STABIL NOL STABILITAS DAN KONVERGENSI
untuk suatu nilai � pada contoh sebelumnya � = −5. Suatu metode dengan
polinomial karakteristik tersebut ketika diterapkan ke dalam
′
= 0 akan memberikan penyelesaian umum dalam bentuk
= +
� Oleh karena itu nilai
� harus dibatasi supaya � tidak menuju tak hingga ketika → ∞, yaitu � 1. Selanjutnya akan diberikan contoh yang akan semakin
melengkapi pembatasan nilai � sehingga metode banyak langkah linear adalah
konvergen dan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut juga akan konvergen.
Contoh 4.1.2
Selidikilah konvergensi dari metode tiga langkah linear berikut
+3
+
+2
−
+1
− = 4
′
ketika diterapkan ke dalam masalah nilai awal
′
= 0, 0 = 1 dengan nilai awal
= 1,
1
= 1 − , dan
2
= 1 − 2 .
Penyelesaian: Konsistensi dari metode tersebut telah diselidiki pada Contoh 3.4.1 dan terbukti
bahwa metode tersebut adalah konsisten dengan orde � = 1.
Berdasarkan masalah nilai awal yang diketahui, maka metode tersebut menjadi
+3
+
+2
−
+1
− = 0 4.11
yang mempunyai persamaan tambahan
3
+
2
− − 1 = − 1 + 1
2
sehingga penyelesaian umumnya adalah =
+ + −1 4.12
Nilai-nilai awal = 1,
1
= 1 − , dan
2
= 1 − 2 mengakibatkan
i 1 = +
ii 1 − = − −
iii 1 − 2 = + + 2
Kemudian dari ketiga persamaan tersebut dapat dicari nilai , , dan sebagai berikut
Dari i diperoleh 1 =
+ = 1
− 4.13 Dari ii diperoleh
1 − = − −
1 − = 1 − − −
1 − = 1 − 2 − 4.14
Dari iii diperoleh 1
− 2 = 1 − + + 2 1
− 2 = 1 + 2 −2 = 2
= −
Kemudian substitusikan nilai =
− ke 4.14, sehingga diperoleh 1
− = 1 − 2 + −2 = −2
= Terakhir, substitusikan nilai
= ke 4.13, maka = 1
− Jadi diperoleh nilai
= 1 − ,
= , dan =
− , sehingga ketika disubstitusikan ke 4.12 menghasilkan
= 1 − + + − −1
= 1 − + −
−1 Karena
= , maka diperoleh penyelesaian umum dari persamaan homogen
4.11 yaitu = 1
− + −1 − 4.15 Penyelesaian sejati dari masalah nilai awal tersebut adalah
= 1. Saat =
∗
= 1, maka 1 = 1, sementara − 1 + = 1 − untuk semua nilai
dengan
∗
= = 1. Galat totalnya adalah
1 − → 1 dan tidak mendekati nol ketika
→ 0. Oleh karena itu, metode tersebut konsisten tetapi tidak konvergen.
Contoh 4.1.2 menunjukkan bahwa meskipun akar-akar dari polinomial karakteristik pertama suatu metode banyak langkah linear memenuhi syarat
� 1 ternyata metode tersebut tetap tidak konvergen. Oleh karena itu,
selanjutnya akan diberikan definisi yang akan melengkapi batasan untuk akar-akar polinomial tersebut.
Definisi 4.1.2
Suatu polinomial dikatakan memenuhi syarat akar jika semua akarnya terletak di dalam atau pada lingkaran satuan, yaitu
1 dan jika = 1, maka multiplisitas akarnya adalah satu.
Definisi 4.1.3
Suatu metode banyak langkah linear dikatakan stabil nol jika polinomial karakteristik pertamanya
memenuhi syarat akar.
Contoh 4.1.3
a. Metode Euler
+1
= +
′
mempunyai polinomial karakteristik pertama = − 1 dengan akar = 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol.
b. Metode Adams-Bashforth
+2
=
+1
+
1 2
3
+1 ′
−
′
mempunyai polinomial karakteristik pertama
=
2
− , sehingga akar-akarnya adalah
1
= 0 dan
2
= 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol. c.
Metode tiga
langkah
+3
+
+2
−
+1
− = 2
+2 ′
+
+1 ′
mempunyai polinomial karakteristik pertama =
3
+
2
− − 1, sehingga akar-akarnya adalah
1
= −1,
2
= −1, dan
3
= 1. Akar
1
dan
2
keduanya terletak pada lingkaran satuan, maka metode tersebut tidak stabil nol.
d. Metode tiga langkah 11
+3
+ 27
+2
− 27
+1
− 11 = 3
+3 ′
+ 9
+2 ′
+ 9
+1 ′
+
′
mempunyai polinomial karakteristik = 11
3
+ 27
2
− 27 − 11. Akar-akar polinomial tersebut adalah
1
= 1,
2
= −0.32,
dan
3
= −3.14. Jadi
3
1, sehingga metode tersebut tidak stabil nol.