STABIL NOL STABILITAS DAN KONVERGENSI

untuk suatu nilai � pada contoh sebelumnya � = −5. Suatu metode dengan polinomial karakteristik tersebut ketika diterapkan ke dalam ′ = 0 akan memberikan penyelesaian umum dalam bentuk = + � Oleh karena itu nilai � harus dibatasi supaya � tidak menuju tak hingga ketika → ∞, yaitu � 1. Selanjutnya akan diberikan contoh yang akan semakin melengkapi pembatasan nilai � sehingga metode banyak langkah linear adalah konvergen dan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut juga akan konvergen. Contoh 4.1.2 Selidikilah konvergensi dari metode tiga langkah linear berikut +3 + +2 − +1 − = 4 ′ ketika diterapkan ke dalam masalah nilai awal ′ = 0, 0 = 1 dengan nilai awal = 1, 1 = 1 − , dan 2 = 1 − 2 . Penyelesaian: Konsistensi dari metode tersebut telah diselidiki pada Contoh 3.4.1 dan terbukti bahwa metode tersebut adalah konsisten dengan orde � = 1. Berdasarkan masalah nilai awal yang diketahui, maka metode tersebut menjadi +3 + +2 − +1 − = 0 4.11 yang mempunyai persamaan tambahan 3 + 2 − − 1 = − 1 + 1 2 sehingga penyelesaian umumnya adalah = + + −1 4.12 Nilai-nilai awal = 1, 1 = 1 − , dan 2 = 1 − 2 mengakibatkan i 1 = + ii 1 − = − − iii 1 − 2 = + + 2 Kemudian dari ketiga persamaan tersebut dapat dicari nilai , , dan sebagai berikut Dari i diperoleh 1 = + = 1 − 4.13 Dari ii diperoleh 1 − = − − 1 − = 1 − − − 1 − = 1 − 2 − 4.14 Dari iii diperoleh 1 − 2 = 1 − + + 2 1 − 2 = 1 + 2 −2 = 2 = − Kemudian substitusikan nilai = − ke 4.14, sehingga diperoleh 1 − = 1 − 2 + −2 = −2 = Terakhir, substitusikan nilai = ke 4.13, maka = 1 − Jadi diperoleh nilai = 1 − , = , dan = − , sehingga ketika disubstitusikan ke 4.12 menghasilkan = 1 − + + − −1 = 1 − + − −1 Karena = , maka diperoleh penyelesaian umum dari persamaan homogen 4.11 yaitu = 1 − + −1 − 4.15 Penyelesaian sejati dari masalah nilai awal tersebut adalah = 1. Saat = ∗ = 1, maka 1 = 1, sementara − 1 + = 1 − untuk semua nilai dengan ∗ = = 1. Galat totalnya adalah 1 − → 1 dan tidak mendekati nol ketika → 0. Oleh karena itu, metode tersebut konsisten tetapi tidak konvergen. Contoh 4.1.2 menunjukkan bahwa meskipun akar-akar dari polinomial karakteristik pertama suatu metode banyak langkah linear memenuhi syarat � 1 ternyata metode tersebut tetap tidak konvergen. Oleh karena itu, selanjutnya akan diberikan definisi yang akan melengkapi batasan untuk akar-akar polinomial tersebut. Definisi 4.1.2 Suatu polinomial dikatakan memenuhi syarat akar jika semua akarnya terletak di dalam atau pada lingkaran satuan, yaitu 1 dan jika = 1, maka multiplisitas akarnya adalah satu. Definisi 4.1.3 Suatu metode banyak langkah linear dikatakan stabil nol jika polinomial karakteristik pertamanya memenuhi syarat akar. Contoh 4.1.3 a. Metode Euler +1 = + ′ mempunyai polinomial karakteristik pertama = − 1 dengan akar = 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol. b. Metode Adams-Bashforth +2 = +1 + 1 2 3 +1 ′ − ′ mempunyai polinomial karakteristik pertama = 2 − , sehingga akar-akarnya adalah 1 = 0 dan 2 = 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol. c. Metode tiga langkah +3 + +2 − +1 − = 2 +2 ′ + +1 ′ mempunyai polinomial karakteristik pertama = 3 + 2 − − 1, sehingga akar-akarnya adalah 1 = −1, 2 = −1, dan 3 = 1. Akar 1 dan 2 keduanya terletak pada lingkaran satuan, maka metode tersebut tidak stabil nol. d. Metode tiga langkah 11 +3 + 27 +2 − 27 +1 − 11 = 3 +3 ′ + 9 +2 ′ + 9 +1 ′ + ′ mempunyai polinomial karakteristik = 11 3 + 27 2 − 27 − 11. Akar-akar polinomial tersebut adalah 1 = 1, 2 = −0.32, dan 3 = −3.14. Jadi 3 1, sehingga metode tersebut tidak stabil nol.

B. SYARAT PERLU UNTUK KONVERGENSI

Pada subbab ini akan ditunjukkan bahwa stabil nol dan konsistensi merupakan syarat perlu untuk konvergensi. Oleh karena itu, selanjutnya akan diberikan dua teorema yang menguatkan pernyataan tersebut. Teorema 4.2.1 Suatu metode banyak langkah linear yang konvergen adalah stabil nol. Bukti: Andaikan metode banyak langkah linear 4.1 adalah konvergen. Akan dibuktikan bahwa metode tersebut adalah stabil nol. Diberikan masalah nilai awal ′ = 0, 0 = 0 pada interval 0, , 0, dimana penyelesaian sejatinya adalah = 0. Terapkan metode banyak langkah linear 4.1 terhadap masalah nilai awal tersebut sehingga diperoleh + + −1 + −1 + ⋯ + 1 +1 + = 0. 4.16 Karena metode tersebut diandaikan konvergen, maka untuk suatu 0 berlaku lim →0 = 0, = 4.17 untuk semua penyelesaian dari 4.16 yang memenuhi = , = 0, 1, … , − 1 dimana lim →0 = 0, = 0, 1, … , − 1. 4.18 Misalkan = � merupakan akar dari polinomial karakteristik pertama ; 0, 0 � 2 . Akan ditunjukkan bahwa = cos � 4.19 merupakan penyelesaian dari 4.16 yang memenuhi 4.18. Polinomial karakteristik pertama dari 4.16 adalah = + −1 −1 + ⋯ + 1 + . Karena = � merupakan akar dari , maka � = 0 � + −1 � −1 + ⋯ + 1 � + = 0 � + −1 −1 −1� + ⋯ + 1 � + = 0 cos � + sin � + −1 −1 cos − 1 � + sin − 1 � + ⋯ + 1 cos � + sin � + = 0 cos � + −1 −1 cos − 1 � + ⋯ + 1 cos � + + sin � + −1 −1 sin − 1 � + ⋯ + 1 sin � = 0 Jadi cos � + −1 −1 cos − 1 � + ⋯ + 1 cos � + = 0 4.20 dan sin � + −1 −1 sin − 1 � + ⋯ + 1 sin � = 0. 4.21 Selanjutnya substitusikan 4.19 ke 4.16, sehingga diperoleh + cos + � + −1 + −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 +1 cos + 1 � + cos � = 0 [ cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos �] = 0 4.22 [ cos � cos � − sin � sin � + −1 −1 cos � cos − 1 � − sin � sin − 1 � + ⋯ + 1 cos � cos � − sin � sin � + cos �] = 0 [ cos � cos � + −1 −1 cos � cos − 1 � + ⋯ + 1 cos � cos � + cos � − sin � sin � + −1 −1 sin � sin − 1 � + ⋯ + 1 sin � sin �] = 0 cos � cos � + −1 −1 cos − 1 � + ⋯ + 1 cos � + − sin � sin � + −1 −1 sin − 1 � + ⋯ + 1 sin �] = 0 4.23 Berdasarkan 4.20 dan 4.21, maka ruas kiri dari 4.23 bernilai 0. Jadi terbukti bahwa = cos � merupakan penyelesaian dari 4.16. Jika � ≠ 0 dan � ≠ , maka 2 − +1 −1 sin 2 � = cos � 2 − +1 cos +1 � −1 cos −1� sin 2 � = 2 2 cos 2 � − 2 2 cos +1 � cos −1� sin 2 � = 2 2 [cos 2 � −cos +1 � cos −1 �] sin 2 � = 2 2 [cos 2 � −cos � cos �−sin � sin �cos � cos �+sin � sin �] sin 2 � = 2 2 [cos 2 � −cos 2 � cos 2 �−cos � cos � sin � sin �] sin 2 � + 2 2 [cos � cos � sin � sin �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 2 [cos 2 � −cos 2 � cos 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 2 [1 −sin 2 � − 1−sin 2 � 1−sin 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 2 [1 −sin 2 � −1+sin 2 � +sin 2 �−sin 2 � sin 2 �+sin 2 � sin 2 �] sin 2 � = 2 2 sin 2 � sin 2 � = 2 2 Jadi 2 − +1 −1 sin 2 � = 2 2 . 4.24 Berdasarkan 4.17, sisi ruas kiri dari 4.24 konvergen ke 0 saat → 0, → ∞, = , maka hal yang sama juga berlaku untuk ruas kanannya, sehingga lim →∞ 2 2 = 0, dimana = . Akibatnya 1. Jadi terbukti bahwa suatu akar polinomial karakteristik pertama terletak di dalam dan pada lingkaran satuan. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa akar polinomial karakteristik pertama yang terletak pada lingkaran satuan multiplisitasnya adalah satu. Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan bahwa = � merupakan akar ganda dari ; = 1, 0 � 2 . Terlebih dahalu akan ditunjukkan bahwa = 1 2 cos � 4.25 merupakan penyelesaian dari 4.16 yang memenuhi 4.18, untuk = 1 2 1 2 − 1, = 0, 1, … , − 1. Berdasarkan 4.22 dan 4.23 dapat diambil kesimpulan bahwa cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos � = 0 4.26 dan jika diturunkan terhadap diperoleh −1 cos + � + −1 − 1 −2 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � = 0 Kemudian kedua ruas dikalikan dengan , maka cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � = 0 4.27 Substitusikan 4.25 ke 4.16, maka 1 2 + + cos + � + −1 1 2 + − 1 + −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 1 2 + 1 +1 cos + 1 � + 1 2 cos � = 0 1 2 [ + cos + � + −1 + − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 + 1 cos + 1 � + cos �] = 0 1 2 [ cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos �] + 1 2 [ cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 �] = 0 1 2 [ cos + � + −1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 � + cos �] + 1 2 [ cos + � + −1 − 1 −1 cos + − 1 � + ⋯ + 1 cos + 1 �] = 0 4.28