MANFAAT PENULISAN METODE PENULISAN SISTEMATIKA PENULISAN
Contoh 2.1.2
a. =
2
+ b.
′′
+ 4 =
2
+ 1
3
Kedua persamaan pada contoh a dan b merupakan persamaan diferensial biasa, dimana menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak
bebas dan menyatakan variabel bebas. c.
� �
+
� �
= 0 d.
�
2
�
2
+
�
2
�
2
= 1 + Kedua persamaan pada contoh c dan d merupakan persamaan diferensial
parsial, dimana menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak bebas, sedangkan dan menyatakan variabel bebas.
Definisi 2.1.2
Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.
Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya adalah sebagai berikut: 1
Persamaan diferensial tingkat pertama Bentuk umum:
, ,
′
= 0
Contoh 2.1.3
a. =
2
b.
′
= +
2
2 Persamaan diferensial tingkat kedua
Bentuk umum: , ,
′
, ′′ = 0
Contoh 2.1.4
a.
′′
+ 2 = − 1
b.
′′
=
′
+ −
3 Persamaan diferensial tingkat ke-
Bentuk umum: , ,
′
,
′′
, … ,
= 0
Contoh 2.1.5
a.
4
− 5
′′
= 4 + 2 b.
3
=
′′
−
′
+
Definisi 2.1.3
Persamaan diferensial biasa tingkat ke- disebut linear dalam jika persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk
+
−1 −1
+ ⋯ +
1 ′
+ =
dimana ,
1
, … , dan adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat dan ≠ 0 pada interval itu. Fungsi disebut fungsi-fungsi
koefisien.
Jadi persamaan diferensial biasa adalah linear jika memenuhi syarat-syarat berikut:
a. Fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya secara aljabar hanya
berderajat satu. b.
Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya atau dua atau lebih turunan.
c. Tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui dan turunan-
turunannya. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.
Contoh 2.1.6
a.
′′
− 3
′
+ 3 =
3
, merupakan persamaan diferensial linear. b.
′′′
+ + 5 = 0, merupakan persamaan diferensial linear.
c.
′ 3
+ 2 = , merupakan persamaan diferensial nonlinear karena turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui berderajat tiga.
d.
′
+ 3 = 0, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena
′
adalah hasil kali dari fungsi yang belum diketahui dengan turunannya.
e.
′′
+ 5 = cos , merupakan persamaan diferensial nonlinear karena cos adalah fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui.
2. Penyelesaian Persamaan Diferensial
Definisi 2.1.4
Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke- pada interval adalah
suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika menggantikan
,
′
,
′′
, … ,
menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas.
Contoh 2.1.7
Tunjukkan bahwa fungsi = 2 +
−
adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
′
+ − 2 = 0.
Penyelesaian: Diketahui
= 2 +
−
, maka diperoleh
′
= −
−
. Kemudian substitusikan kedua fungsi tersebut ke dalam persamaan diferensial
sehingga diperoleh −
−
+ 2 +
−
− 2 = 0 Ruas kiri dari persamaan tersebut bernilai
0 sama dengan ruas kanan, maka fungsi
= 2 +
−
merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial
′
+ −
2 = 0.
Contoh 2.1.8
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial berikut ini
′
=
3
2
+5
Penyelesaian: