − − dengan , = 0, 1, … , − , maka diperoleh = + −1 −1 + ⋯ + − + −1 + −1 −2 + ⋯ + − −1 1 + ⋯ + + −1 −1 + ⋯ + 0 0 − = + 1 + −1 0 −1 + ⋯ + − + −1 − −1 + ⋯ + −2 + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − 4.42 Didefinisikan = 0 untuk 0 dan berdasarkan Lemma 4.3.1, maka 1 + ⋯+ 1 −1 + = + 1 + 2 2 + ⋯ 1 = + ⋯ + 1 −1 + + 1 + 2 2 + ⋯ 1 = + 1 + 2 2 + ⋯ Berdasarkan hukum identitas, maka 1 = karena satu-satunya suku yang tidak memuat 4.43 dan suku-suku yang lain bernilai 0. Untuk = 0, maka + −1 −1 + ⋯ + − = + −1 −1 + ⋯ + − = + 0 + 0 + ⋯ + 0 = Berdasarkan 4.43, maka + −1 −1 + ⋯ + − = 1. Untuk 0, misalkan = 2, maka + −1 −1 + ⋯ + − = 2 + −1 1 + ⋯ + 0 2 − Berdasarkan 4.43, maka + −1 −1 + ⋯ + − = 0. Jadi, + −1 −1 + ⋯ + − = 1, untuk = 0 0, untuk 0 4.44 Berdasarkan 4.44, maka 4.42 menjadi = + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − 4.45 Sekarang untuk = − − , jika ruas kanan dari 4.41 dikalikan dengan , = 0, 1, … , − , maka diperoleh = , − + −1, − −1 + ⋯ + 0, − − + , − −1 −1 + −1, − −1 −2 + ⋯ + 0, − −1 − −1 1 + ⋯ + ,0 + −1,0 −1 + ⋯ + 0,0 0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − 4.46 Gabungkan 4.45 dan 4.46, sehingga diperoleh + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − − −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − Ambil nilai mutlak untuk kedua ruas persamaan tersebut, sehingga = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − − −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + −